Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 4

Relations of integrals of differential forms

微分形式积分之间的联系

同学们在前面3个小节中呢

我们学习了格林定理高斯定理 Stokes定理

现在呢我们换一种角度

把这三个定理呢重新审查一遍

We already have discussed

Green’s Gauss’ and Stokes’ theorems

All the theorems above are about

relations between integrals

on a boundary and its interior

以上这些定理都有一个共同的特点

就是它总是考虑某个区域的边界上的积分

和它内部积分的关系

With differential forms defined below

we can unify these theorems

into a simple formula

好下面呢我们利用这些共性

和differential forms 也就是微分形式

来把前面这些定理呢重新整理一下

变成一个简单的形式

首先 recall that

比如说在平面上的一个区域内

我们考虑一个1形式Pdx加上Qdy

我们知道对它求外微分d的结果是

dP wedge dx加上dQ wedge dy

它也会等于

现在我们看到的等式最右边的情况就是

partial Q partial x 减去

partial P partial y dx wedge dy

那么 we can restate 重述

We can restate Green’s theorem as below

好下面我们把格林定理呢换一个方式来描述

Let D contained in E^2 be a bounded

and closed region enclosed by C equals partial D

假设平面区域上有一块儿D

它的边界呢是C

D是由C所围成的区域

Which consists of one or finitely

many piecewise smooth curves

C呢由一个或者多个逐段光滑的光滑曲线构成

Then for any ω in C^1 Ω^1(D’)

Where D’ is an open neighborhood of D

在这个D的某一个开邻域上

任取一个1形式

请看 C^1Ω^1表示它是1形式

而且它的系数是C^1类的

也就是连续可微类的

好都有什么呢

We have this formula

在partial D上去求ω的积分

也就是ω作为1形式沿着partial D去做积分

一定会等于

在D上对dω作为一个2形式去做积分

这里面的定向关系呢我们没有详细叙述

它的定向和我们以前所说的定理是一样的

所以格林定理呢可以

现在写成这样一个简单的形式

好这里呢我们还需要指定定向

The orientation of C which is partial

D is directed as such

when one proceeds along this direction

the area D is always on the left hand side

这就是我们以前指定C定向的规则

总之呢现在我们看到的这个格林定理啊

和我们以前讲的格林定理呢

形式上有所区别实质内容是一样的

只不过它变得更简单了

我们再看另外一件事情

Recall that 现在我们考虑P Q R

P乘以 dy wedge dz

Q乘以dz wedge dx

R乘以 dx wedge dy

这是一个2形式

三维区域中的某一个2形式

对这个2形式求d 外微分

结果等于什么呢

它会等于

partial P partial x 加上

partial Q partial y

加上partial R partial z

乘以dx wedge dy wedge dz

这个公式啊我们以前算过

所以这里呢我们就不再重复这个计算过程了

利用这个形式啊

我们马上就可以把我们学习过的高斯定理呢

重新陈述一下

It can be restated as below

Theorem 4.2 Gauss’s Theorem

把高斯定理重述一下

Let V be a bounded and closed region in E^3

the boundary of V

S equals partial V

consists of one or finitely many

piecewise smooth surface

假设现在我们考虑的还是这个区域V

它的表面呢记成partial V

由一个或者多个逐片光滑的曲面构成

and is oriented by outward-pointing normals

假设它的方向呢还是朝外

Then for any ω in C^1Ω^2(V’)

where V’ is an open neighborhood of V

这句话的意思是说

如果在V这个区域因为它是一个闭集

把它放大一点点记成V’上我们找一个2形式

而且这个2形式呢是C^1类的

所以呢把它记成C^1Ω^2

对这样的Ω 我们现在有这样一个公式

这就是高斯定理的结论

在partial V上对ω 做一个2形式的面积分

它会等于什么呢

等于在V上对dω去做积分

V上dω dω一定是个3形式

总之呢我们现在看到的高斯定理的形式呢

和我们刚才看到的格林定理的形式非常的类似

尽管它的含义有一点点差异

但是形式上已经非常的统一了

好的接下来我们再看

假设在三维区域中我们考虑一个1形式

Pdx加上Qdy加上Rdz

对它做外微分运算

这个呢我们在上节课中已经做过了

它的结果是这样一个结果

partial R partial y 减去

partial Q partial z dy wedge dz

加上partial P partial z 减去

partial R partial x dz wedge dx

加上partial Q partial x减去

partial P partial y dx wedge dy

同学们可以回顾一下上节课的内容

利用这个公式

我们马上就可以把前面学习过的Stokes定理呢

换一种方式来表达

We then rewrite Stokes’ theorem as below

请看

theorem 4.3 Stokes’ theorem

换一种方式来写

Let Σ be an oriented piecewise smooth surface in E^3

the normal being n

假设在空间中我们有这样一片逐段光滑的曲面Σ

而且指定它的定向就是法向n

Also Σ is bounded and closed

假设这个面呢它是一个闭集有界闭集

The border of Σ consists of one

or finitely many piecewise smooth curves

假设这个Σ的边缘是由

一段或者多段逐段光滑的曲线拼接而成的

而且把这个边缘呢记成partial Σ

注意这个partial Σ呢不是我们经典意义下的

在拓扑意义下的那个边缘

好的

The orientation of partial Σ

follows the right hand rule

也就是按我们前面讲述过的定partial Σ的方向

If your right hand curls around n

in the direction of partial Σ’s orientation

then your thumb will be pointing

in the direction of n

这个我们以前解释过就不再解释了

好的在上述条件下我们有结论

For any 1-form ω continuously defined

in an open neighborhood of Σ

We have

对任何一个在Σ的某一个开邻域上定义的

可微的1形式

我们有下面这个公式

也就是partial Σ integration of ω

ω在partial Σ上做线积分

会等于在Σ上对dω去做面积分

当然这里的线积分和面积分都是第二型的

这就是Stokes定理用微分形式所表达出来的形式

我们看到这三个定理

高斯定理格林定理和Stokes定理

它的形式都一模一样

只是其中的ω的含义会有差异

Σ也不太一样

另外呢其实对0形式而言呢

也有一个类似的定理

There is also the version

of this kind of theorems for 0-forms

0形式就是函数好我们看看这个定理

Let Γ be an oriented piecewise

smooth curve in E^3 or E^2

which starts from A and ends at B

假设现在Γ呢是一个指定定向的逐段光滑的曲线

它可以在三维空间中也可以在二维空间中

它的起点是A 终点是B

Then for any f which is differentiable in U

这个U啊是这个曲线Γ的某一个开邻域

然后呢 we have the conclusion

现在呢结论就是说

对f这个0形式做一次微分

然后呢作为一个1形式

沿着Γ去做第二型线积分的结果

一定等于f(B)减去f(A)

这个呢就是我们现在看到的这个定理

这个定理呢一点都不奇怪

可能同学们觉得它很简单

而且它也很容易证明

但是我们下面解释一下

为什么说它和前边讲的高斯定理格林定理等等

是同一类型的定理

The border of Γ consists of two end points

A and B

刚才我们说这个定向曲线Γ

它有起点有终点

这个A和B啊都看成是Γ的边缘

好了对B点也就是它的终点

我们把它想象成一个正的点

把起点A想象成一个负的点

So assign + to B and – to A

好这个时候呢我们重新理解一下

We understand that f(B) minus f(A)这个量

f在B点的值减去f(A)

它会等于f在partial Γ上的积分

这是我们的定义式

因为我们从来没定义过一个0形式的积分

现在f作为一个0形式它在点上的积分

这个点呢就是A和B

它看成partial Γ

Γ是定向曲线

partial Γ呢是它的边缘

边缘由两点构成就是A和B

别忘了 B是正的 A点是负的

所以f要在B处去直接取值然后呢加正号

f在A处呢取值然后加负号做代数和

也就是f(B)减f(A)

这就是定义0形式的积分

好那么如此定义以后呢

我们马上发现

刚才我们写的那个公式啊就是

df 也就是f作为0形式的微分以后

在Γ上的积分会等于

f本身作为一个0形式在Γ的边缘上去做积分

这样的话

这个写法就和我们刚才所讲过的

高斯定理格林定理 Stokes定理等等呢

形式完全一样了

好的我们总结一下

Remark 4.5

The four theorems above are all particular cases

of a generalized Stokes’ theorem

以上四个定理啊

我们看出来它的形式基本上一样

那么总的来说呢有一个广义的Stokes定理

以上这四种定理呢

实际上都是这个定理的特殊情况

Which says that the integral

of a differential form ω

over the boundary is equal to

the integral of its differential dω

over the whole of M

这是在微分几何中描述的Stokes定理

它的意思是说对任何一个微分形式ω

它沿着某一个流形manifold

在汉语中指的是流形

沿着这个流形M的边缘去做积分的话

它会等于dω 也就是ω的微分

在整个M上去做积分

也就是底下这个公式

在partial M上去做ω的积分

等于在M上去做dω的积分

这就是一般的Stokes定理

它包含了刚才我们讲过的

格林定理高斯定理 Stokes定理等等

同学们以上就是这一讲的全部内容

在这堂课中呢我们学习了很多很多定理

比如格林定理

它阐述了平面区域上二重积分

与它边界上的曲线积分之间的联系

高斯定理告诉我们三重区域上的三重积分

与它边界上的曲面积分的关系

Stokes定理告诉我们空间中的曲面上的积分

和它边界上的曲线积分的联系

总之这三个定理呢有类似的地方

也有不同的表达方式

所以同学们一定要课后仔细温习一下

在下堂课中呢我们要学习与场论有关的内容

同学们一定要提前预习一下

好的我们下堂课再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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