Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 3 Continuity 连续性

同学们前面我们已经深入的讨论了

函数的极限的情况

各种不同的极限

那现在呢应用极限

我们要讨论函数的连续性

这个连续啊

是一元函数里面非常重要的内容

在多元函数中呢

也同样是非常重要的

下面我们来看定义

Definition 3.1.

Let D be contained in En and

f a function defined on D

f还是一个n元的函数

它的定义域是D

We say that the function f is

continuous at this point p naught

我们称f这个函数

它在某一个点

注意这个点p0要求必须在

f的定义域之中

称f在这个点p0处

是连续的 continuous

if这个条件是这样的

the limit of f(x) as x approaching

p naught is exactly the value of

f at p naught

也就是f在p0这个点的值啊

恰好等于f在p0这个点的极限

这就是连续性的定义

这个定义啊和一元函数的定义

是完全一致的

因此呢我们说

f的连续性保证f的极限值

和f的具体的函数值是一致的

我们把刚才这个连续性呢

可以翻译成ε-δ这种语言

同学们刚才我们定义了

f在一个点的连续性的情况

下面呢我们定义f

在一片区域上的连续性

if for any p in D

如果对任意的定义域D中的点p

f is continuous at that point p

也就是 f在定义域中

任意一点都连续的话

then we say that f is continuous on

the whole domain D and we write

f in C(D)

C后面加一个括号写D

这就表示连续函数类

f属于连续函数类C(D)

就表示f是在它的定义域D上

是一个连续函数

这个符号呢

和我们以前一元函数也是一样的

In ε-δ language

我们呢可以把这个

连续性这个条件呢

用ε-δ语言来描述一下

for any p in D and for any ε positive

there exists some δ positive

such that f(p) minus f(q)

the absolute value is less than ε

也就是说任意的p属于D

任意的ε大于0

我呢总能找到某一个δ

使得f(p)减去f(q)的绝对值呢

要小于ε

其中的q要满足什么条件呢

q要属于D

而且q与p之间距离要小于δ

这就是函数在一片区域D上

连续性的ε-δ语言

注意函数在一片区域上的连续

和我们以前学过的另外一个概念

一致连续啊是不一样的

我们下面呢

把多变量函数的一致连续性呢

也再强调一下

什么是一致连续

及它和一般连续的区别

好我们下面定义什么叫一致连续

Uniform Continuity

A function f defined on D

is said to be uniform continuous on D

称一个n元函数f

它在它的定义域D上

是一致连续的

if 注意我们用的是ε-δ语言

它是这么说的

for any ε positive

there exists some δ positive

such that f(p) minus f(q)

the absolute value is less than ε

for any p q in D and

the norm of p minus q

is less than δ

这句话的意思是说

所谓f在它定义域上

一致连续的定义是这样的

任意的ε大于0

存在δ大于0

使得只要任意两个p q

它们之间距离小于δ

则相应的函数值

f(p) minus f(q)的绝对值

也要小于ε

这个呢就明显看出来

和刚才我们定义的一般的函数

在一个区域D上连续是不一样的

这个逻辑关系是不一样的

下面呢我们来定义

什么叫做紧致集

紧致集在原来我们

在三维空间中已经定义过了

现在呢在n维空间中呢

也是可以定义的

A subset D in En

is said to be compact

if it is bounded and closed

如果它是有界的而且是闭集

有界闭集就叫紧致集compact set

那么下面

有一个重要的定理告诉我们

If D in Rn is compact and

f is continuous on D

只要f是某一个紧致集D上

的连续函数的话

then 结论1

f is bounded

也就是说 f在这个它的定义域上

一定取值呢是有范围的

f is bounded

f是一个有界函数

有界函数呢可以换一种方法说

就是存在着某一个M大于0

使得f的值啊永远要小于M

或者大于负M

也就是f的绝对值要小于M

对于任意的x在定义域中

这就是f的有界性的描述

好如果D是紧致的

那么连续函数就有这个特点

除此之外还有请看第二条

there exists some p naught in D

such that p

the value of f at this point p naught equals

请看我们现在这个符号

这个符号同学们在一元微积分的时候

已经见过了

现在呢我们把它回顾一下

sup sup表示什么呢

表示上确界

f(x) x in D

这个等式的右边啊

表示f全部取值可能的集合中

的上确界

那么整体读起来就是

f在某个点p0处取到了上确界

也就是f取到了最大值

所以啊如果D是个紧致的集合

f又是D上的连续函数

则f能取到上确界也就是最大值

类似的我们可以找到某一个q0

使得f在q0处的值呢是最小值

inf表示下确界

所以这个地方意思就是告诉我们

f取到了它的最小值

除了1和2以外呢还有第三条

f is uniform continuous on D

不仅仅f是连续的而且是一致连续的

那么这个定理告诉我们

在一个紧集上的连续函数啊

它实际上有非常好的性质

不但有界而且能取到最大最小值

而且还是一致连续的

同学们在这一讲中呢

我们学习了

多元函数的极限与连续性

这其中大部分内容

如果和以前我们学过的

一元函数的情形相比照的话

发现是非常的类似的

但是呢也有不同的地方

比如我们引入了累次极限这个概念

累次极限和整体极限是不一样的

但是它们之间呢也是有关系的

希望同学们能够课后呢

认真复习这些内容

掌握相关的知识

在下一讲中我们将学习

多变量函数的导数与可微性

同学们一定要提前预习一下

好的这节课就到这里

我们下节课再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

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--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

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Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

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--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

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--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

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Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

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--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

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--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

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--3-2讲义

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--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

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-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

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-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

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-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)在线视频