当前课程知识点:微积分-2 > Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part) > Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2) > Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
2 Fourier Expansion of Functions
函数的Fourier展开
同学们 刚才我们已经介绍过了
Fourier级数
那么 对于给定的一个函数呢
我们可以找到它所对应的Fourier展开
我们下面来定义一下
Definition 2.1
for any f which belongs to curlicue B
还记得这个花写的B呀
它表示 在负π到π上
绝对可积的函数所构成的空间
好 给定这样的f
We call such a series
the Fourier expansion of f
这里边呢 我们把系数指定
其中an 注意这个an啊
指标从0开始 它是
π分之一 负π到π
f乘以cos nx做积分的结果
n可以等于0 如果n等于0
就是f自己做积分
然后呢 除以π
另外 还有bn
注意bn系列呢
它的指标从1开始 it is
1 over π times the integration
from minus πtoπ f times sin nx dx
同学们 我们把这样一个级数呢
叫做f的傅里叶展开
那为什么这里的系数取成
这里我们所定义的an bn呢
同学们一定要思考一下
在上一小节呢 我们试图把一个f
用正交的三角基
作为无穷维线性空间的基底
展开的时候 我们引入的系数
不是这里的an和bn
当时呢 我们把它叫做kn和ln
当然我们一定要比较一下
kn和这里的an bn的关系
就能看出来为什么我们现在
要重新定义这样的系数了
这样的系数 它的优点呢 就是
表达起来非常的简洁
定义完f的傅里叶展开
那么下面呢
我们引入一个记号
Such a relation is often written as
f(x) similar to a naught times a half
也就是二分之一a0再加上
a1 times cos x plus b1 sin x
plus an cos nx plus bn sin nx and so on
无穷多个函数的和
也就是傅里叶级数和
注意我们还是没有用等号
而是用了前面我们讲的这样波浪号
这个波浪号similar呢
它表示的含义呢
实际上是指 依范数收敛的意思啊
我们暂时不做更细致的解释
总之 对给定的f
我们通常做了傅里叶展开之后呢
同学们要小心 不要轻易的写等号
而通常我们都是用波浪号来表达的
后面我们会看到为什么
这个等号其实是不正确的
我们下面呢 算一个
具体的傅里叶展开的例子
Example 2.2
We consider this function
f equals absolute value of x
on minus π to π
这个函数呢 相应的那些傅里叶系数
也就是an bn呢 是非常容易求的
希望同学们呢 在稿纸上
按照我们刚才定义an bn的方式
仔细的算一下
算完了以后呢
代入它的傅里叶表达式
我们就会得到它的傅里叶展开啦
An easy computation gives
its Fourier expansion
f(x) which is the absolute value of x
is similar to
half πminus four over πtimes a series
the index does from zero to infinity
这就是f的傅里叶展开
注意 我们这个傅里叶展开中啊
全体sin mx前面那些系数啊
统统是0
因此呢 它在做傅里叶展开的时候
就没有sin系列的函数
只剩下了常数以及cos系列
同学们 刚才对负π到π上的
绝对可积函数
我们做了它的傅里叶展开
并且做了一个实例
有的书上呢
在讲傅里叶级数的时候呢
并不限定区间为负π到π
而是别的区间
比如有的书呢 可能考虑0到2π
这个理论呢 是完全一样的
我们呢 也大致介绍一下
如果我们考虑的是
0到2π区间上的函数的话
我们也是要考虑
在这上面绝对可积的函数
通常呢 就把它记成
curlicue B from 0 to 2π
它当然表示
全体在0到2π上绝对可积
也就是加绝对值以后
这样的f还是黎曼可积的函数
对于这个空间上呢
我们也有类似的傅里叶展开
它展开方式跟刚才我们所讲的
是完全一样的
对任意的f都做这样的展开
而且它的系数计算方式
也非常的相像
只是要小心 每一个an
当然这个an系列
n从0开始
它在计算的时候呢
它的积分限 不再是负π到π
而是0到2π
类似的 bn呢
也是从0到2π上做积分
这个公式呢 跟我们以前看到的呢
非常的相似
唯独就是区间发生了变化
没有任何实质性的差异
比如 下面呢 我们做这样一个例子
Example 2.3
我们考虑这样一个函数
f(x) equals πminus x over 2
把它限制在0到2π区间上
注意 这里我们没有把它
想象成负π到π上的函数
而是想象成0到2π上的
一个绝对可积的函数
那么 它对应的傅里叶展开是什么呢
我们可以具体计算一下
我们可以算一下a0
注意 a0啊 是从0到2π做积分
原来的f 也就是π减x除以2做积分
做完积分以后呢
别忘了要除以π
它的结果呢 等于0
类似的 我们有an的结果
这个计算呢 比较简单
但是呢 同学们
一定要认真细致的完成这个计算
an 算出来呢 是等于0的
但是bn算出来不等于0
每一个bn呢
算出来都是n分之一
这个 同学们呢
一定要仔细的算一下
总之 在刚才同样的理论框架内呢
我们可以做
在0到2π上的
这个函数的傅里叶展开
就是现在我们看到的样子
类似的呢 我们还可以做
另外一个例子
Example 2.4
We consider such a function
sin x take absolute value
and x belongs to 0 to 2π
我们还是指定在0到2π这样的区间上
去做傅里叶展开
那么 我们要按照傅里叶展开的公式
就可以计算出来
we can show that f(x) is similar to
4 over π times
a half minus 1 over 1 times 3 cos 2x
minus 1 over 3 times 5 cos 4x and so on
这个通项式啊 写出来呢
是有规律的
希望同学们呢 自己把它写一下
就是我们现在看到的这个样子
这个例题呢 告诉我们
尽管这个f啊
它是sin x取绝对值得到的
它在做傅里叶展开以后呢
你会发现 其中所有的项呢
都跟sin没有关系
而只是cos的那些项
所以呀 傅里叶展开
实际上是非常有意思的现象
同学们 在这一讲中呢
我详细介绍了
在负π到π上绝对可积的函数
所构成的内积空间
并给出了这个空间呢
一组正交基 它们呢
由三角函数所构成
对于任何一个函数呢
在这组基上做展开
就是傅里叶展开
得到的函数项级数呢
就是傅里叶级数
希望同学们呢
在课后多做一些练习
来熟悉这种思想和方法
下一个单元呢
我们将研究一个非常重要的问题
就是傅里叶级数的收敛性问题
好的 我们下一讲再见
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence(无穷级数及其收敛性)
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Exercises-2-5(section 2)
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 2)
--Power Series (幂级数)(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义