Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 2

Surface integrals of vector fields

向量场的曲面积分

同学们

现在呢我们来定义所谓的第二型曲面积分

我们说

第二型曲面积分呢一定要在一个可定向曲面上做

而且必须事先指定一个向量场

Let F

现在我们图中看到的就是这样一个大写的字母F

它表示一个向量场

F equals F(x,y,z)

也就是说随着x y z的变化

这个场在变化

好它的三个分量分别是P Q R三个函数

每一个都是三元函数

It is a vector field on some region say W

假设我们现在在E^3中的某一片区域W上

来定义这样一个向量场F

那么下面我们再讨论曲面的事儿

假设S包含在W包含在E^3中

也就是说在刚才那个区域中有那么一个S

它是一个smooth orientable surface

with orientation designated

as n equals n(x,y,z)

也就是说在S上

我们找到了一个事先指定的定向n

Choose an admissible parametrization

现在我们选择这样一个参数化是允许的参数化

Admissible of S which is also

compatible with the orientation n

而且要假设这个参数化呢

它和事先指定的这个法向n是一致的容许的

好的下面呢我们来看我们的具体定义

Surface integral of a vector field

也就是对指定的向量场

在指定的曲面上去做积分

也就是第二型曲面积分好

With the above assumptions

前面所有的假设我们继续保持

The surface integral of

the vector field F(x,y,z)

on the oriented surface

S is denoted and defined by

下面我们用这个式子就直接定义

第二型曲面积分了

好我们看一下中间这个式子

这个式子最最左边这一项

也就是积分号底下写一个S

有的书上可能写两个积分号

表示它是一个曲面积分

这里呢我们就不加区分了

就用一个积分号就可以了

底下脚标S表示在S上做积分

好中间写的是 F打箭头(x,y,z)

这表示这个场F(x,y,z)是事先指定的

最后的尾巴上写了个dσ上头打了个箭头

这个就是第二型曲面积分的标志

它和第一型曲面积分不一样

第一型的积分最后写的是dσ没有箭头

现在呢是σ上有一个箭头

而且和场前面这个场这个函数F(x,y,z)之间呢

画了一个逗点这个呢它就是内积的含义

好这是我们所谓的第二型曲面积分的符号

它的定义现在我们看到

第一个等号的右边也就是

积分号S 然后紧跟着一个内积

F和n做内积乘以dσ

同学们可能已经看出来

这是一个第一型面积分

换言之刚才我们要定义的第二型面积分啊

实际上可以转化成第一型曲面积分来定义

怎么定义呢就是

要找这样一个数量场

这个数量场是谁呢就是F和n做内积

因为F是一个向量场 n是一个向量场

它们两个做内积做完内积以后呢

就是一个数量场

对这个数量场沿着S做曲面积分

第一型曲面积分

这就是第二型曲面积分的定义

那么具体写开就是最后一个等号的右边

因为按照第一型曲面积分的定义呢

它是一个二重积分

也就是现在我们看到的

两个积分号底下写一个D二重积分

好的具体写开就是还是一个大的内积

内积的第一项是F把r(u,v)代入

然后n呢 n这个位置啊

我们把它直接换成r_u叉r_v

最后写dudv

这个就是按照

我们所学习的第一型曲面积分的定义代入之后

最终的结果

当然这个代入过程呢

还是同学们要自己做一下

为什么由第一个等号右边

最终可以化成第二个等号右边

这个同学们一定要亲自操作一下就能明白了

很简单

好的我们有这样一个注记

刚才啊

我们在这个积分式中用到了这样一个符号

就是dσ上面打一个箭头

dσ呢它叫做oriented surface element

也就是定向的曲面微元

好它的定义实际上是什么呢

是n这个法向乘以dσ

这个就是形式定义了

那n不是别人就是r_u叉r_v

再取规范化

而dσ呢是r_u叉r_v的范数乘以dudv

那么两者相消最后就得到这样一个式子

就是dσ箭头等于 r_u叉r_v乘以dudv

这就是所谓的带定向的曲面微元

好的另外我们要注意

Other authors may use the other notations

别的书上我们可能看到不同的符号

比如我们现在写的dA上面打个箭头

就表示带定向的曲面微元

或者d大写的S上面打箭头

这在不同的书上有不同的约定

同学们要小心

In the general case that S is piecewise smooth

在一般情况下 S它不一定是一片曲面构成的

它是很多片构成的

也就是逐片光滑曲面

S等于S_1并S_2 一直到S_n

而每一片都是光滑的

好了

The surface integral of F is then defined by

这个时候啊对一个指定的向量场F而言

我们要定义它的第二型曲面积分的时候呢

跟我们以前的方法一样

也就是说在S_1上求一下

在S_2上求一下一直到最后一个S_n

每一个上面都做同一个场的第二型曲面积分

最后把这些结果加起来就可以了

同学们刚才我们已经学习了第二型曲面积分

也就是针对某一个向量场的积分的定义

那么它到底有什么含义呢

下面我们解释一下

We now explain the meaning of such integrals

Consider a problem in physics

我们呢以一个具体的物理问题来解释

Some fluid is flowing out

of a region Ω contained in E^3

假设我们现在考虑空间中有某一个区域Ω

Ω中呢有某种流体 fluid流体它在流动

The rate of flow on S equals partial Ω is F

好我们假设在这个Ω这个体的表面

也就是S等于partial Ω表面是一个曲面

在这上面呢有这样一个场

这个场呢就是rate of flow 也就是它的流速场

好它沿着这个曲面在分布

好的

the density of the fluid in Ω is

ρ equals ρ(x,y,z,t)

因为这个液体在流动啊

那么它的密度呢也会随着时间变化

随着点变化

所以它是一个ρ(x,y,z,t)四元函数

好

Assign the outward normal as the orientation of S

假设这个S呢是一个可定向的曲面

它的定向指向朝外 outward normal

If M is the mass of the remaining fluid in Ω

因为这个流体啊在Ω中向外流

有的地方可能向里面流

我们总体而言呢就把它想象成一个向外流为正

向内流为负的这么一个场就可以了

好的

M is the mass of the remaining fluid

在Ω中

那么由这样一个M 就是剩下的质量

这个流体的质量

当然它会随时间变化

Then we have

因为这个面本身也有可能变化

那么我们现在无妨用这个偏导数

好 partial M partial t啊就表示

随着这个t的变化呢

这个质量的变化

它会等于什么呢

等于因为质量本身就是

在Ω中求三重积分的结果

对这个ρ 也就是密度函数求三重积分

注意求完三重积分以后呢

它仍然依赖于这个面

也就是这个体本身以及时间t

因此呢我们求偏导数的时候是对t而言的

好我们可以把这个偏导数呢求到里边去

在很多时候都可以这样做

我们这里呢就不讲这些解析条件了

总之 ρ是一个比较好的函数

所以呢

求偏导数这个运算啊可以求到积分号里边去

这就是现在等号看到的最右边

也就是Ω内三重积分

partial ρ partial t dxdydz

which on the other hand should be equal to

好的我们现在呢利用一个非常简单的关系

也就是质量的变化

就是这个体表面流出的那些量

换言之刚才我们说了

F是流出来那些速度

那么对这个速度场F

沿着 partial Ω 也就是Ω的表面

去做第二型面积分

它结果再加一个负号

就一定会等于partial M partial t

这个就是根据质量守恒了

因为质量的流失一定是这个从表面发生的

内部不会发生质量的湮灭

这个符号呢是因为我们约定朝外是正向

也就是这个朝外这个F是正的

那么 partial M partial t

如果我们算出来是负值的话

那就相当于是说这个M在减少

因此这个地方需要一个负号

为什么会这样呢

Here one may treat dσ equals ndσ

as an oriented piece of infinitely

small pieces of S

equals partial Ω

好现在我们解释一下

为什么这里我们用了这个第二型面积分

首先呢我们把这个dσ乘以n的箭头dσ呢

看成这个带方向的这个曲面微元

Its direction is n and its quantity is dσ

意思我们要把这个dσ箭头啊想象成什么呢

想象成一个带着方向n的一小片曲面

好它的大小呢是dσ也就是

曲面微元也就是曲面的无穷小面积

n是它的法向

好了这时候

the infinitesimal area of this piece of surface

就是dσ

好 n乘以dσ就是dσ带箭头

好的

The normal vector n

is perpendicular to partial Ω

别忘了我们说n啊是法向场

所以这个n啊它永远是和这个曲面的表面是垂直的

which is directing outside

而且我们约定它是outward directing

朝外指向的

Therefore the quantity of fluid

flowing out is given by

the following fomula

也就是说请看

F这是流速场它和n做内积表示

沿着法向n的贡献乘以dσ

这恰好就是说在那一小片曲面上

沿着法向n 它这个流速的实际贡献

它就当然也可以写成F点乘dσ

这是根据我们的定义

因为n乘以dσ

就是带方向的面积微元 dσ箭头

好 per unit time 就是每一个微小的时间内

So the integration summation

因为我们做的是积分啊

实际上就是对这种量做黎曼和然后取极限而来的

The integration of all these elements

gives the total change of mass

因为每一小片上这个刚才我们说的这个量啊

就是F和n做点积然后乘以dσ

换言之就是这个F箭头和dσ做点积

的结果都是无穷小面上所发生的

这个单位时间内的质量流失

那么把这些所有加起来呢

当然就是整体的这个质量的变化了

For this reason

the second type surface integral

is also known as flux

所以啊

刚才我们用这个第二型曲面积分来

描述这个partial M partial t

那么在别的物理中呢通常把它叫做通量

也就是通过这个物体表面的量 flux 通量

也叫流量

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

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--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

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--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

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-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

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-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)在线视频