Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC 微积分

上一讲呢我们已经学习了幂级数

现在呢我们要应用幂级数来研究函数

我们呢要把原来在微积分1中学过

关于函数的泰勒公式改写一下变成一个幂级数

这个幂级数呢就是所谓的泰勒级数

好的下面呢我们详细解释一下这个过程

Chapter 3 Power Series and Fourier Series

幂级数和Fourier级数

Unit 2 Expansion of Functions in Power Series

函数的幂级数展开

1 Taylor’s Series

泰勒级数

同学们前面我们学习了幂级数

知道它有一些非常有趣的收敛性的特点

下面呢我们研究一些特殊的幂级数

它们呢来自于事先给定的某一个函数

我们先回顾以前讲的一个事情

就是Taylor’s Formula

泰勒公式

泰勒公式啊是我们在微积分1中讲的内容

如果同学们对它有点儿陌生呢

希望同学们呢能够复习一下

好泰勒公式说什么呢

它说一个函数f(x)

如果我们要近似地表示这个函数的时候呢

可以用一个多项式

现在我们看到呢是一个n次多项式

我们展开的时候呢

以x_0这个特殊的点为中心做展开

第一项是f在x_0处的值

第二项是f一撇x_0乘以x减去x_0

and so on

until the last term which is one over n factorial

f to the nth derivative at x naught

times x minus x naught to the nth power

这个最后一项啊有f的n阶导数

因此呢我们说

只要f能够求导到n阶

我们就有这样的一个近似表示f的方法

当然这里头我们还写了一个余项r_n

这个余项呢它是一个高阶无穷小量

当然泰勒公式的成立是有条件的

首先我们就要求了f的n阶导数的存在性

现在我们想象

如果f是一个无穷次可导的函数

也就是说刚才这个泰勒公式呢

可以无限得继续写下去

那么得到什么呢

那自然就得到一个级数了

而且这个级数的样子啊

就是一个典型的幂级数的样子

它的中心呢也是x_0

If derivatives of f of all orders exist

假设f对任意阶的导数都存在

We may expect to have

a power series representation of f of x

我们可以设想

假设刚才这个泰勒公式中的n

越取越大取到无穷了

那么我们就只剩下前面这些多项式项

当然它变成了无穷项

也就是一个幂级数的样子

这个幂级数呢以x_0为中心

它的系数是n的阶乘分之一

然后是f的n阶导数在中心点x_0处取值

如果给定了一个f

我们得到这样一个级数

我们就把它叫做泰勒级数

好的

我们明确定义一下泰勒级数 Taylor series

Given a function f

the series f of x equals

还是把上一页中那个幂级数呢重述一遍

我们现在要观察一下它的前面几项

就是第一项常数项是f(x0)

然后呢一次项是f一撇x0乘以x减去x0

二次项是f的二阶导数在x0处取值除以2

乘以x减去x0的平方

等等等等

这样一个级数呢

is called the Taylor series

of f at x equals x naught

也就是说

在以x0为中心点做f的泰勒级数

得到的结果

当然我们这里写了等号

就是f(x)等于这样一个级数

通常情况下对一个函数f做如此的泰勒级数之后呢

这个等式成立的条件会发生变化

也就是不是对所有的x这样的等式都对

通常呢 x会变小一些

这个我们会见到一些例子的

刚才对于给定的f

指定一个点x0为中心我们做了f的泰勒展开

得到的是泰勒级数

那么现在呢

如果我们特殊得选择那个点就是原点0

这个时候呢我们会得到这样一个级数

它的名称呢叫做Maclaurin series

The Maclaurin series 麦克劳林级数

of a given function f is of this form

注意它的形式是这样的

f(x) equals f的n阶导数在0点的值

除以n的阶乘再乘以x的n次方

然后求无穷和

它的头几项是f在0点

以及f在0点的导数乘以x

以及f在0点的二阶导数除以2乘以x的平方

等等等等

2 Commonly Used Power Series

常用的幂级数

同学们以前我们在学习泰勒公式的时候呢

我们已经见过一些常见的函数的展开

通常我们展到

比如说二阶项三阶项五阶项等等

用泰勒公式

那么现在呢

我们做幂级数或者麦克劳林级数的时候呢

也要研究一下常见函数的展开

We first examine the expansion of

f of x equals 1 plus x to the α

现在呢我们就考虑这样一个特殊的函数

是1加x的α次方当然α是固定的

我们呢在x0等于0这个点

以0点为中心呢做展开

我们看看它的结果是什么

If α is a positive integer

也就是α是一个自然数的话

那么这个时候

f就可以用二项式展开得到一个α次的多项式

所以呢

f is simply a polynomial

也就是说如果α是正整数的话

f本身就是一个多项式

这个时候啊就相当于

无穷多的和式变成了有限多的和式了

我们就无需再做更多的讨论了

So we only care the expansion of f

when α is not a positive integer

真正有价值的展开呢

是对那些不是正整数的α所做的

好下面我们研究一下

这个展开式到底是什么样子的

我们呢按照泰勒级数或者麦克劳林级数的方法

我们要求这样f的高阶导数

因为f呢是1+x的α次方

它的n阶导数呢是很容易写出来的

The nth derivative of f is

α times α minus one until α minus n plus one

后面留的一项是1加上x的α减n次方

当然这里的n呢可以取1 2 以及任意的正整数

那么特别的取x等于0

就得到f的n阶导数在0点的值

于是呢我们就知道f的n阶导数在0点等于

α乘以α减1一直乘到α减n加1

于是

The Taylor expansion of f of x

at x naught equals zero

在x0等于0点做泰勒展开

或者说麦克劳林级数

就是这样的一个级数

我们特意呢把它的常数项单独写出来

就是常数项为1

后面呢第n阶是n的阶乘分之

α乘α减1一直乘到α减n加1

当然这个公式是很容易记忆的

因为它的规律呢非常地明显

Moreover one can verify that

the radius of convergence is big R equals one

同学们一定要注意现在的这句话

对于刚才的f f等于1加上x的α次方

当然我们知道 f本身有f的定义域

现在呢我们做了f的泰勒展开

我们现在说这个泰勒展开以后得到的幂级数

它的收敛半径是大R等于1

也就是意味着

如果x严格大于1的话

那么这个幂级数就发散了

但是f依然有可能在那些比1大的x还有定义

可见对一个函数做泰勒展开之后啊

如果要想让这个函数

等于这个幂级数的和函数的话

一定要把定义域缩小

就是缩小到相应的那个幂级数的收敛域以内

就可以了

对刚才那个例子啊我们可以研究得更多

In fact

The domain of convergence E

of the above power series

depends on the value of α

对于不同的α而言

刚才我们做的泰勒展开啊

它所出现的那个级数啊

它的收敛域是不一样的

我们来看一下

第一种情况

如果α比负1小或等于负1

那么那个幂级数

它的收敛域啊是开区间负1到1

如果α严格地比负1大又严格地小于0

那么收敛域E呢等于半开半闭区间-1到1

如果α比0大严格大于0

那么它的收敛域就是闭区间负1到1

可见刚才这个例子啊是非常有意思的例子

但是呢同学们一定要小心

做展开之后得到的那个幂级数

在x等于负1和x等于1处

在不同情形的收敛性

以前我们在微积分1中呢

接触过各种各样的函数以及它们的泰勒公式

现在呢我们把原来的结论呢应用过来

就变成

下面我们要讲的一些常见函数的泰勒展开了

The following power series

are also commonly used

同学们一定不会觉得陌生

请看第一个就是sin的泰勒展开

当然我们还是在x等于0处做展开的

它的通项呢和原来的泰勒公式的通项

是一模一样的

当然类似的还有cos

只是现在呢这些都变成了级数是无穷和

也就是说它没有原来的余项rn那一项了

这些公式呢同学们最好能牢牢记住

我们这里呢就不详细解释了

甚至同学们可以自己推导一下这些公式

另外我们还有比如说

指数函数 e to the x

它的展开式

ln(1+x)

注意ln(1+x)展开以后啊它的范围发生了变化

也就是让这个幂级数成立的范围呢

是从负1到1半开半闭区间

以及arctan(x)

arctan(x)做展开之后呢

它的范围x变成了从-1到1的闭区间

这些细节呢

希望同学们自己仔细思考一下为什么

都是比较简单的事实

这个幂级数展开啊非常有用

Expansion of functions in power series

is useful for integrating functions

that don’t have elementary

antiderivatives

对于某些函数而言呢

它们没有初等的反导数

antiderivatives

也就是我们以前提的不定积分

这个时候呢我们用泰勒展开

它就会非常有帮助

for solving differential equations

对于求微分方程的解

以及

for approximating functions by polynomials

对于函数用多项式逼近等等都是非常有用的

我们呢看一些典型的例子

Let’s see some examples

Example 2.1

我们现在呢想找这样一个幂级数的和函数

它的通项是n的平方乘以x的n减1次幂

这个结果是多少呢

可能同学们不是一下子能够想到思路

下面呢我们给出详细的解答

希望同学们认真揣摩其中的每一个步骤

首先 we note that

我们先不考虑刚才这个级数和

先考虑另外一个就是

n乘以x的n次方

它的和函数是x除以1减去x的平方

其实啊这个式子是来自于

我们前面讲的逐项求导的公式

同学们最好呢自己推导一下

它就是从最简单的幂级数两侧同时求导

就可以推导出来了

我们就不做详细的解释了

甚至呢可以直接推导

而且这个幂级数它成立的范围在哪里呢

在负1到1开区间

好了对刚才这个幂级数

我们做

differentiation term by term

也就是逐项求导

我们得到这样的式子

首先是逐项求导的结果

就是n平方乘以x的n减1次方

那么相当于对原来的和函数逐项求导

结果呢我们这里把它算出来就是

one plus x over one minus x square

于是我们就把原来这个例子中的问题解决了

找到了它的和函数

希望同学们自己能研究一下

现在得到的这个幂级数以及和函数

它成立的范围

也就是对怎样的x这个等式是成立的

我们再看一个稍微复杂一点的例子

求这样一个级数和

Σ n from 1 to infinity n over n plus one factorial

这个例题啊其中没有x

那么我们给它多安一个x

然后呢通过幂级数的方法来求出这个结果

请看

We consider the power series

n over n plus one factorial

times x to the n plus one

令f等于这个级数的和函数

我们很容易求出来

这个幂级数它的收敛半径就是大R等于无穷

因此呢这个等式是对任意的x都成立的

我们呢对这个式子两边做逐项微分

其中这个f呢实际上是要求的函数

我们现在呢还不知道它是什么

我们呢先做一下微分

看得到什么结果

逐项微分现在是对幂级数做逐项微分

它的结果呢很容易算出来就是现在

1除以n减1的阶乘乘以x的n次方

它应该等于把x提出来一个

就会变成另一个常见的幂级数的样子

可能很多同学已经看出来了

这个呢其实就是x乘以e的x次方

于是根据我们前边说的逐项积分的公式

我们知道

当我们做从0到x的逐项积分的时候呢

这个式子n除以n加1的阶乘乘以x的n加1

它呢应该等于刚才我们得到的结果

就是t e的t次方对t做积分从0到x

这个结果呢很容易算出来就是

x乘以e的x次方减去e的x再加1

注意这个恰好就是我们要找的f

f等于

x乘以e的x次方减去e的x次方再加1

特别的如果我们取x等于1的话

就得到这样一个级数和的结果

也就是x等于1的结果

等于1

于是呢我们就把原来求级数和的这个问题呢

解决了

注意这里边我们用了很多的微积分知识

包括我们前边讲的

逐项求导逐项积分等等一些性质

同学们以上就是这一讲的全部内容

我呢为同学们详细解释了

如何对一个具体的函数进行泰勒展开

这是一种全新的处理函数的方法

我们要注意啊

函数做了泰勒展开之后所得到的幂级数

它自身的收敛域和原来函数的定义域呢

通常是不一样的

同学们呢课后要多做练习来体会这一点

在下一讲中呢

我们要引入另一种重要的函数展开方法

就是傅里叶级数展开

请同学们在课后温习一下线性代数课程中

有关内积空间和正交基底部分的内容

这样呢为下一讲做好准备

好的我们下一讲再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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