Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 2 Type 1 Surface Integral

第一型曲面积分

同学们有了上一小节关于曲面面积的讨论

下面我们就可以定义什么是第一型曲面积分

首先我们说

Type 1 surface integrals

are integrals of scalar fields

第一型曲面积分啊

是针对数量场而言的 Scalar fields

A scalar fields is a three

variable function f=f(x,y,z)

Defined on a three dimensional region C in E3

所谓一个数量场

实际上就是一个三元函数

它的自变量是x y z

x y z的范围呢在某一个区域C中

这个C呢是三维欧氏空间的一部分

好首先我们看定义

Partition the surface S into pieces σ1 σ2 until σm

这句话的意思是说假设我们现在有空间的一个曲面S

我们先把它分成很多很多小的pieces

很多小的曲面片

分别用σ1 σ2到σm代表

总之是有限片

And denote the area of σi by △σi

用△σi这个符号表示相应的一片上的面积

Choose sampling points (xi, yi, zi) in each piece

在每一个小片上呢取一些样本点

把它记做(xi,yi,zi)

If the limit

现在我们写的这个limit实际上是黎曼和的极限

因为我们已经对黎曼和非常熟悉了

我们现在整体一块儿写

也就是先求一个和式Σi

对每一个i i从1到m都求一个值

这个值呢我们看一下

f(xi, yi, zi)是表示f在样本点的量

f在样本点取值的结果乘以△σi

△σi表示相应那片上的面积

也就是那一片上的权重

好我们说以面积为权重

然后呢对这个函数f在样本点的值做黎曼和

最后取极限

这个极限就是令△σi里边的最大值

也就是最大那一片的面积趋近于0

也就是精度趋近于0的时候

我们看整体极限是否存在

如果极限存在的话

If such a limit exists

then we call it this limit

the surface integral of f(x,y,z) on S

就把这个极限值的结果I定义成第一型面积分的值

被积函数是f(x, y, z) and denote it by

第一型面积分的结果呢如果是I的话

它笼统的符号是我们现在看到的这个样子

是写一个积分号底下写一个S

有的书上可能写两个积分号

这都是允许的

积分号下放上S 表示在S上做积分

最后呢有一个dσ

这个dσ呢就表示现在做的是第一型面积分

dσ回忆一下就是我们前面讲的面积微元

好被积函数f(x,y,z)放在中间表示

对数量场f做第一型面积分

这就是面积分的定义和符号

如果在刚才的定义中

我们取一个特殊的数量场常数为1

f恒等于1

这个时候啊

这个第一型面积分就是直接对1做第一型面积分

也就是积分号Sdσ 什么都没有

那么它的结果I不是别的

自然就是整个曲面S的面积

这一点很容易理解

好的刚才我们定义了第一型面积分

我们来理解一下

为什么这样定义它的含义是什么

To understand the meaning

of such surface integrals

We consider a problem in physics

我们用一个物理的问题来解释刚才这个定义好

let S be a surface in E3

with electric charges on it

假设S上有电荷

the density of which being ρ(x,y,z)

电荷的密度是用这样一个函数ρ(x,y,z)来表达的

好了 σi是S上的一个小片面积

那么在每一个σi上去样本点(xi,yi,zi)

就相当于在那一小片面积上呢取了一个特定的点

让他来代替其他的点

The total charges on S

在S上总体的电荷总量是多少呢

我们可以用下面这个近似式来表达

这个是 approximately the summation

Σi 对i求和对每一片都求和ρ(xi,yi,zi)

以样本点的密度作为代表

乘以σi 就是这个面的面积

乘上它就是这一面的电荷总量

那么总体求和就是总的电荷量的近似值

好了 when each σi is infinitely small

每一个σi充分小的时候

那么这个极限值就是精确的S上的总电荷的量

The total charges are given by the integral Q

因为现在算的是总电荷量

我们用物理的符号Q表示

就是面积分ρ(x,y,z) dσ

所以呢我们这样就容易理解

为什么要这样定义第一型面积分

它的物理含义呢就可以理解成

给定数量场这个数量场可以理解成电荷密度

给定电荷密度之后沿着一个面上的总电荷量

同学们刚才我们定义了第一型面积分但是呢

It is quite hard to calculate the value of

such integrals using the above definition

直接用定义取极限这种方式去求

第一型面积分是非常困难的

因为他有很多个过程

In practice we need the following equivalent

Formula of surface integrals

在实际的数学计算中啊

我们通常要用一个等价的公式来计算第一型面积分

好下面我们讲下这个公式

首先 we first assume that

S contain C contained E3 is a smooth surface

Which admits an admissible parametrization

r=r(u,v) for (u,v) in D

首先我们还是假设原来的符号

S是一个光滑的曲面片

C是E3中的某一片区域

然后呢由S的一个允许的参数化表达

就是r等于r(u,v)

(u,v)的范围在某一个平面区域D中

这个时候我们再看

Surface integral of scalar field等价定义

Definition 2.2

With the above assumptions

the surface integral of the scalar

Field f(x,y,z) on S is denoted and defined by

现在我们直接给出一个等价的表达式

就是第一型面积分的等价表达式

我们直接可以把它看成定义

就是f这个场在S上做第一型面积分

也就是我们现在公式中左边的符号

这个是积分号底下一个S

场f 然后最后是dσ面积微元

它呢直接可以用公式右边的形式来定义或者计算

就是注意这是一个二阶积分

有两个积分号

底下D表示积分区域

最后的dudv呢表示积分变量是u和v

中间是被积函数

是一个关于u v的函数

请看首先把原来的f中的xyz全部替换成ruv

也就是用参数来表达xyz

于是它变成了f复合r（u，v）

另外我们要特别注意

不能忘掉这个非常重要的这一项

就是partial r partial u

叉积partial r partial v

然后取norm 取范数这一项

千万不能忘记

因为啊我们这里呢把dσ这个面积微元啊

做了展开啊回忆一下我们前面做面积微元的时候

dσ的定义就是

partial r partial u cross partial r partial v

的范数乘以dudv

因此呢中间这个

partial r partial u 叉积partial r partial v

的范数万万不能忘掉

好这个公式也是第一型面积分的等价定义

同学们有的时候这个曲面可能比较复杂

它不一定是一片可以做允许参数化的曲面构成

可能是很多片

If S is the union of finitely many pieces

如果S是很多很多个这样的可以做允许参数化的

曲面构成的 S等于S1并S2并一直到并Sn

一共有n片

Each Si is smooth and admissible parametrization

And the intersection of any pair Si and Sj

就是Si与Sj的两片之间呢

is a one dimensional object in E3

这每两片之间互相缝合的时候呢

就是因为它们边界缝合

也就是它们的相交呢是一个

one dimensional object

就是它们相较起来是一维的对象

比如说曲线或点之类的东西

Then we define the surface integral of f(x,y,z)dσ

这种定义方式呢应该非常容易理解

因为在定义线积分的时候我们也用类似的思想

就是如果整体的曲线或曲面不能达到局部要求的话

我们就把它分解成很多个小片来分别去做

最后求和就可以了

Again we remark

that the definition does not depend

on the choice of admissible

parametrization of the surface

我们还是要强调尽管我们刚才的定义中呢

用到了允许的参数化但是呢

至于选择怎样的允许参数化是没关系的

最后得到的那个值

In practice one should choose

the best parametrization

so that the integral is easier to calculate

因为这个曲面给定以后呢

我们要找它的允许参数化的方式可能很多

那么在计算的时候呢

通常要选择最容易使用的那个

We have also the following particular situation

我们还是有一个重要的remark 一个注解

If surface S is of this form

现在我们这个曲面S呢

是由某一个二元函数确定的曲面

也就是假设S啊它是ψ(x,y)

这样一个二元函数所确定的空间曲面

z=ψ(x,y) and (x,y) in D

which is part of E2

好的这个时候

the surface integral on S

can be calculated by following formula

现在我们图中看到的这个公式

就是给出了这种特殊的曲面上

去做第一型面积分的表达式

请看关于f场 f是一个数量场

那么它在S上做第一型面积分

等于公式的右边

公式右边是关于xy的二重积分

x和y都保留唯独z的位置要换乘它的函数

也就是ψ(x,y)

另外dσ不能直接换乘dxdy 千万记住

dσ前面还有一个根号下1加上

partial ψ partial x 的平方

再加上partial ψ partial y 的平方这么一项

这个很容易理解因为前面我们已经讲过

这种曲面的面积公式里面就有这一项

这一项千万不能忘掉

总之呢在这种情况下

我们通常用这个公式来计算第一型面积分

下面我们具体计算一个第一型面积分

Example 2.4

Here we wish to find I equals

请看这是一个面积分

它的被积函数呢是x平方

而曲面S呢是unit sphere

也就是单位球面

X平方加y平方加z平方等于1

那么这个问题该怎么做呢

我们还是按严格的定义的方式去求

Solution

Take the standard parameterization

我们不难理解

因为这里用到的曲面是单位球面

那么对它而言呢

如果我们要求的话

最好是用这个标准的坐标

也就是球坐标的方式来参数化

令x等于cosψsinθ

Y等于cosψcosθ

Z等于sinψ

这里边因为半径为1

因此前面那个R呢就变成了1了

另外这个ψ的范围是0到π

θ范围是0到2π

好的我们来看

现在我们来计算第一型面积分

也就是x平方它的面积分

首先把它转化成ψ和θ的二重积分

ψ范围是0到π

θ范围是0到2π

这不难理解

关键是中间这一部分x平方

X平方呢我们已经替换成了

cos平方ψsin平方θ

最后我们还有一项sinψ是怎么来的呢

同学们回忆一下

其实前面我们计算过了

就是面单位球面做参数化之后

所对应的那个雅克比矩阵的量

它的行列式的量 sinψ

因为现在我们这个sinψ呢

永远是正的

因此呢绝对值号也不需要加了

好总之现在我们已经把它变成了

可以计算的算式

直接算就可以得到结果3分之4π

所以这个是个比较简单的第一型面积分的例子

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

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--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

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-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)在线视频