当前课程知识点:微积分-2 > Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part) > Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1) > Power Series (幂级数) (section 1)
欢迎同学们再次来到MOOC微积分在线课程
在上一章中啊
我们学习了级数与函数项级数的知识
在此基础之上
这一章
我们要研究两种特殊的函数项级数
也就是幂级数和Fourier级数
它们呢 都是非常重要的函数项级数
在很多数学 物理 电子等领域呢
有着非常重要的应用
所以呢 请同学们跟我一起学好这一章的内容
那么下面 我们就先来学习幂级数
Chapter 3 Power Series and Fourier Series
幂级数和Fourier级数
Unit 1 Power Series
第一单元 幂级数
1 Power Series and Domain of Convergence
幂级数及其收敛域
同学们 上一个单元呢
我们专门学习了级数以及函数项级数
在这一章我们重点关注特殊的函数项级数
其中第一种就是幂级数
下面呢 我们先来看一下
幂级数到底是怎样一种特殊的函数项级数
Definition 1.1
A series of the form
下面给出的就是幂级数的形式
其中呢 指标n从0一直加到正无穷
我们看到 在求和号的右边第一项是an
它表示一个常数
当然这个常数呢 是依赖于指标n的
后面的x减去x0的n次方
表示一个幂形式的多项式
也就是x是自变量
x0是固定的某一个常值
而n呢 是次数
于是 把整个幂级数写开
就是我们现在看到等号右边看到的这些项
如果n等于0 那么第一项就是a0
是个常数
n等于1的时候呢
a1乘以一次项 就是x减去x0
当然还可以这样继续下去
通项就是an乘以x减去x0的n次方
也就是说 幂级数的形式呢非常简单
它是系数乘以幂的形式所构成的级数
好的 我们知道
幂在英语中呢 叫做Power
因此在英语中呢
它就叫做power series 幂级数
可见呢 幂级数形式呢 非常的简单
但是我们要强调一下
这里面每一个幂 它中间有一个中心点
就是所谓的x0啊 它都是一致的
特别的 如果我们在这个函数项幂级数中
令自变量x取值为中心点x0
则所有的项都变成0
于是这个系数呢 就一定收敛了
It’s obvious that
any power series is convergent at x=x0
特别的 刚才这个中心点x0啊
我们把它取作0
Especially when x0=0
那么这个幂级数形式就变成这样了
也就是
n equals 0 to infinity
summation an x to the n
写开就是
常数项a0 再加上一次项a1乘以x
再加上a2乘以x平方
一直加下去 加到无穷
可见呢,中心点x0等于0时候的幂级数啊
它就是一个次数无穷高的多项式
同学们可以这么简答地理解
刚才我们介绍了幂级数的形式
那么 一个自然的问题就是
除了x等于x0中心点以外
有没有可能在其他的x处
这个幂级数也是收敛的呢
为此呢 我们需要有下面这样一个定理
Theorem 1.2
If the series an times x
to the n is convergent at x0
Which is not zero
注意啊 我们这里呢
取定了一个幂级数
它的中心点是0
然后呢 现在又取了另外一个点x0
假设在某一个x0不等于0的地方
我们发现 代入x等于x0以后
这个幂级数是收敛的
那么会怎样呢
Then 第一条
For any r which is bigger than zero
Less than abs value of x0
取任意的r 它介于0与x0的绝对值之间
这个时候我们发现
an乘以x的n次方这样一个幂级数啊
它就会在从负r到r的闭区间上uniformly convergent
同学们回忆一下 这就是一致收敛的意思
好 再看第二条
This series这个幂级数啊
is pointwise absolute convergent on the open interval
From minus abs value of x0 to abs value of x0
也就是说 刚才第一条我们强调的是
只要躲开这个x0或者负x0 这两个端点
那么这个幂级数啊
它在小一些的闭区间里边是一致收敛的
第二条呢 是强调的
如果我们考虑开区间 也同样要躲开两个端点处
那么这个幂级数呢 它是逐点收敛
而且逐点是绝对收敛
注意1与2它表示的不同的收敛性质
同学们 刚才这个定理呢
告诉我们 幂级数的收敛点有一些对称的特性
所以呢 研究那些使得这个幂级数收敛的点的时候呢
我们要特别注意这个对称性
我们还是呢 先引入一些重要的定义
然后我们再看这些对称性是具体怎么体现的
1.3 Domain of Convergence 收敛域
Domain of convergence of the series
好 现在我们考虑的是这样一个幂级数
n从0到无穷 还是取中心点为x0
这个点就固定了
那么对这样一个幂级数呢
如果我们把
the set of values of x for which the series converges
全部取到
就是把所有使这个以x0为中心的幂级数
收敛的那些x全部找到的话
那么这个集合就叫做这个幂级数的收敛域
好的 以后呢
我们通常用大写字母E来表示一个给定幂级数的收敛域
就像我们现在看到的这个写法
也就是说E是由这样的x构成的
x是实数 而且在x这个值 这个点
原来的幂级数变成数项级数之后呢
它是收敛的
好的 结合前面我们讲的
以点x0等于0为中心的那种幂级数收敛的对称性的特点
下面呢 我们给出一些具体的定义
Definition 1.4
For a power series an x to the n
现在呢 我们还是考虑特殊情况
就是x0中心点为0
There always exists some R which is no negative
我们呢 总能找到 某一个半径
这个用大写字母R来表示
它是一个非负数
使得这个以0为中心的幂级数
它呢对任何的x 只要x绝对值比这个大写的R小
就会收敛
当然 我们这里没有说这个大写的R是怎么取来的
如果要严格讲这个大写R如何取来的话
需要取刚才我们所定义的那个收敛域的上确界
关于取上确界呢
我们在微积分一中呢 也讲过一些
因为这里呢 有点超越我们这门课的要求
我们呢 就承认 这样的R的存在性
好 我们总能找到这样一个R 它是一个非负数
首先呢 我们说了 能够使得
在半径为R的开区间范围内这个幂级数收敛
这是我们现在说的这个事情
另外呢 还有
It diverges for abs values of x
which is bigger than R
也就是说在这个以外
只要x的绝对值超过了R
那么这个幂级数就发散了
好的 我们把这样大写的R呢
就叫做radius of convergence
就这个幂级数的收敛半径
注意收敛半径呢一定是非负的
它可能等于0
如果R等于0的情况下
就表示这个幂级数只对x等于0收敛
如果大写的R等于无穷呢
它就表示这个幂级数对所有的实数收敛
另外我们有the interval
注意这是一个开区间
负R到R 这样一个开区间 叫做
The open interval of convergence of this series
对于这个级数而言呢
这个负R到R这一段呢 叫做它的收敛开区间
因为呢 在这个开区间中 对任意的x
这个幂级数都是收敛的
但是我们现在呢 没有提到
当x特别地取到这个开区间的端点
也就是x等于R或者x等于-R的时候会怎样
这个通常呢是需要依赖于
这个级数本身的情况来决定的
我们后面会看到一些例子
刚才我们已经定义了收敛半径R
那么关于这个R呢 有非常有意思的性质
就是下面我们要说的这个注记
其实这个注记中的内容呢
我们可以通过前面已经讲过的一些定理呢
直接推导出来
我们现在呢 把它再强调一下
Remark 1.5 我们看一下 第一条
开区间负R到R包含在E中
E是什么呢
E就是我们前面讲的domain of convergence
给定的那个幂级数的收敛域
这个收敛域啊 有可能会比负R到R这个开区间还要多一些
会多哪些点呢
根据我们前面所讨论的内容
我们知道了,如果多的话
最多也只是多端点
要么是负R 要么是R
后面我们会看到例子
第二条
For those abs values of x equals R
The series may or may not converge
就是说 在端点x等于负R或正R的地方啊
这个级数啊 它有可能收敛 也有可能不收敛
有可能这两个端点处都收敛
也有可能两个端点处都不收敛
也有可能其中一个收敛 另一个发散
这种情况都有可能发生
Third 这个级数an x的n次方
我们所考虑这个级数
Is pointwise absolute convergent on -R to R
也就是说 在这个开区间-R到R中啊
这个级数的性质呢 它是逐点的绝对收敛
这是比较重要的结论
好 还有第四条 请看
对任意的r 只要这个r是非负的
大于等于0 而且呢 严格小于R
那么 同样的这个级数
它就在从负的r到正的r之间的闭区间上
是uniform convergent 一致收敛
我们一定要注意3与4的区别
因为逐点收敛和一致收敛是完全不同的概念
好的 刚才我们看到
对于以0为中心的幂级数 有一个收敛半径R
那么关于这个R呢
我们研究了它与收敛域E之间的关系
以及其他一些重要的收敛特性
那么这个R如此重要
该怎么找到它呢
我们下面呢就给一个方法
The following theorem gives a way
to find the radius of convergence R
好 我们看这个定理怎么说的
Theorem 1.6
Given a power series还是刚才那个幂级数
以0为中心
if请看 现在呢 我们找这个极限
Limit as n goes to infinity
square root of abs value of an taking the limit
我们找的是幂级数的系数
也就是an绝对值开n次根以后再取极限
这个极限呢 假设它等于ρ
那么根据ρ的情况 我们来判定R
也就是收敛半径会怎样
Then then the radius of convergence R is given by
The following table R equals
If ρ大于0 如果ρ是一个正数的话
那么R等于多少呢 ρ分之一
如果ρ是正无穷 那么R就是0
如果ρ等于0 则R就是无穷
在一定意义上说呢 这个R就是ρ分之一
当然我们允许ρ无穷 R呢 也可以取无穷
于是呢 通过这个定理就告诉我们
要找这个收敛半径R等于多少
只需要找一个极限就可以了
所以啊 这个定理非常重要
好的 我们通过几个简单的例子
来说明一下这个求R收敛半径的过程
请看example 1.7
Consider the power series
Sigma n from 0 to infinity
n to the n x to the n
也就是说 我们现在这个幂级数啊
它的系数是n的n次方
那么根据刚才我们那个求半径R的方法
只需要找这样一个极限
就是 n的n次方 也就是an
然后呢 开n次幂 看它的极限是多少
当然 n 的n次方再开n次根的话
结果就是n
那么当n趋近于无穷的时候
这个极限也自然是无穷啦
于是 我们知道
R应该是ρ等于无穷分之一 也就是0
可见 这个幂级数
我们在这个例子中给出的幂级数啊
它只有在一个点上收敛 就是x等于0这个点
This series only converges at its center at x=0
接下来我们再看一个例子
Example 1.8
Consider the power series
Sigma n from 0 to infinity
x to the n over n factorial
就是 它的系数啊 是an等于n的阶乘分之一
我们还是按刚才那个方法
也就是求系数的n次方根
就是n的阶乘分之一 然后再开n次根
这个极限等于多少呢 等于0
这个极限为什么等于0呢
这是需要同学们利用微积分一中的知识去证明的
我们这里呢 就假设同学们
已经掌握了这种比较典型的极限的求法
它的结果是0
好 根据ρ等于0 我们可以断定
R equals infinity
也就是说
the series converges for all x in R
就是对任意的实数x 这个幂级数啊
它都是收敛的
好的 我们下面看的这个例子呢
它能够具体的给出一个R
它的值是多少
请看example 1.9
Consider the power series
注意这个power series呢
它比较复杂 它的系数是
square root n+1 minus square root n
我们还是按刚才的方法对系数开n次根
然后求极限
求这个极限呢 是有一点技巧的
如果同学们以前熟练地掌握了求数列极限的方法的话
我们知道 对于这种形式的数列呢
我们要先做有理化
也就是先把它变成现在这个模样
作如此恒等变形之后呢
我们就很容易求出它的极限了
这个极限等于1
对于这个例子我们已经求出来它的收敛半径R等于1
但是R等于1并不说明在这个收敛开区间的两个端点
也就是负1和1处 幂级数的收敛情况
Can you tell whether or not the series above
converges at x=1 or x=-1
在x等于1和x等于负1处啊 我们说 这个级数啊
它的收敛是非常有意思的
这里呢 我们把这个问题啊 留给同学们
其实这是一个比较简单的问题
但是通过这个问题的解决呢
希望同学们能够领会
在那些端点处 这个幂级数它收敛的奇妙的特点
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence(无穷级数及其收敛性)
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Exercises-2-5(section 2)
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 2)
--Power Series (幂级数)(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义