Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎再次来到MOOC在线课程微积分

在前面的课程中呢我们已经学习了

欧氏空间里边简单的拓扑结构

比如开集闭集的定义

集合的闭包内部边界等等

那在这一讲中呢

我们要进一步深入研究欧氏空间

主要呢学习欧氏空间的完备性

并且呢我们要介绍什么是紧致集

而且要引出一个著名的定理

就是

Bolzano-Weierstrass 定理

最后呢我们还要对连通性简单的介绍一下

好的下面呢我们从第一小节讲起

Chapter 4

Differentiations of Multivariable Functions

多元函数微分学

Unit 4

Completeness and Connectedness

完备性与连通性

Section 1

Completeness of E^3

欧氏空间的完备性

同学们

前面我们已经非常熟悉

欧氏空间的点集拓扑结构了

那么有了这些基础呢我们就可以讨论它的

极限的概念

我们首先呢要讨论序列极限

The limit of a sequence

A sequence

比如说我们把这个sequence呢记成{p_n}

注意其中每一个p啊

它都是欧氏空间E^3中的某一个向量

因此呢我们在它的上面画了一个箭头

它的指标呢仍然是小n

n从1开始一直到无穷

这样一个点列呢就叫做一个序列

A sequence

Such a sequence is said to have the limit point l

这个序列我们称它的极限是某一个点

这个点呢仍然是一个向量的端点

因此我们把它用l加一个箭头来表示

如果满足什么条件呢

If 注意下面我们用的就是ε大N语言

For any ε positive

there exists some N which is a integer

such that l minus p_k and then take norm

will be less than ε

for any k bigger than big N

这个叙述方式和我们在R中

定义点列的极限的时候的定义方式非常的相像

也就是说任意ε大于零

存在着某一个指标大N

使得只要任何一个指标小k 它大于大N的话

那么从这个小k开始

l和p_k之间的距离就永远小于ε

这里呢因为是在E^3中考虑

所以距离是用norm 也就是范数来定义的

那么表达极限的符号呢

和我们在一元微积分的情形呢

也是基本一致的

我们用这样的符号来表示序列p_n的极限是l

也就是

limit as n goes to infinity p_n equals l

如果这种情况发生

我们就称序列p_n是一个收敛的点列

So we say this {p_n} is a convergent sequence

那么

关于极限呢我们可以换另外一种方式来定义

就是这样写

{p_n} such a sequence converges to l

if and only if

换成一种等价的方式是这样写的就是说

For any r positive

任取一个半径r大于0

则下面这个集合是一个有限点集

注意前边这个集合

我们在它的前面啊画了一个井号

井号呢读作sharp

它表示一个集合里边的势

也就是它元素的个数

这个集合是什么呢我们看一下

就是B(l,r)

and then take complement

首先取以l为中心 r为半径的开球

这个开球的余集交上这个序列的集合

也就是说这个集合是什么呢

是全体距离l大于r的那些

序列中的元素所构成的集合

它必须是一个有限集

Less than infinity 就是这个意思

这个写法呢非常的简略

但是它的含义和我们刚才用

ε大N语言定义的方式呢是完全一致的

同学们可以自己思考一下

我们还是强调一下这个井号这个语言呢

它表示

number of elements in a set

这个呢在别的集合论的书上呢

可能有不同的符号

现在呢我们就用这样的符号

好的我们看一个简单例子吧

比如说

p_n equals cos 1 over n sin 1 over n zero

这是一个点列

其中n呢从1跑到无穷

它有极限吗

实际上它是有的

The limit of p_n equals one zero zero

也就是它的极限啊是这个点就是(1,0,0)

那么我们可以发现

实际上取p_n的极限的过程啊

本质上就相当于逐坐标去找它们的极限

你看 cos n分之1 它的极限就是1

sin n分之1 极限就是0

0的极限当然还是0

我们再看一个例子

比如

p_n equals cos n sin n zero

n呢还是从0变到无穷

那么这样的序列是否有极限呢

实际上

This {p_n} does not converge to any point in E^3

也就是这样的一个序列它是一个发散的点列

它不是收敛的

这个原因呢很简单

因为这个p_n 我们观察它的每一个分量的话

cos n 当n趋于无穷的时候极限不存在

sin n趋近于无穷的时候极限也不存在

因此呢这个p_n

不可能收敛到任何一个点

接下来我们还需要另外一个定义

A sequence of points x_n in E^3

is said to be Cauchy sequence

我们现在要定义什么叫做柯西点列

那么我们考虑点列呢

把它记作{x_n}

它是欧氏空间E^3中的一个点列

If for any ε positive there exists some N

存在某一个指标大N

从大N开始都满足这样的条件

Such that x_p minus x_q

and then take norm is less than ε

for any p q bigger than big N

从大N开始任意的指标

它们对应的点x_p 和x_q之间的距离呢

永远小于ε

这个和我们在一元微积分时候

讨论数列的柯西点列的性质

是一模一样定义的

因此呢这个定义呢完全没有什么新的地方

同学们可以很容易理解

好的下面我们看一下

关于柯西点列一个重要的判据就是

柯西准则

Cauchy Criterion

柯西准则呢它实际上也是

E^3欧氏空间的完备性的一种表达

请看柯西准则是这么说的它说

A sequence of points in E^3 converges

if and only if it is a Cauchy sequence

也就是说欧氏空间E^3中的一个点列

它是收敛的

充分必要条件是这个点列呢本身是柯西列

柯西列的意义就在于

当我们事先并不知道它收敛到某一个点的时候

来判定它是否柯西

也就是它是否收敛

好的同学们

下面我们使用柯西准则呢来证明一件事情

If S contained in E^3 is open and closed

假设某一个集合S 它是E^3中的一个子集

这个集合呢它既是开集又是闭集

那么结论是说

Either S is the entire E^3 or S is empty

也就是说 S要么一定是全体空间

要么S就是空集

换言之既开又闭的集合啊只有空集和全集

那这是为什么呢

这个证明啊我们是需要用到柯西准则的

下面呢我们来看一下

这个证明比较长

同学们呢一定要仔细地思考其中的每一步

我现在呢给同学们

简略的解说一下其中概要的过程

We adopt a negative approach

我们呢用反证法

negative approach

If S is not empty

我们无妨假设S不是空集

那么下面呢我们就要证明S一定是全集E^3

如果S不是E^3

那么S的余集呢也不是空集

这就是我们的反证法的假设

如果这个假设最后证明是有矛盾的

那么说明我们的假设是不对的

只能S等于E^3

我们就证明了我们的结论

好的现在呢我们还是在这个假设下

就S既不是空集 S的余集也不是空集

我们来看看会导出怎样的矛盾

Then one can take some

A naught in S and B naught in S^c

因为这两个集合 S S^c都不是空集

我们可以在它们中分别取两个点

一个记作A_0 一个记作B_0

Consider the mid point

这个中点呢可以记作二分之一A_0加B_0

因为啊 A_0 B_0是两个向量

那么向量相加再除2恰好表示

这两个向量中间那个中点位置

好的

if it belongs to S we denote it by A_1

and let B_1 equals B_0

如果刚才这个中点呢属于S的话

我们就把这个中点记作A_1

而把B_1记作B_0

否则

也就是说刚才这个二分之一A_0加B_0

如果属于S^c的话

我们就把它记作B_1

而把A_1记作A_0

这样的话我们从A_0 B_0出发

就得到了A_1 B_1

Repeat this process

也就是说从A_1 B_1再重复刚才的过程

得到A_2 B_2 so on

We get two sequences {A_n} and {B_n}

我们就得到两个序列

这个点列{A_n}啊它就永远包含在S中

而{B_n}呢永远包含在S的余集中

It is easy to see that

they are all Cauchy sequences

and hence they converge

根据刚才构造啊

这个{A_n} {B_n}呢就是柯西点列

因为它们之间的距离呢越来越短越来越短

而且是成2的n次方递减的

因此呢它一定是柯西点列

于是我们断定

{A_n} {B_n} they both converge

它们两个都是收敛点列

也就是说 {A_n} {B_n} 他们两个都有极限

但是我们要注意这样一个事情

就是 A_n minus B_n

The norm of A_n minus B_n is approaching zero

A_n 和 B_n 之间的距离呢也是趋近于零的

这是根据构造我们看出来的

因此呢

{A_n} and {B_n} must converge to the same point

也就是说{A_n} {B_n}它一定会收敛到同一个点

我们就把这个点呢记作C

Denote it by C which is in E^3

好了现在我们考虑 C在哪里

Now S being closed implies C is in S

因为我们假设了 S是既开又闭的

所以C作为A_n的极限点一定是S中的元素

同样的原理

因为我们假设 S是开集所以S^c是闭集

那么

S^c being closed implies C must also be in S^c

于是现在就矛盾了

因为我们在S中找到了一个点C

在S^c中呢也找到了一个点C

这是不可能的

Contradiction

contradiction就告诉我们

原来的假设是不对的

于是我们就证明了这样的一个命题

下面我们再看另外一个定义

Definition 1.7

A set S contained in E^3 is said to be compact

Compact的汉语意思是紧集或者紧致集

If S is closed and bounded

如果这个集合S

它既是一个闭集又是一个有界集

我们就把这样的S叫做紧集或紧致集

Here S being bounded means

我们要回顾一下所谓一个集合有界是什么意思

也就是说存在着某一个数M大于0

使得x的

norm is always less than M

for any x in S

也就是说整个这个集合S啊

它包含在一个球中

这个球呢以原点0为中心大M为半径

这样的集合S就叫做有界集

同学们紧致集是一种非常重要的集合

那么它拥有非常好的性质

我们来看一下

Theorem 我们有这样一个定理它说

Let S be a compact set

假设S是E^3中的某一个紧集

那么

from every open covering of S

one can extract a finite covering

这句话它的意思是这样的

就是

任意S的开覆盖中总能找到一个有限子覆盖

什么意思呢

In other words

if every U_i where i is in some index set λ

is open and S is contained in the union of U_i

这句话的意思是说

如果我们找到了集合S的某个开覆盖

这个开覆盖中的元素呢就是一些开集U_i

而它的U_i呢都带着一个指标i

i是某一个指标集

这个指标集呢可以是任意形式的集合

可以是无限多可数不可数等等

好 S找到这样一个开覆盖

那么

there always exists some

U_i_1 U_i_2 and U_i_n

也就是说我们从这个指标集中

总能找到有限个指标

i_1 到i_n 使得相应的那些U_i

就构成了S的一个覆盖

也就是说我们只需要有限个

刚才这个覆盖中的元素

就可以把S整体盖出来

这就是从一个任意的覆盖中取有限次覆盖

这样一个过程

这是个非常重要的性质

这也是紧集所拥有的独特的性质

关于欧氏空间E^3的完备性呢

我们还有另外一个重要的定理

这个定理的名称呢叫做

Bolzano-Weierstrass 定理

它呢也是描述完备性的一种形式

我们来看一下

Each bounded sequence in E^3

has a convergent subsequence

这句话的意思是说

任何欧氏空间E^3中的有界点列

总是存在收敛的子列

In other words if {p_n} n goes from one to infinity

is a sequence in E^3

and there exists some M positive

such that every p_n the norm of that p_n

is less than M

then there exists a subsequence p_n_k

k from one to infinity which is convergent

也就是说如果{p_n}是一个有界的点列

那么我们可以从{p_n}中找到一个子列

这子列呢记作{p_n_k} 现在指标变成了k

使得{p_n_k}

当k趋近于无穷的时候它存在一个极限

因此呢它是收敛的

这就是从一个有界点列中选取收敛子列的过程

这件事情能完成就说明这个空间E^3是完备的

这就是所谓的

Bolzano-Weierstrass 定理

这也是欧氏空间一个非常重要的特点

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)在线视频