Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

上一个单元啊我们已经学习了

傅里叶级数的基本知识

知道怎么把一个函数

展开成傅里叶级数

但是呢我们始终

遗留了一个重要的问题就是

傅里叶级数的收敛性问题

那么在这一单元中呢

我们就专门回答

与傅里叶级数收敛性有关的问题

好的下面呢我们就详细解释

傅里叶级数它的特殊的收敛性

Chapter 3 Power Series and Fourier Series

幂级数和Fourier级数

Unite 4 Convergence of Fourier Series

Fourier级数的收敛性

1 Convergence of Fourier Series

傅里叶级数的收敛性

在上一个单元中呢我们已经接触了

傅里叶级数和傅里叶展开

我们简要的回顾一下

Let f be in B minus π to π

这表示f是一个

在负π到π区间上绝对可积的函数

那么我们就可以做傅里叶展开

在后面呢我们呢用下面这个式子

来统一表示小f这个函数的傅里叶展开

对这样的f呢我们有它的傅里叶展开

我们在今后呢用固定的符号

来表示傅里叶展开

请同学们看一下

现在呢在屏幕中央

我们有这样一个定义式

这个定义式的右侧呢

就是f的傅里叶展开

把右侧这样一个比较长的级数

我们呢用左侧这个符号也就是

一个花写的F再带一个小括号

里面呢把这个函数f放进去

来表示函数f对应的傅里叶级数

这样的话这个符号呢

就简化了很多后面我们在公式中

需要用到傅里叶级数的情形

以后我们就固定这样的符号

We write this notation to denote

The Fourier expansion of f

A natural question is whether or not

the Fourier series of f converges

以前我们从来没有回答过这个问题

就是说给定函数小写的f

那么它对应的傅里叶级数是否收敛

又是怎样的收敛

这是一个很重要的问题

但是我们从来没有回答过

我们现在呢我们就给出

有关傅里叶级数收敛性的一些结果

另一个重要的问题就是

如果这个傅里叶级数它收敛的话

And if it is really converge

Will it be converging to f

这个问题的意思就是说

如果我们能够算出来

傅里叶级数本身收敛

它还会收敛到原来函数f的值吗

固定一个点

Let x naught be in minus π to π

固定负π到π中间任何一个点

我们现在要定义一个值

这个值呢我们给同学们解释一下

首先呢给出它的符号它的符号是

f tilde with x naught

也就是说在原来函数那个符号f

的上面画一个波浪线

它在英语中呢

读作f tilde

然后呢写上括号x0

就表示我们要定义的这个值

这个值呢定义成

请看现在我们看到的这个等式右边

它是二分之一f x naught with plus

plus f x naught with minus

这两个符号是什么意思呢

同学们可以回顾一下

微积分1中我们

关于单侧极限的定义就明白啦

现在呢我们把这两个单侧极限呢

具体的写出来它就是

二分之一然后呢乘以个极限

这极限是当t趋近于0加

也就是t从正侧趋近于0的时候

的极限值

那么是对什么样的过程求极限呢

我们现在把它写出来就是

f x0加t

另一个是 f x0减t

这个就是单侧极限的定义

当然在这个式子中

我们的x0点可以取成端点

也就是负π或者π

这个时候 f在负π或者π的

某一侧是没有定义的

那么我该怎么去计算刚才

这个极限中的单侧极限呢

其实啊我们这里已经把小f呢

做了周期延拓

Here we have extended f as a periodic function

就是说原来的函数f

它是只定义在负π到π这个闭区间上

在其他地方呢没有定义

那么我们现在呢把f

要扩展成一个在整个实轴上

都有定义的函数

我们通常用的方法就是周期延拓

周期呢是2π with period 2π

但是我们还要小心

在整个实轴上啊

我们在那些kπ点

也就是π的整数倍的点

我们呢要重新定义f

也就是令f在那一点上

取值为0 就可以啦

这样的话就不会发生

在那些π的整数倍的点

不知如何定义f值的问题了

总之现在我们看到的这个f

也就是小写的函数f啊

它已经是经过了我们

做周期延拓以及修正一些点的值

而得到的f

当然这样得到的f呢

并没有改变它在负π到π上的可积性

因此呢实际上

对傅里叶级数本身呢是没有影响的

总之通过这个办法呢

我们现在已经定义了

我们在屏幕上看到的最重要的量

就是 f tilde at x naught

有了以上定义的这个

f tilde at x naught这么一个值啊

我们下面呢就可以给出

傅里叶级数收敛的一个定理了

这个定理是这么说的

Theorem 1.1

If f is a piecewise continuously

differentiable function in this space

curlicue B minus π to π

现在我们的条件是这样

假设f是从负π到π上绝对可积的函数

而且它呢是

piecewise continuously differentiable

这句话的意思是说

它是逐段连续可微的

逐段连续可微这个词的含义呢

同学们可以在微积分1中

找到它的定义

现在呢我们就不重述了

因为这个重述起来呢它的定义是很长的

总之只要f满足

piecewise continuously differentiable

逐段连续可微

那么我们的结论就是

then the Fourier series of f at x naught

converges to f tilde at x naught

也就说在刚才这个条件下

小f这个函数

它的傅里叶级数在x0点

它就会收敛到刚才

我们在上一片中定义的f tilde x naught

可见这个定理告诉我们

小f的傅里叶级数在某种条件下

的确是收敛的

但是它收敛的值呢

并不一定是原来函数在那个点的值

而是经过修正的

这个修正的方法呢就是

我们在上一片看到的

重新定义f tilde at x naught

这个值的过程

我们看一下这个定理的一个具体应用

Example 1.2

we consider this function

f(x) equals a half of π minus x

on the interval from 0 to 2π

注意我们现在考虑的f呢

是定义在区间0到2π上

在0到2π上啊

我们也有傅里叶展开这个呢

我们在上一个单元已经解释过了

那么在这个0到2π区间上

做傅里叶展开的收敛性呢

和我们刚才讲的这个定理呢

是完全一样的

因此呢我们不需要重复了

好的我们针对这个函数f(x)

我们呢已经做过它的傅里叶展开了

We already have its Fourier expansion

在上一个单元中呢

我们已经计算过

这个函数的傅里叶展开

注意现在是在0到2π区间上

那么我们把它写出来

请同学们注意呀

在这个傅里叶展开式中啊

我们并没有用等号

而是用了similar这么一个符号

我们现在来观察一下

这个式子左右两侧

右侧是傅里叶级数

左侧呢是原来的函数

那么我们说

其实这个式子啊它并不是等式

这个原因呢就是因为刚才我们讲过那个定理

在不同的点

我们要重新定义一个值

According to the previous theorem we have

也就是说傅里叶级数在不同的x处

它会取不同的值这个值呢

就是我们上一片定义的那个f tilde

只不过现在这个f

是固定的二分之一 π减x这个函数

那么对二分之一 π减x这个函数呢

同学们最好

能自己在纸上画一下它的样子

还是按照我们的约定

首先要把这个f呢做周期延拓

另外呢在那些π的整数倍的点呢

全部取值为0

然后再取左右不同的极限

然后呢再求平均

也就是乘以二分之一

总之这个过程呢

因为比较细琐我们在这里呢

就不详细的把每一个步骤写出来

甚至同学们可以通过画图呢

就很容易看出来

这个结果是我们现在所陈述的

就是凡是在x等于0和2π的地方啊

这个值呢一定是0

在0与2π开区间之中

它取值呢是原来函数的样子

就是二分之一 π减x

可见这个例子告诉我们

给定这样一个逐段连续可微的函数

对它做傅里叶展开

傅里叶级数呢

在不同的点收敛的时候呢

我们要特别的小心

一定要把那个f tilde算出来

它并不一定是原来的函数f

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)在线视频