Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1) 慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

在上一讲中呢

我们已经学习了欧式空间中的很多基本结构

在这一讲中呢

我们要进一步学习

欧式空间中与曲面有关的内容

包括曲面的显式表达式与隐式表达式等等

另外我们还要学习向量值函数

向量值函数啊

它和一元函数的内容呢非常的相像

希望同学们注意这一点

好的下面我们开始讲课

Chapter 4

Differentiations of Multivariable Functions

多元函数微分学

Unit 2 Curves and Surfaces

曲线与曲面

Section 1 Surface 曲面

同学们在上一个单元我们已经学过了如何表示

直线和平面

现在呢我们考虑弯曲的对象

首先呢我们就研究一下弯曲的面

也就是曲面

表达一个曲面啊

有时候用显式函数有时候用隐式函数

我们来分别看一下

首先我们来看

假设D是R^2中的一个区域

D is a region in R^2

假设D是这样一个R^2平面中的一个区域D

f是定义在D上的一个函数

也就是

f is a map from D to real numbers R

we suppose it is a continuous function

也就是说

f啊实际上是一个二元连续函数

那么什么是二元连续函数呢

我们后面会仔细地定义

现在呢我们就想象f是这样一个函数就可以了

那么f它决定了一个曲面

The surface determined by f is such a set

也就是f的图像

也就是S(f)它实际上表示f这个函数的图像

具体的就是这样的三维空间R^3中的点

(x,y,f(x,y)) 其中x y要跑遍D

同学们可以想象这样的点就构成了一个曲面

This surface is also denoted

by an explicit equation

Z equals f(x,y) where (x,y) is in D

好的我们看一个特别简单的例子

就是假设现在给定一个正数大写的R

Let R be positive

and then this equation

z equals R square minus x square minus y square

where x square plus y square is less

than or equal to one square

那么这样的z作为一个x y的二元函数

它就定义了一个空间R^3中的曲面

这个曲面啊不是别的

就是以R为半径的上半球面

The upper half ball whose radius is R

那么接下来我们看另外一种表达曲面的方法

就是隐式的表达方法

显式的表达方法呢给出的曲面都是开放式的

那隐式的呢它可能会给出一个封闭的曲面

后面我们会看到这样的例子

请看假设

F equals F(x,y,z)

is a function defined in a domain D in R^3

现在注意我们的函数呢是定义在

R^3中的某个区域上的函数F

它是一个三元函数

All points in D which satisfy the equation that

F(x,y,z) equals a constant number C

for some constant C form a surface

也就是令F(x,y,z)等于C

这个方程全体的解的集合

它就构成了一个曲面

这种方式所表达的曲面就叫做

隐式函数所表达的曲面

So called the implicit equation of a surface

We would like to see

what quadric surfaces look like

现在呢我们要看一下

一类非常特殊的隐式函数所定义的曲面

它们呢叫做quadratic surface

就是二次曲面

什么是二次曲面呢

In general it is given by the implicit equation

注意这个方程比较长

它是

A x平方加B y平方加上C z平方

加上Dxy 加上Eyz plus Fxz

Plus Gx plus Hy plus Iz plus J equals zero

这个方程啊其中有很多的系数

但是它的自变量呢只有三个就是xyz

而且作为一个多项式方程

它的最高次数呢是2

并且我们要求啊

A B C D E F这六个数中呢至少有一个是非零的

那么这就是一个二次方程

这个二次方程的全体的解的集合

就叫做一个二次曲面

其他的几个常数G H I J

是不要求它们全部非零的

总之呢这个方程所定义的曲面是二次曲面

那么它是什么样子呢

下面我们来看一个例子

在图中看到两个图形呢都是二次曲面

左边这个图形是由

z equals x square plus y square

所定义的曲面

它叫做elliptic paraboloid

就是椭圆抛物面

好的右边呢它的方程是

z equals x square minus y square

英语呢叫做hyperbolic paraboloid

就是双曲抛物面

注意啊

这两个二次曲面实际上

是用显式的方程所定义的

它呢是个开放型的

二次曲面还有其它类型

我们下面呢再看一下

比如现在我们看到的这个

像一个橄榄球一样的曲面呢

它叫做ellipsoid 椭球面

它的方程呢就是一个隐式方程

x平方除以a平方加上y平方除以b平方

加上z平方除以c平方等于1

如此定义的一个曲面呢是封闭的

这个封闭的曲面呢

就不可能用一个显式方程所表达了

我们再看

现在同学们看到的呢是

eliiptic paraboloid

它呢也是一个椭圆抛物面

请看

现在看到的呢是一个hyperbolic paraboloid

双曲抛物面

另外还有这样的曲面

它叫做elliptic hyperboloid of one sheet

单叶椭圆双曲面

它的方程呢比较复杂

x平方除以a平方加上y平方除以b平方

减去z平方除以c平方等于1

尽管这个曲面呢它是一个开放曲面

但是它也不可能用一个显式方程来表达

我们再看

现在同学们看到呢

这个叫做

elliptic hyperboloid of two sheets

椭圆双曲面但是呢是双叶的椭圆双曲面

请看还有其他类型的二次曲面

现在同学们看到的呢

叫做elliptic cone

椭圆锥

它的方程呢是

x平方除以a平方加上y平方除以b平方

减去z平方除以c平方等于零

它的空间的构型呢就是两个锥形的东西

好现在我们看到的呢是一个柱体 cylinder

这个柱体它的英文名字叫做elliptic cylinder

椭圆柱体它的方程就是普通椭圆的方程

因为现在这个方程中啊没有z

那所以呢z就可以任意取

因此它在三维空间中就构成了一个柱体

就是我们看到的这个椭圆柱

同学们现在看到的呢是一个双曲柱

hyperbolic cylinder

它的方程呢实际上就是普通的双曲线的方程

其中呢还是不含z

因此呢它在空间中就变成了一个柱面

注意它是两个分离的柱面

接下来同学们看到的是

parabolic cylinder 就是抛物柱

它呢也是一个和z无关的方程

那么它投影到xy平面呢

就是一个普通的抛物线

同学们刚才我们画了这么多的图形

介绍了很多很多类型的二次曲面

其实啊非平凡的二次曲面呢

基本上就这么几种类型吧

同学们呢课后呢可以仔细地去

画一下这些图形

加深对它们的理解

我们呢这里就是做一个概要的介绍

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1) 在线视频