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3. Dirichlet and Abel Tests
狄利柯莱与阿贝尔判别法
同学们 我们以前学习广义积分的时候
就学过这两个名称的判别法
狄利柯莱判别法与阿贝尔判别法
现在在级数的情况啊
这个判别法和原来那个判别法的形式呢
非常的相近
同学们呢 不妨对比原来的判别法
来看一下现在对级数情况的狄利柯莱与阿贝尔判别法
首先呢 我们还是讲狄利柯莱判别法
Theorem 3.1 定理3.1
请看
For a series sigma n from 0 to infinity an times bn
还是要判定两个项乘起来这种形式级数的收敛情况
其中一个项是an 另一个项是bn
好了 要根据an bn的情况
来断定整个级数的收敛情况
If 第一个条件
它是这么说的
S big N
S big N 是什么意思呢
它是bn序列的部分和
也就是n从0加到N对bn求和
只要这个Sn是bounded
什么意思呢 也就是说
存在某一个数M大于0
使得什么呢
使得刚才这个Sn啊 它的绝对值啊
永远小于M
不管其中这个N取成哪个数
对比以前我们在广义积分学习狄利柯莱判别法的时候
当时的条件是一个什么呢
同学们能够回忆的话
就记起来 当时是对其中一个函数做积分
要求这个积分呢 是一致有界
我们实际上是对bn做部分和
要求这个部分和呢
一致有界 对任意的N
好啦 我们再看第二个条件
The sequence an is monotone decreasing
这个条件呢 和原来我们讲的
狄利柯莱判别法在广义积分的情况非常的像
当时是要求其中一个函数是单调降的
现在我们要求这个序列是单调降的
第三个条件
也就是刚才这个单调降的序列啊
要单调趋近于0
好啦 有了以上123条以后呢
我们就可以断定现在的结论了
The series an times bn is convergent
我们刚才看到这个狄利柯莱判别法呢是挺复杂的
现在呢 我们看一个具体例子就明白怎么应用它了
请看这个例子
Such a series sin n over n to the p
这个序列 它的收敛情况怎样呢
其中呢还是有一个参数p
Where p is positive
我们假设这个p是一个大于0的参数
我们说它一定是收敛的
这是为什么呢
我们现在用狄利柯莱判别法来解释一下
Below we explain the reason
请看 实际上 刚才这个序列啊
是两个项乘起来的
其中一个项呢是n的p次方分之1
n的p次方分之1啊
We note that it is monotonically decreasing and tends to 0
它是单调降 趋近于0的
因为我们假设了p是一个正数
另外呢 还有一项
In order to show the convergence of the series
It suffices to show
另一项呢 判别法的内容就是
sin n那一项 所构成的部分和的序列是不是一致有界
也就是n从1一直加到N sin n它是不是一个有界的量
对任意的N
according to Dirichlet’s test
现在我们用的就是狄利柯莱判别法的方法
好了 我们现在判定一下为什么sigma n从1到N sin n
是一致有界的
Observe that 我们把刚才这个部分和呢 写出来
就是sin 1 sin 2 sin 3 so on until sin N
这些数给它加起来
现在来看一下
现在呢我们先做一个变形
这个变形是简单地变形
也就是分子与分母同乘以2倍的sin2分之1
然后呢 要利用积化和差公式
积化和差公式呢 同学们在高中呢应该比较熟悉了
我们这里呢就不再详细解释了
总之 使用积化和差公式之后呢
我们现在呢 可以把刚才这个式子的分母
重新改写成现在我们看到的屏幕中央这样一个式子
这里呢还是要同学们在草稿纸上仔细地写出每一项
好啦 把这步看懂之后
我们现在注意到
刚才这个式子的分子的位置啊
这些和呢 可以合并
合并以后呢 只剩下第一项和尾项
他们是cos2分之1和cosN加2分之1
好的 根据现在算出来的结果呢
我们马上可以断定
sin n 这个序列的有限和
n从1加到N呢它是永远小于等于
我们现在呢 对分子放大
就是把分子中的每一项呢 取绝对值
这样的话我们能看出来 分子会小于2
因此 整体它会小于等于sin(1/2)分之1
于是我们看出来
The partial sum of sin n is bounded
sin n这个有限和它的确是一致有界的
对任意的N
这样的话就符合狄利柯莱判别法的第一个条件
Thus the series sin n over n to the p is really convergent
同学们 还记得以前我们讲过莱布尼兹判别法
实际上 莱布尼兹判别法
就是刚才狄利柯莱判别法的特殊情况
这就是我们下面要讲的
Remark 3.3
You may find that the Leibniz Test
is a special case of the Dirichlet Tset
也就是说只要我们明白了狄利柯莱判别法
自然也就懂了莱布尼兹判别法 为什么呢
In fact for an alternating series
假设现在呢 我们判定的序列是这样一个交错级数
因为莱布尼兹判别法是专门针对这种形式的级数的
其中通项是负1的n次方乘以an
而an呢是正数
好的 我们现在呢 看一下
any partial summation 部分和
其中一部分负1的n次方那一部分
n从0跑到N 负1的n次方
它呢 is bounded by 1
不管这个N加到哪里
它永远这个和呢 不超过1 为什么呢
因为啊 当我们从n等于0一直加到N的时候呢
这个结果啊 要么是1 要么是0
因此呢 它永远小于等于1
注意到 狄利柯莱判别法中啊还有另外一个条件
If moreover we have the sequence an
is monotone decreasing
And tends to 0
也就是说 另一项an
那个序列呢是单调减 趋近于0的
那么我们立刻可以使用狄利柯莱判别法
就断定我们考虑的这个级数
就是负1的n次方乘以an这个级数啊
is convergent
它是收敛的
可见 用狄利柯莱判别法去判定这样一个交错级数的话
它的结论和莱布尼兹判别法是一样的
因此我们说
莱布尼兹判别法是狄利柯莱判别法的特例
好了 和狄利柯莱判别法相对应的
就是阿贝尔判别法
这和我们原来学习广义积分的情形呢 非常的像
我们看一下阿贝尔判别法
Theorem 3.4
For a series sigma n from 0 to infinity an times bn
还是要考虑an乘以bn这种形式的级数
我们分别研究an和bn有什么性质
If first bn the summation
from 0 to infinity is convergent
注意 现在第一个条件呢
比刚才狄利柯莱判别法的条件呢
变强了 就是要求bn所构成的级数本身是收敛的
刚才狄利柯莱判别法中呢
要求bn序列的部分和是一致有界的
这两个事情呢 不是一回事儿
但是 如果bn
现在我们屏幕中看到的这个bn
n从0加到无穷这个级数是收敛的话
那么当然它的部分和是有界的
因此呢 现在这个条件变得更强了
好接下来 请看另外一个条件
an is bounded
an这个数列啊 是有界的
什么意思呢 也就是说
存在着某一个M 使得an的绝对值啊
永远小于M 对任意的指标n
另外呢 还要求an is a monotone sequence
an啊是一个单调的序列
它可以单调减 也可以单调增
这个时候 我们就一定断定
原来我们考虑的级数也就是an乘以bn
And then take summation n from 0 to infinity is convergent
我们同学呢 最好把现在看到的Abel判别法和原来的
在广义积分情况下的Abel判别法呢 对比一下
也就很容易理解为什么现在我们是这样三个条件了
好的 我们下面呢 看一个例子
Example 3.5
现在考虑的是这样一个级数
负1的n次方乘以e的n分之1次方
然后呢 除以n 再求和
We say this series is convergent
我们断定它是一个收敛级数
为什么呢
In fact we note that the series
这个series 负1的n次方除以n
是刚才这个级数中的一部分
它呢 是收敛的
这个原因呢 是因为
它是一个交错级数 而且通项的绝对值趋向于0
也就是根据莱布尼兹判别法
或者呢 如果同学们能够回顾我们前面讲的内容的话
我们用了欧拉常数的方法去给出它收敛的证明
总之现在我们看到的这个序列呢是收敛的
另一项 就是e的n分之1构成的序列
Such a sequence is monotonically decreasing to 1
As n goes to infinity
现在我们看到的这个e的n分之1啊
这个序列 它是单调减趋近于1
也就是说它是有界单调
因此呢现在根据Abel判别法
我们立刻可以断定我们所考虑的级数呢是convergent
The series above is convergent according to Abel’s Test
同学们 刚才这一讲
我们介绍了很多不同收敛性的判别方法
并且针对具体的例子
我们应用了这些方法
那么到此为止
相信同学们已经对级数非常熟悉了
掌握好这部分内容之后呢
在下一讲中
我们将为大家介绍新的内容
就是函数项级数
好的 我们下一讲 再见
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence(无穷级数及其收敛性)
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛与条件收敛)
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 1)
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 2)
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)(section 3)
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 1)
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)(section 2)
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 1)
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Uniform Convergence(一致收敛性)(section 2)
--Exercises-2-5(section 2)
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 2)
--Power Series (幂级数)(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义