Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

上一讲中啊

我们已经讨论了多元函数的偏导数

梯度及可微性等等这些概念

在此基础之上呢这一讲我们要进一步学习

与多元函数的偏导数微分等有关的

其它更为复杂的内容

请同学们对照讲义认真学习

好的下面呢我们就开始讲课

Chapter 4

Differentiations of multivariable functions

多元函数的微分学

Unit 7

Jacobian matrix and directional derivatives

雅克比矩阵与方向导数

Section 1 Gradient of composed functions

复合函数的梯度

同学们上一个单元呢

我们已经熟悉了梯度这个运算

现在呢我们要深入地研究梯度

首先我们把梯度的符号回顾一下

For a n-variable function f x_1 to x_n

对一个n元函数它的自变量是x_1到x_n

我们以前引入过它的梯度

We have defined its gradient if it exists

如果梯度存在的话那么它的符号是这样的

nabla f 有的书上呢也用grad

这样一个连起来的字符来表示梯度

那么梯度呢

可能更多的书上用的是

partial f over partial x_1 to x_n such a notation

那么它具体的含义就是

连续的n个偏导数连在一起

Partial f partial x_1 一直到

partial f partial x_n

Gradients are higher dimensional derivatives

这样我们就明白了

因为在高维的时候一个多元函数的导数

就应该表达为梯度它是一个向量

那么接下来我们看一下

一元函数的时候

我们有一个重要的关于导数的公式

就是复合函数求导数

If f equals f(x) and x equals φ(t)

假设现在呢有两个函数

一个是f等于f(x) 另一个是x等于φ(t)

那么当我们把这两个函数复合在一起的时候

就得到复合函数

So the composed function is

by substituting φ into x

就是把φ这个函数呢代到f(x)里面的x去

那么复合函数就变成了

f equals f(x) equals f(φ(t))

那么符合函数最终是依赖于自变量t的

关于t求导数呢我们有这样标准的链式法则

Standard chain rule

df dt equals df dx times dφ dt

也就是说复合函数关于t求导数

等于它先对原来自身的变量x求导数

再对中间做替换的那个函数也就是φ

关于最后一个变量求导数

这就是链式法则

chain rule

同学们在一元微积分的时候

应该是反复使用过这种链式法则来做练习的

那么现在我们来看一下

它在高维的时候会变成怎样

So we have the question

For some n-variable function f

and n substitutions of the variables

假设我们现在有一个n元函数

f等于f x_1到x_n

我们现在要替换呢

把其中x_1 到x_n这个变量

替换成另外的n个函数

而这n个函数分别是 x_1 替换成φ_1

它依赖于y_1到y_m

x_2替换成φ_2 y_1到y_m

一直到最后一个 x_n替换成φ_n y_1到y_m

做完这个替换之后

我们就得到了多元函数的叠合

也就是复合函数

Now we have the composed function

这个composed function呢

它现在是这个样子

我们注意看一下

f 把其中的x_1到x_n 替换成了φ

x_1本身就有y_1到y_m个自变量

x_n呢也有y_1到y_m个自变量

但是总体代入以后呢

得到的最终这个叠合函数呢

总的来看它依然还是依赖于y_1到y_m

尽管它中间有n个变量x_1到x_n

我们只关心最终的结果

这就是叠合函数

好的那么接下来我们就要问

What is nabla f in terns of y_1 to y_m

也就是说当我们对原来的函数做了叠合

也就是把自变量换了别的函数之后

那么这个新的叠合函数

它现在自变量变成了y_1到y_m

对新的自变量y_1到y_m而言

where is the gradient

梯度如何表达呢

这就是我们的问题

好我们把这个问题呢具体写出来就是要求

partial f over partial y_1 to y_m

当然按定义它就是

partial f over partial y_1 and so on

to partial f over partial y_m

按定义就是把它关于y的m个偏导数

给放到一起就可以了

那么我们关心的是

这个新的关于y的梯度

和我们前面已经知道的f关于x的那个梯度

之间有什么关系

能否通过这些关系互相决定呢

这就是我们要下面研究的这个链式法则

相当于一元函数链式法则到高维的推广

那现在呢我们就来计算一下

好的我们来一点点计算

这个计算实际上并不难

只是我们要足够的耐心

我们要算

partial f over partial y_1

一直到partial f

over partial y_m

m个偏导数

我们现在为了方便啊把这m个偏导数呢

放在一起变成一个列向量

这样观察起来呢容易一些

现在呢我们把每一个都算出来了

这里我们用到了什么呢

用到了偏导数的链式法则

同学们如果忘记了

可以回顾上一个单元将的内容

现在比如说第一个

我们对偏f偏y_1做这么一个偏导数的时候

就要用链式法则

也就是说

partial f over partial y_1

应该按偏导数链式法则等于什么呢

等于我们现在看到的

就是这个最右边这个大公式最上一行

它实际上应该是很多项和那么第一项就是

partial f over partial x_1

乘以

partial φ_1 over partial y_1

再加第二项

第二项我们这里呢因为空间有限没写出来

同学们自己去把它写出来它应该是

partial f over partial x_2

乘以

partial φ_2 over partial y_1

一直到最后一项我们看到是

partial f over partial x_n

乘以partialφ_n over partial y_1

我们故意啊写这个偏导数的时候呢

把两个乘积的位置呢颠倒了一下

和我们上一个单元写那个偏导数的时候

那个次序呢稍微有点儿变化

这样写是有目的的

后面我们同学马上就能体会到了

类似地我们可以写第二行

也就是partial f over partial y_2

的形式

我们已经把它彻底写出来了

同学们不妨自己看一下

一直到最后一项

partial f over partial y_m

我们要注意这里边我们写这些偏导数的时候

我们按同样的次序来写

而且这个次序呢

是为了后面我们把它整理起来比较方便

我们现在看到这个式子还是比较复杂的

它是一个n行的列向量

而这个列向量的每一个元素都是一个很大的和式

下面把它拆开拆成什么样呢

也就是说

上一页我们看到的这个式子的最右端

是一个n行的列向量

其中每一个元素呢都很长

我们把它分成了两个矩阵的乘法

注意第一个矩阵是一个n列m行的矩阵

第二个矩阵呢是个列向量

它一共有n个向量

那么这两个矩阵乘起来

当然就会变成一个m行的列向量

也就是我们要的这边的样子

那么

我们同学一定要把这两页讲义呢互相对比一下

看出来我们为什么要写成这个样子

这么写首先最左边这个大矩阵

里边所有的偏导数都是关于y的

而右边这个列向量呢所有导数都是关于x的

左边这个矩阵里边

被求导数的全是φ系列的函数

右边呢全是关于f的偏导数

这样把它们分离开

请看这样一分离我们马上就看出来

这两个梯度之间的关系了

因为我们现在看到

这个矩阵的右边这个列向量啊不是别的

恰好就是f关于x那些坐标的梯度

把这个式子重新写一下就是我们现在看到的

We get nabla f nabla f现在是关于y的

就是partial f

over partial y_1 to y_m

which is partial f over partial y_1

to partial f partial y_m这么一个横向量

我们现在呢把向量呢重新改写成横写的样子

它就会等于

上面这个式子呢

和现在这个式子实际上是等价的

只是我们把它横过来写了

也就是说

前面写的是

partial f partial x_1一直到

partial f partial x_n

这么一个关于x的横向量

它就是关于x的梯度

而右边这个矩阵

现在呢它变成了一个m列n行的矩阵

这两种写法呢都是等价的

我们呢这样写的目的

就是为了看出来两个梯度之间的关系

同学们

刚才我们已经写出了两个梯度之间的关系

我们把它总结一下

就写成这个样子就是

partial f partial y_1 to y_m

就是关于y的梯度等于

partial f over partial x_1 to x_n

这是关于x的梯度乘以一个矩阵

这个矩阵呢实际上就是前面那个矩阵

只不过我们现在用了比较简单的记法

把它记作

partial φ_1 to φ_n over partial y_1 to y_m

它呢是一个m列n行的矩阵

这个矩阵的第ij个元素呢

实际上是对φ_i关于y_j的偏导数

这个矩阵因为它太特殊了

我们给它起个名字就叫做雅克比矩阵

It is called the Jacobian matrix

这个雅克比矩阵啊我们后面还会再用到

所以同学们呢

一定要记住这个雅克比矩阵是怎么来的

怎么定义的

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)在线视频