Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

在前面的课程中呢

我们学习了二重积分三重积分

曲面积分和曲线积分等等

那么这节课

我们要建立这些积分之间的一些重要的关系

下面我们要学习很多的定理

这些定理呢

对简化多重积分的计算有非常大的作用

好的下面我们从格林定理讲起

Chapter 5 Multiple integrals

第五章重积分

Unit 6

Some theorems of line and surface integrals

第6单元

曲线与曲面积分的几个定理

Section 1 Green’s Theorem

第一小节格林定理

同学们现在呢我们学习格林定理

Sometimes we can transform

a type two curve in E^2

into a double integral on an enclosed area

格林定理就是干这事儿的

它把一个第二型曲线积分

转化成一个封闭区域内部的二重积分

This is Green’s formula 也叫格林公式

好 in fact

Green’s theorem gives the relationship

between a line integral

around some simple closed curves

and a double integral over

the plane region bounded by these curves

实际上这个格林定理啊

它就给了我们这样一个关系

什么关系呢一个是线积分

这个线积分呢在某一个

simple closed curve上去做

也就是简单的闭曲线

另外呢是一个double integral 二重积分

over the region bounded by these curves

也就是这些曲线所包含的那些区域

好下面我们详细解释一下

Theorem 1.1

Green’s Theorem

它也叫格林公式

Let D contained in E^2 be a bounded and closed

region enclosed by C equals partial D

which consists of one

or finitely many piecewise smooth curves

好我们先假设现在这个空间中呢是平面区域D

它呢是一个由边界

它的边界线C等于partial D

所构成的这个封闭的区域

enclosed by C 就是这些曲线C

这个C呢可能是有限个

finitely many piecewise smooth curves

也就是逐段光滑曲线

D是它们所围成的

Two functions P and Q

have continuous partial derivatives

on some open neighborhood of D

而且呢我们假设现在有这样的两个函数

分别是P和Q 它们都是二元函数

它们呢在这个区域D 注意D是一个闭集

在D的某一个开邻域

也就是D 比它大一些的某一个开集中啊

有continuous partial derivatives

连续的偏导数

换言之

for some open set D’ contained in E^2

such that D contained in Ω

we have P Q which are belonging to C^1 D’

也就是说我们能够把这个区域D啊

能够扩大一点点变成某一个开集D’

是在这个D’上 P Q呢是C^1类的函数

好现在我们看格林公式

Green的结论告诉我们

在partial D 也就是在这个区域D的边界上

去做积分

Pdx加上Qdy 这是第二型线积分

好它的结果呢会等于

注意看这是一个二重积分

在D上去做二重积分

等于

partial Q partial x

minus partial P partial y dxdy

注意这里我们一旦说第二型曲线积分

要指定定向

那么定向是怎么说的呢

Here the orientation of C which is partial D

is directed as such

我们现在要指定这个partial D的定向

When one proceeds along this direction

the area D is always on the left hand side

也就是说

当某一个人沿着这个曲线C

也就是D的边界去走的时候

它的左手总是指向这个区域D的内部

我们现在看一个图

现在我们看到蓝色部分就是区域D

而我们画着箭头的那些黑线呢

就是这个区域D的边界

根据刚才的定向规则

当人沿着这些曲线走的时候

它的左手必须指向区域

因此呢

我们现在画的红色箭头就是按这个规则指定的定向

最外面一条闭合曲线呢必须是逆时针方向

里面三条曲线呢必须是按顺时针方向

接下来我们看这样一个注记

Remark 1.2

One can easily prove this

formula when D is a rectangle

刚才格林定理呢没有证明

实际上如果区域D啊是一个长方形的时候

这个证明呢是很简单的

In general a region with a

boundary of smooth curves

can be divided by infinitely

many small rectangle

and integration on the same

curve along opposite directions

can be neutralized

也就是说当对一个一般的区域D而言

要想证明格林定理的时候

我们通常把这个区域啊化成很多很多小的长方形

然后在每一块儿上去应用格林定理

也就是相邻边上这些定向呢是相反的

那么相应的积分呢也就会互相消除掉

好的

therefore it is easy to see that

Green’s formula can be generalized

from a rectangle

to an area under restrictions above

所以呢根据这个小的长方形上的格林定理呢

就可以推出任意区域上的格林定理

当然这个过程呢比较复杂

我们这里呢只是提一下它是怎么证明的

同学们可以参考

比较系统的讲述数学分析的教材去看

格林定理是怎么证明的

它的思想就是我们刚才解释的内容

Example 1.3

这个例子呢我们要用格林定理这样一个公式

We should calculate this line integral

现在呢我们看到这是一个第二型线积分

沿着某一个C去做

C is a simple closed curve

going counterclockwise

and it winds about (0,0) one cycle

这个C啊我们没有指定它具体是哪条曲线

它是一条简单曲线闭合曲线简单闭合曲线

going counterclockwise 就是它是逆时针方向的

而且它只跑了一圈

winds only one cycle

绕着零点跑了一圈

而其中这个被积函数

也就是被积的这个1形式啊是指定的

xdy减去ydx除以x平方加y平方

好了很多同学要问了

这里边我们既然没有指定C具体是哪一条曲线

那么怎么可能求出它的值呢

实际上是可以的

好我们下面看一下怎么求

The following picture explains the problem

首先我们把这个图像呢画一下

C呢就是这样一条简单的闭合曲线

它绕着零点转了一圈

好下面我们看解法

Find a small circle

我们呢在这个原点的附近啊找一个小的圆周

L等于这样的(x,y)

就是x平方加y平方等于ε的平方

这个ε非常小

那么它就表示一个半径为ε非常小的圆

let it going clockwise around its center (0,0)

那么这个以ε为半径的圆周呢

让它绕着零点顺时针方向跑一周

going clockwise

where ε is small enough

so that L is completely

contained in the region enclosed by C

我们要求这个ε足够小啊

使得这个圆啊

它包在刚才我们画的那条曲线C之中

The following picture explains the idea

我们现在不妨把刚才的图像呢画出来

C是原来的曲线

L是我们新补的曲线

L上的定向是顺时针

C上的定向是逆时针

好了这时候区域我们把它画成黄色的部分

Let D the yellow part be the region enclosed

within C and without L

也就是在C中L以外的地方的呢加了一片区域

这片区域呢就用D来表示

Then partial D which is C union L

is endowed with the original orientations

这个时候我们就看到啊

这个区域D的边界恰好就是C和L的并集

而且C和L的定向呢

和我们指定的定向规则是一致的

好了有了刚才的辅助圆

我们下面来求一下刚才那个第二型曲线积分

Let P 这个函数

be minus y over x square plus y square

Q be x over x square plus y square

P和Q呢我们指定两个函数

What we wish to compute is

Pdx Qdy integration on C

那么现在这个C啊

就是我们原先指定的那个外周的那一个圈

在这上面要求它的第二型曲线积分

我们先注意到

partial Q partial x minus

partial P partial y is always zero

这我们验证就可以

因为P和Q的函数表达式已经给出来了

我们直接可以验证出来这个等式

好了那么下面会有这样的结论

在C上对Pdx加上Qdy做第二型线积分

再加上在L上对Pdx Qdy做线积分

这两项合起来

恰好就相当于在区域D的边界上

去做第二型曲线积分

根据格林定理

它直接就会等于在D上去做一个二重积分

被积函数是

partial Q partial x减去partial P partial y

而我们前边说过了

partial Q partial x减去partial P partial y

恰好等于零

因此呢最后结果等于零

于是呢我们看出来

在C上去做同样的1形式的第二型曲线积分

它会等于在L上去做同样的1形式的线积分

但是呢要多一个负号

于是啊我们只要在L上去做就可以了

To compute the right hand side

现在我们要计算的就是这个等式的右边

好的那我们对L呢取个参数化

怎么取呢很简单

因为L是一个圆周它的半径是ε

所以我们取x等于εcosθ y等于εsinθ

Where θ decreases from 2π to zero

因为我们要保持定向一致

我们就命θ是从2π变到0

这个过程是倒过来的

因此呢

它的定向就和我们指定的顺时针方向一致了

好现在呢我们把x和y的表达式全部代入

这个过程呢就是我们前面做过的

对第二型线积分的计算

同学们应该比较熟悉

这里呢我们就不详细解释了

总之呢最后把它化成一个简单的定积分的问题

结果是负2π

于是呢我们就知道

要求的那个积分式

也就是C上去求

xdy减去ydx over x square plus y square

result is 2π

可见刚才这个问题中啊

尽管我们没有指定C具体是哪一条曲线

我们总可以把它利用格林公式呢

转化成另外一个已知积分的结果

所以它最后永远是一个常数2π

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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