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同学们 你们好
欢迎来到MOOC在线课程微积分
在前面微积分一中
我们学习过了如何对
带有一个自变量的函数进行积分
这就是黎曼积分
在这一章中呢
我们要学习带有多个自变量的函数的积分
如果一个函数带有n个自变量
那么它的积分就叫做n重积分
在下面的第一单元
我们先从对二元函数的积分学起
也就是二重积分
它的定义也和我们以前学习
一元积分的时候非常的类似
所以同学们一定要互相对比地学
另外 我们还要学习具体怎么计算这些积分
好的 下面我们就从二重积分的定义讲起
Chapter 5 Multiple integrals
第五章 重积分
Unit 1 Multiple integrals
重积分
1. Double Integrals
二重积分
同学们 我们先讲一下二重积分的来由
Just as the definite integral of a function f(x)
of one variable represents the oriented area
of the region between the graph of the function and the x-axis
the double integral of a function f=f(x,y) of two variables
represents the volume of the region between the surface
defined by the function on the three-dimensional
Cartesian plane where z=f(x,y) and the plane
which contains its domain
这段话呢很长
我们来看它什么意思
原来我们在学习一元微积分的时候我们知道
一元微积分里面对一个函数的积分
它代表了这个函数图象与x轴之间
所夹的那一片面积
那么对二重积分而言呢
我们要做的是对一个二元函数f=f(x,y)
注意x, y是自变量
因此呢它是一个二元函数
那么我们下面要学习的这个f=f(x,y)
这个二元函数的二重积分
它表示的是这个函数所表达的那个曲面
与它在xy平面上定义域之间所夹的立体体积
这就是这一段英文解释的
关于二重积分的含义
但是这个含义呢还是不很精确
我们下面呢就慢慢地来精确定义所谓的二重积分
We commence from the most simple case
我们从最简单的情况开始谈起
好的 我们现在考虑什么呢
an integral on a rectangle in E2
这里呢我们回顾一下E2
也就是E二 E2呢它表示什么空间呢
同学们回顾一下
在上一章我们已经提到了
E2表示二维的欧氏空间
类似的E3表示三维欧氏空间
所以这个符号 同学们还是要熟悉的
Let f=f(x,y) be defined on D
which is contained in E2
考虑这样一个二元函数f=f(x,y)
它呢定义在某一个区域
这里我们用的符号是大写的D
它呢是平面的一部分
where D is a rectangle
而且我们这里所讨论的D呢
恰好是一个rectangle
rectangle英文的意思是长方形
这个长方形我们通常把它界定下来
就是D=[a,b]×[c,d]
也就是闭区间[a,b]
与闭区间[c,d]的笛卡尔积
好的我们现在目标
是找到这个函数f=f(x,y)
它所对应的二重积分的定义
我们说了我们需要理解二重积分
就想象现在空间中有这样一个图
实际我们同时画出两幅来
我们先看一下左边这幅图
左边这幅图是f=f(x,y)所描绘的空间曲线
我们的目标是求这个函数f=f(x,y)的二重积分
它的具体的解释就是
这个曲面下面所扫过的这个空间体的体积
也就是我们看到图中绿色的部分
为了求这个体积呢
我们下面就用近似的思想
或者说是用极限的思想来求它
怎么做呢
我们把这样一个曲面下方的体积
用很多的柱状图
注意我们这些每一个小的柱状体都是一个长方体
用很多很多这样的长方体来代替它
这样得到近似值
然后取极限 就得到精确值
下面我们来定义一下这个过程
这个过程呢和我们以前
求面积的时候用的类似的思想
是完全一样的
因此我们来看一下这个具体定义
同学们应该不会感觉到陌生
好 请看什么叫做cut
a cut or partition of D
首先我们需要一个分割
就是对定义域D进行分割
well it is denoted by Δ
通常我们一个分割
就用这样一个抽象的符号Δ来表达
is to assign a partition of [a,b]
因为现在我们面对的这个区域D
它是一个长方体
我们先对其中的一条边
也就是x轴上面[a,b]这一段进行分割
把[a,b]分割成n段
分割点分别是x0 x1一直到xn
这个分割在我们以前求一元微积分的时候是非常常用的
好 类似的
we need a partition of [c,d]
[c,d]是y轴上的一段区间上的分割
我们把它设成c=y0 until the last one ym which is d 我们看到现在同时对两段 闭区间[a,b]和[c,d]都做了分割但是 注意我们这里分割的精细程度是不一样的 也就是说[a,b]分成了n段 [c,d]分成了m段 好 现在呢我们就把这样一个分割记成Δ 我们引入一个概念 叫做 The diameter of the partition diameter它的字面意思是直径 那什么叫做刚才所定义的这个分割的直径呢 我们把它记作这样一个符号 δ(Δ) 注意小写的δ就表示它的直径 而大写的Δ是刚才指定的分割 好 我们下面说一下这些量是哪些 这里边呢 实际上一共有m加n个量 分别是从x1-x0 x2-x1一直到xn-xn-1 另外的呢是从y1-y0再用y2-y1 y3-y2 一直到最后一个就是ym-ym-1 一共有m加n个量 那么从这m加n个量中取出其最大的量 我们就把这个记作δ(Δ) 也就是我们定义的diameter直径 这个分割的直径 这个定义直径的这个量 和我们以前在一元微积分的时候 对一个单纯的闭区间上做分割 然后求它的精度 这件事情是一致的 只不过现在是在二维的区域上去做 因此呢我们把它叫做diameter直径 注意这个直径和通常我们所说的圆的直径等等 是不同的概念 好 接下来 我们要做的事情 同学们一点都不会觉得奇怪 就是取样本点sampling points take sampling points 注意我们取sampling points的时候 还是要一对一对取 请看 对每一个i i从0一直到n-1 都要取一个ξ_i 每一个ξ_i介于xi和x_i+1之间 另外还有η_j其中j从0跑到m-1 这样的话我们取到了多少个量呢 我们可以想象一下 实际上一共有m乘n个量 也就是m乘n个点 这个点是平面上的点 ξ_i η_j So we can approximate the total volume bounded below by D and above by f(x,y) with the following Riemann sum 好 这个黎曼和就是很多柱状体的体积 请看I=Σ Σ就表示一共有m×n个柱状体 每一个柱状体它的高度呢 我们用f(ξi,ηj)这样一个函数值来表示 而它所对应的底面的面积 就是(x_i+1-x_i)times (y_j+1-y_j) 因此呢 这个就表示曲面的近似的对应的体积 好 接下来 我们要取极限了 因为只有取极限才能得到精确的体积 那么这个极限的过程当然是 If the limit of this Riemann sum 注意 我们看到首先就是 把刚才的黎曼和先摆出来 然后取极限 这个极限的过程是对分割Δ的半径趋近于0而言的 因此呢这个极限? 它也是一个比较复杂的过程 如果上述极限存在的话 我们就把这个极限值呢 叫做f所对应的函数的积分 Such a limit is called the Riemann integral of f over D 也叫做黎曼积分 and it is denoted by 注意我们下面用的这个符号 这个符号呢就是表示二重积分 它和一重积分是有区别的 请看 这个二重积分里边 我们用了两个积分号 积分号底下写一个D表示对应的积分区间 f(x,y)是被积函数 最后用dxdy表示在这个积分过程中我们 是对哪两个自变量而言的也就是x y 整体上这么一个值就代表了二重积分的结果 这个定义呢应该说和一元积分是非常相仿的 因此同学们不难理解它所代表的空间几何含义 同学们刚才我们已经定义了什么是二重积分 那么二重积分从形式上看和一重积分非常的像 因此自然有很多类似的性质 So multiple integrals have many properties common to those of integrals of functions of one variable but we have one important property of multiple integrals 但是关于多重积分特别的刚才我们学习的二重积分 有一个非常重要的性质 这就是我们下面要学习的内容 这个性质说什么呢说 the value of an integral is independent of the order of integration under certain conditions 做二重积分的时候和积分次序无关 什么是积分次序呢 这里呢我们先要学习一个关于二重积分求法的定理 这个定理呢就是Fubini定理 This property is popularly known as Fubini's theorem 下面我们来看一下Fubini定理 If D as previously is a rectangle 如果这个D呢还是前面我们说的那个长方形 也就是[a,b]×[c,d]这样一个长方形 and f is a function defined on D f是D上的一个二重函数 well then the Riemann integral of f on D is defined 假设现在这个f对应的二重黎曼积分呢 和前面定义的一样 那么我们下面的关于这个二重积分就有这样一件事情 就是当我们要计算二重积分的时候 请看这个公式 二重积分D f(x,y)dxdy 这是我们要求的二重积分的值 它会等于那么现在这个公式中呢 如右边的这两个公式 上面和下面都给出求二重积分的一种方法 这个方法呢就是连续做两次积分 请看 这个右边式子的上面部分 先做一个积分 这个积分是 我们顺序地看就是第二个积分 c到d f(x,y)dy这部分表示 把x看成参数 也就是x看成固定的量 而y看成变量 关于y做积分从c到d 因此我们现在看到的这个式子是 c到d f(x,y)dy 这是一个一元积分只不过这里边把x 看成了固定的量 因此是一元积分 做完这个积分以后呢就得到一个值 这个值它会依赖于参量 也就是x的变化 所以会得到一个关于x的函数 这个函数就是刚才那个积分值 好 对这个关于x的值 再做积分就是我们现在看到 从a到b这一段积分 这一段积分因为它是关于x做的 因此呢 我们在积分的过程中要写一个dx 也就是我们看到积分号后面有一个dx这个符号 当然这种记法它就表示了两次积分的过程 第一次关于y积分 第二次关于x积分 因此它是两个积分复合在一起 这样一个结果就一定等于 刚才我们所定义的二重积分 类似的我们看到这个屏幕中 公式右边下方的部分呢 是另外一个次序 它的次序是从a到b 关于x做积分 这个过程中要把y看成参量 也就是把y固定住 做完以后会得到一个关于y的值 也就是关于y的一个函数 然后再关于y做积分 当然y的范围是从c到d 这个结果也一定会等于 刚才所定义的二重积分的值 因此整个这个定理 Fubini定理 它告诉我们要求一个二重积分的值 我们不要用这个二重积分本身的定义去求 而把它转化成两个积分过程 这就是所谓的两个积分的顺序的问题 我们这里呢这个定理告诉我们 不管你先对y积分然后再对x积分 还是先对x积分再对y积分 结果都是一样的 都是刚才所定义的二重积分的值 这就是Fubini定理它的重要的结果 同学们 现在 我们应用刚才学习的Fubini定理 来求一个具体的二重积分的例子 这个例子就是下边的这个算式 我们要求这样一个函数 y乘以cos(xy) 它在[0,2π]乘以[1,2]这么一个方块区域上的二重积分的值 好的我们现在呢来应用Fubini定理来试一下 请看我们的Solution解法 首先呢 我们应用刚才的Fubini定理 把它转化成两个积分的叠合 好 现在我们看到的这个算式的右边呢 要先对x积分 x从0跑到2π 函数还是y乘以cos(xy) 只不过仅仅对x积分 把y固定住 然后再对y从1到2积分 我们来一点一点来计算这个结果 其中第一步从0到2π 关于x积分的计算过程呢 我们可以通过我们微积分一里边最常用的技巧 也就是配元的方法 或者说凑微分的方法 首先把y这个常数吸收到x那个变量里边去 变成d(xy) 这样的话就变得相对简单一点 我们可以一步就求出这个第一步积分的结果 它就是sin(xy)然后在两端取值 也就是0 2π之间取差值 好的 我们来看一下具体的结果就是sin(2πy) 因为当你把x等于2π代入的时候 得到的是sin(2πy) 而x等于0代入的时候等于0 因此它差值就是sin(2πy) 接下来要对y求积分 y的范围是从1到2 这时候已经完全转化了 一个我们非常熟悉的一元积分的结果 那么它的结果等于0 这样就完成了刚才这样一个二重积分的求解过程 同学们 注意 刚才我们求解这个例子过程中 我们是先对x做积分然后再对y 那么能不能倒过来呢 maybe you can have a try one can try doing this integration the other way around 我们可以换一种方式来求刚才的积分 怎么做呢先对y从c到d积分 然后再对x从a到b积分 也就是颠倒刚才这个例题中求积分的过程 这个时候 同学们不妨自己试一下 就会发现这个积分非常非常难做 尽管我们知道它最终的结果 一定和我们刚才求的结果是一样的 但是在实际操作过程中这个次序是不好的 因为它非常难求 The result is the same but the calculation is much much harder
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）
--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）
--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）
--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）
--Exercises-2-5（section 2）
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)
--Power Series (幂级数）(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义
