当前课程知识点:微积分-2 > Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part) > Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2) > Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
2. Term by Term Differentiation
逐项微分
前面我们学过幂级数
幂级数呢 可以做逐项微分
那么对傅里叶级数
我们能否做同样的事情呢
我们下面来研究这个问题
Theorem 2.1
请看
If f is continuous on minus π to π
and moreover
f at minus π equals f at π
另外呢 我们还要求
it is piecewise differentiable
要求在这个区间上是逐段可微
then 结论 第一条
f 它就处处和它
傅里叶级数收敛到的那个值
是一样的
holds uniformly on minus π to π
这句话告诉我们
傅里叶级数不但处处收敛到
原来的函数f
而且这个收敛过程呢
是一致收敛
可见 在比较强的条件下
我们的确可以得到
比较强的收敛性的结果
好的 再看第二条
第二条呢 是非常重要的结论
它告诉我们 对傅里叶级数
逐项做微分以后的结果
我们现在看到这个第二条的等式中的右侧
就是对傅里叶级数逐项做微分
而等式的左侧呢 告诉我们
它会收敛到这样一个值
就是 二分之一f一撇x plus
and then plus f prime x minus
这个f一撇x加和f一撇x减的含义呢
和我们前面定义那个f tilde的时候
是完全一样的
也就是 首先要对f一撇做延拓
以及在那些π的整数倍点呢
把它取为0
关键是要取左右极限
因此呢 这个地方
我们还有一个二分之一
就是左右极限的平均
那么第二条就告诉我们
对傅里叶级数
在满足某种条件下
它做逐项微分以后呢
它会收敛 收敛到什么值呢 收敛到
刚才这个式子中的左侧这个值
而且这个事情呢
holds true pointwisely on minus π to π
对任意的x都是对的
但是这个收敛过程呢 是pointwisely
也就是逐点收敛
它并不是一致收敛
下面呢 我们看一个具体的应用这种
逐项微分的例子
Example 2.2
We wish to find such a series
对这样一个级数
-1的n次方除以2n加1
然后呢 求无穷和
Infinite from 0 to infinity
这个问题呀 我们要想办法
把它转化到傅里叶级数这个范围内
来解决 好的 请看我们的方法
We consider f equals
the absolute value of x
on minus π to π
现在呢 在负π到π上
去考虑这么一个函数
对这个函数呢
我们以前做过它的傅里叶展开
但是我们还要注意
这个f啊 它显然是逐段连续可微
并且呢 在端点处
负π和π 取值是一样的
因此它满足我们刚才这个定理的条件
那么我们就知道
这个f啊 它实际上就是
它自身的傅里叶级数的
收敛到的那个和函数
也就是说 我们现在看到这个等式啊
实际上是处处成立
而且刚才这个定理告诉我们
实际上这个事情呢是一致收敛的
我们下面呢 看一下逐项微分会怎样
Moreover we have
现在我们要做逐项微分
首先呢 我们知道这个逐项微分的结果呢
并不一定是f一撇
而是我们现在看到这个式子
这是刚才定理告诉我们结论
当然对这个f
因为它就是x的绝对值
对它做微分以后 这个函数是非常简单的
那么现在这个式子很容易算出来
同学们自己可以在纸上
简单的算一下就可以了
我们就不重述这些具体的计算过程
总之呢 这个结论是说
如果x在0到π之间的话
那么这个值是1
如果x值取 0 π 负π
那么它就会取值为0
如果x取负π到0的开区间之中
这个值为负1
那么以上这个值呢 就应该是
原来函数f等于x的绝对值的傅里叶展开
然后呢 逐项微分之后的和函数
which should be equal to exactly the result
of term by term derivation
现在我们看到就是对小f的傅里叶级数
逐项微分之后的形式
于是我们就知道
这么一个级数 就是
sin(2n+1)times x over 2n+1
times 4 over π
equals the above value
当然这个式子呢
是对任意的x属于负π到π
都是对的
好的 下面呢 我们看一下
由此会得到什么结果
Especially if we take x equals half π
负1的n次方除以2n加1求无穷级数和
它就会等于四分之π
这样的话 就解决了刚才这个例题中
要找的级数和的问题
上一小节呢 我们研究了逐项微分
那么有没有逐项积分的事情呢
实际上 也是有的
下面我们看一下相应的定理
Theorem 3.1
If f is a piecewise continuous function
on minus π to π
假设呢 现在我们给定的函数f
是一个逐段连续函数
而且假设出它的傅里叶级数的形式
就是现在我们屏幕上看到的
我们这里呢 就不重复
这里头其中每一个系数的定义了
then 结论
for any x in minus π to π
对任意的闭区间负π到π上的x
我们都有下面的事情
也就是对原来的函数f做积分
从0到x 这是个变限积分
当然我们现在把里面的变量换成了t
它就会等于对相应的傅里叶级数
逐项积分的结果
这个逐项积分呢 我们看一下
第一项就是二分之一a0乘以x
后面呢 对每一项
因为都是三角函数的积分
它形式呢 比较简单
这里呢 我们把他们已经算出来了
同学们呢 一定要在草稿纸上
把这个积分的过程啊
再重复一下
好的 把它可以整理一下
就是现在我们看到的形式
也就是说 对f做变限积分的结果呢
它又是一个三角级数的形式
另外呢 还多了一项
同学们可能已经注意到了
就是前面二分之一a0 x
这个呢 是一个
关于x的线性函数
它并不是三角函数
另外还有一个尾项
这个尾项呢
它是一个普通的级数
好的 下面呢
我们快速的看一下
刚才这个逐项积分的事情
是如何应用的
Example 3.2
-1 to the n over 2n+1 cubed
负1的n次方除以2n加1的三次方
求无穷级数和等于多少
现在这个问题呢
其实是一个比较难的问题
如果我们不使用傅里叶级数
及相关的知识的话
我们几乎是求不出来的
我们下面看一下
如何使用傅里叶级数来找到它的解
我们首先要回忆一下
Recall that 还是考虑这个
x绝对值这个函数啊
它呢 我们前面说过
它就会等于它的傅里叶展开
而且这个等号呢 实际上是
一致收敛的意义
那么 我们现在对这个式子
逐项做积分
而且我们要固定住
是从0到二分之π做逐项积分
Integrate term by term
好了 得到什么呢 我们先看一下
对顶上这个式子的左侧做积分呢
从0到二分之π啊
这个结果呢 很容易算出来
它就是t的绝对值做积分
结果是八分之一π平方
那么 对右侧呢
前面这一项 常数项二分之π呢
积出来呢 就变成了
二分之π平方
后面有一些cos那些项呢
同学们可以自己去操作一下
这个是典型的定积分
那么我们直接算出来就可以了
好的 我们现在看到的
就是计算出来的结果
这个结果呢 它就是
现在我们看到的这样一个形式
于是我们发现
在现在我们得到的等式中啊
已经包含了我们要找的量
那么把这个量解出来就可以了
Thus we get the answer
the series of -1 to the n over
2n+1 cubed and summation
from 0 to infinity equals
π cubed over 32
这就是我们所要的结果
这个方法呢 是非常巧妙的
同学们呢
一定要把其中每一个细节掌握好
4. The Parseval’s Identity
Parseval 等式
关于傅里叶级数啊
还有一个非常重要的等式
就是我们下面要讲的这个定理
它说 如果f是绝对可积的
If f belongs to the curlicue B space
and we have its Fourier expansion as usual
现在呢 我们还是把它通常用的这个
傅里叶级数的展开形式呢
把它重复一下
另外呢 我们设
f is similar to its Fourier expansion
假设呢 f还是拥有它经典的
这个傅里叶级数的形式
那么结论是这样的
then we have the following identity
下面我们看到这个等式啊
就叫做Parseval等式
请看 它的左侧是对f
做平方以后再做积分
积分呢 是从负π到π
然后呢 整体再除以π
等式的右端是
二分之一a0的平方
再加上一个级数和
这个级数和的通项是
an的平方再加上bn的平方
so this identity tells us
what is the value of integration
of f square
这个等式啊 就告诉我们
如果我们知道f的傅里叶级数展开的话
那么f的平方的积分的值
我们就知道了
好的 下面呢
我们再看一下刚才这个Parseval等式
是如何应用的
比如现在这个 Example 4.2
We wish to find this value
这个呢 是一个级数
它是2n加1的四次方分之一
然后呢 求无穷和
这个呢 也是一个非常难的
求级数和的问题
我们下面来看一下如何使用
Parseval定理来解决它
Again consider the function
f(x) equals the absolute value of x
on minus π to π
我们还是考虑
刚才我们已经考虑过多次的这个函数
和它的傅里叶展开
这个呢 我们就不再重复了
关键是我们要观察这个等式
然后呢 把它应用到刚才我们讲过的
Parseval定理中
By Parseval’s identity we have
现在我们看到的是
Parseval定理中的那个右侧的值
也就是把傅里叶级数中的每一个系数
的平方呢 然后求无穷和
它就会等于
f本身的平方 做积分
现在就是x平方做负π到π的积分
然后除以π
当然这个积分呢 是非常容易算出来的
它就是三分之二π平方
于是 通过现在这个等式呢
我们立刻就可以得到
这样一个结果 就是
无穷和 2n加1的四次方分之一
它会等于π的四次方除以96
这样就解决了这样一个问题
同学们 以上就是这一讲的内容
我们学习了与傅里叶级数收敛性
有关的一些重要结论
以及在逐项积分 逐项微分等方面
的运用的方法
这一讲的内容呢 非常的重要
所以希望同学们在课后呢 要多做练习
来理解这些知识点
掌握这些方法
下一讲呢 我们还将为大家介绍
几种其他形式的傅里叶级数
同学们呢 还是要预习一下
好的 同学们 再见
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence(无穷级数及其收敛性)
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Exercises-2-5(section 2)
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 2)
--Power Series (幂级数)(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义