More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

2. Tests for Absolute Convergence

绝对收敛性的判别法则

同学们在这一单元

我们要学习很多很多的判别法

下面要讲的这个定理呢

它的名称叫做达朗贝尔判别法

它就是我们下面要讲的

Theorem 2.1

请看它的陈述

For a series sigma n from 0 to infinity

And each term is an

假设它通项呢是an

而且呢，我们要假设这样一个条件

就是suppose more that a n+1 over an

Taking abs value tends to r as n goes to infinity

也就是说通项的后一项在比前一项

再取绝对值之后

取极限它是存在的

设它为r

好啦根据这个r呢

我们来判定这个级数是否收敛

请看下面一个结论

Then we have the following conclusion

First 第一条

If the abs value of r is less than one

Then this series is absolutely convergent

只要刚才求出来那个极限的数

就是r

它的绝对值小于1

那么我们就一定能够断定

原来的这个级数是绝对收敛的

第二 If the abs value of r is bigger than one

Then an must be divergent

只要刚才求出极限的这个数r它比1大

那么原来这个级数啊就一定是发散的

In the case r equals 1

在r等于1的情况下

刚才这个达朗贝尔判别法呢

就无法给出结论

D’ Alembert’s test

is inconclusive

Inconclusive这个地方的意思就是说

这个判别法是无效的

也就是说D’ Alembert判别法

刚才的定理2.1

只对r小于1或r大于1

我们可以给出确定的答案

对r=1的情况

我们无法断定原来的级数是收敛还是发散

总之呢达朗贝尔判别法是非常简单实用的一种判别法

它呢只需要观察一个极限的结果

就可以给出一些确定的结论

因此呢这个办法非常的实用

好的我们下面看使用达朗贝尔判别法的实例

Example 2.2 Here we consider the series

我们这里呢考虑这样一个级数

请看它的通项呢是n分之1 x的n次方

其中x是一个实数

这个实数呢它是整个这个级数的一个参数

好啦 determine the convergence of the series

这句话的意思就是说

让我们决定一下

这个级数在怎样的x取值情况下

一定是收敛的

怎样的x 是发散的

这就是这个例子要求我们解决的问题

那么我们下面呢

我们用达朗贝尔判别法来做一下这个问题

请看 We first note

我们现在呢要用达朗贝尔判别法了

所以呢我们要做什么呢

就是做相邻两项的比值的极限

好了我们现在看到

相邻两项是x的n+1次方除以n+1

除掉它的前一项

就是x的n次方除以n

And then take limit

那么它等于多少呢

显然我们第一步就可以把它化成

Limit as n goes to infinity n over n+1 times x

于是当n趋近于无穷的时候

它的极限就是x本身

这样的话我们立刻可以根据x的值

的情况来断定原来级数的收敛性

It follows that if the abs value of x is less than 1

如果x的绝对值小于1的话

那么根据刚才的达朗贝尔判别法

我们立刻就可以断定

原来的这个级数啊

它就是绝对收敛的

如果x的绝对值大于1的话

那么这个级数呢一定是发散的

但是呢如果x=1

刚才的达朗贝尔判别法呢没有告诉我们结论

所以呢针对这个特殊的例子呢

我们要单独研究一下

如果x=1的话

那么原来的级数呢就变成了

1/n通项的无穷和

就是1加2分之1加3分之1 一直加到无穷分之一

那么这个呢我们以前已经知道了

它一定是发散的

如果x等于负1

那么这样一个级数呢

就变成了负1的n次方除以n

这个级数啊就是我们第一次讲交错级数的例子

我们当时呢用了一个别的引理

就是欧拉常数的一个引理

去证明了这样一个级数是收敛的

因此我们看到

在刚才的3与4中

如果x=1 x=-1

也就是x的绝对值等于1的情况下

原来这个级数啊有可能收敛

也有可能发散

这样就完成了整个这个例题的解答

刚才呢我们学习了达朗贝尔判别法

接下来这个判别法呢也非常的著名

它的名称呢叫做柯西判别法

Theorem 2.3

请看这个方法

For a series sigma n from 0 to infinity an

还是考虑一个通项为an的级数

刚才达朗贝尔判别法呢

我们是求这个级数的某一个极限

现在呢柯西判别法呢

是求关于这个级数的另外一个极限

请看也就是通项an先取绝对值

再取n次方根

然后取极限

假设这个极限存在

Let it be r little r

假设它是这个小写的r

这么一个数

那么还是根据这个小写的r的情况

我们来判定原来这个级数的收敛性

请看结论

Then we have first if r is bigger than 0 or equal to zero

And less than 1

如果这个r呢它是介于0 1之间

r可以等于0

那么原来这个级数啊就一定是收敛的

Second case if r is bigger than one

如果r比1大

那么结论是说

Sigma an diverges

如果r等于1呢

In the case r=1 Cauchy’s test is inconclusive

有点像刚才达朗贝尔判别法的陈述

根据小r的范围来断定原来级数的收敛性

还是最后留了一个小尾巴

就是r=1的情况下可以判别法是无效的

对比达朗贝尔判别法和柯西判别法呢

我们可以发现它们非常的相像

可能有的同学有疑问了

“既然有了达朗贝尔判别法”

“为什么我们还要学习柯西判别法呢”

实际上是这样的

因为有的情况下用达朗贝尔判别法有可能判别不出来

有的情况下柯西判别法判别不出来

所以呢我们要准备两套工具

来应对不同的例题

好的我们现在看一个例子

Example 2.4

Determine the convergence of the series

还是要求我们来判定某一个级数的收敛性

请看这个级数是这样的

2 plus minus 1 to the n over 2 to the n

通项呢是2加负1的n次方除以2的n次方

对它求无穷和

问它是否收敛

我们不妨呢先试一下这个达朗贝尔判别法

也就是通过后一项比前一项求极限

那么后一项是

2 plus minus 1 to the n plus 1 over 2 to the n plus 1

再除以

2 plus minus 1 to the n over 2 to the n

好啦对这样一个比式去求极限

我们先把这个比式化简

那么现在是化简的结果

如果在现在我们看到的这个式子中

取n趋近于无穷的话会怎样呢

我们先把n是奇数和偶数的情况呢列出来

就会发现实际上在n是奇数的时候

刚才这个比式啊永远是2分之3

n是偶数的时候呢

这个比式永远是6分之1

So this sequence of numbers is alternating

所以啊，在n是奇数和偶数的情况下

这个数列啊实际上是一个交错变化的数列

它取两个常值

那么根据以前我们学习过的关于极限的知识

就知道在n趋近于无穷的时候

这个极限呢实际上是不存在的

也就是说如果我们试图用达朗贝尔判别法

去寻找刚才这个级数收敛性的话

那么我们会发现

第一步也就是求后一项比前一项的极限

就找不到了

Such a limit does not exist

也就是说

D’ Alembert’s test

does not work in this example

在这个例题中啊我们用达朗贝尔判别法的话

会失效

那么我们再试一下别的方法呢

请看

However we try Cauchy’s test

因为刚才我们刚刚学习了柯西判别法

我们试一下用柯西判别法来判定刚才这个例题

Observe that我们现在呢是要求另外一个极限

也就是通项加绝对值以后开n次根

因为这个通项是正数

所以就不用再加绝对值了

2 plus minus 1 to the n over 2 to the n and take nth root

And then take limit as n goes to infinity

好啦现在我们算一下这个极限的结果是多少

这个呢是一个非常简单的求极限的例题

我希望同学们呢能够快速地自己化简一下这个式子

然后看出它的极限

结果应该是2分之1

也就是说在刚才的柯西判别法中呢r等于2分之1

好啦根据刚才柯西判别法的结论

我们看出这个r小于1

于是by Cauchy’s test

such a series is convergent

刚才呢我们讲过了柯西判别法

以及达朗贝尔判别法

接下来要讲的是Raabe’s Test

它呢也是考虑这样一个级数

n from 0 to infinity an

对于通项为an的级数去求它的收敛性

好啦，我们现在是求另外一个极限

If the limit as n goes to infinity

这个极限式啊比较复杂

我们一点点解释

就是a n加1除以an取绝对值

后一项比前一项取绝对值

再减1 再乘以n

然后另n趋近于无穷

如果这个极限存在

假设它的结果是μ

那么根据μ的情况呢

我们现在来判定原来这个级数的收敛性

then first if μ is bigger than 1

如果μ比1大

Then sigma n from 1 to infinity an is absolutely convergent

这个级数啊一定是绝对收敛的

如果μ小于1

则原来这个级数啊是发散的

如果μ等于1呢

这个级数呢它的收敛性是判定不出来的

Raabe’s test

is inconclusive

对比刚才的达朗贝尔判别法和柯西判别法

我们看到啊在Raabe判别法中啊

我们要求的这个极限是最复杂的

但是呢有的时候呢

有些例题我们还非用Raabe判别法不可

好的请看一个例子

Example 2.6

Determine the convergence of this series

这个级数的形式呢非常的复杂

我们看一下它的通项

是2n减1的双阶乘除以2n的双阶乘

再乘以2n加1分之1

So this series is quite complicated

这个级数呢是挺复杂的

好的我们现在试图呢

去寻找这个级数的收敛性

First we try this method

也就是先求后一项比前一项的比值

然后呢求极限

这就是什么判别法呢

是我们第一个学的判别法

达朗贝尔判别法

看它极限是否存在

好的我们计算一下

这个计算过程呢比较细致

希望同学们呢

按照现在屏幕上看到的算式呢

认真验证一下

总之呢把通项an带入以后呢

再求极限

可以通过两步

就可以看出来它的极限是1

但是呢我们刚才讲这个达朗贝尔判别法中呢

r等于1的情况是无法判定的

可见如果我们试图用达朗贝尔判别法的话

这个例题啊做不出来

D’ Alembert’s test

does not work in this example

好了我们再试一下别的方法

We then try Raabe’s test

就是刚才学习的Raabe判别法

我们要算这样一个算式

就是a n加1除以an的绝对值减1再乘以n的极限

刚才呢我们已经计算过a n加1除以an的算式

因此呢在求这个极限的时候呢

就相对而言可以省去一些重复的计算了

我们现在呢把这个算式重新算一下

它就是这样一个极限式

当然还可以再次化简一下

这个化简的过程呢

希望同学们在草稿纸上呢自己一定要试一遍

我们这里因为时间的关系就不重复每一个细节了

总之我们现在看到这个求极限式啊

是怎样的呢

是一个典型的比式

上面的分子最高项是6倍n平方

底下分母的最高项是4倍n平方

因此呢它的极限非常容易算出来

就是6比4 也就是3 over 2

是2分之3

于是 Raabe判别法中的那个μ

极限值啊可以算出来了

它现在是大于1的

于是根据Raabe判别法

立刻我们可以断定

Such a series is convergent

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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