Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)在线视频

Section 3 Differential forms 微分形式

同学们 在这一个小节呢

我们要引入一种新的数学语言和工具

它的名称叫做微分形式

也叫外微分形式

这是呢 为我们下一个单元的学习

做一些基础性的铺垫

好的 我们先看什么是0-形式

Let U in E^3 or E^2 be an open set

我们通常考虑形式都是在一个开集上考虑

假设U是欧氏空间E^3或E^2中的一个开集

那么所谓0-形式

The 0-forms on U are two variable functions on U

U上的0-形式呢实际上就是

U上的二元函数或三元函数

取决于这个U啊它是几个变量

好Ω0(U)就代表全体0-形式的集合

也就是U上的函数

我们用这样一个符号Fnct(U)表示U上的函数

这个就表示所有的0-形式

因此呢所谓0-形式就是函数

只不过它是函数的另一种表达方式

另一种说法

就叫0-形式

接下来我们看

In E^2 假设现在E^2上看

也就是平面上看

那么在某一个开集

比如说U包含在E^2中

什么叫做一个1-形式

a differential 1-form

也叫微分1-形式

简称 simply 1-form

是什么意思呢

就是这样一种形式

现在我们屏幕中看到的中间这个表达式

ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

其中P, Q呢是两个函数

分别是P(x, y), Q(x, y)

它呢自变量都是x, y

定义在某一个开集U上

全体这种形式的集合就叫做1-形式

记成Ω1(U)

这相应于我们刚才引入的Ω0这样一个符号

表示1-形式的集合 Ω1(U)

U上的微分1-形式

那么同学们在理解这种形式的时候呢

不要把它想象成普通的函数啊等等的

它就是一种形式

就是数学中的一种形式表达

那么类似地在E^3中

什么是1-形式呢 或者说微分1-形式

它是这样的形式

就是ω 注意现在有三个量了

P, Q, R三个分量

P, Q, R分别是三个函数

它们的自变量都是x, y, z

别忘了P后面带一个dx

Q后面带一个dy

R后面带一个dz

dx, dy, dz呢就是形式的一些标记

好 把全体这种标记的1-形式集合起来

就叫做Ω1 the set of 1-forms

全体开集U上的1-形式的集合 记成Ω1

因此我们看到啊

这个1-形式啊实际上就是一些函数构成的

只不过每一个函数的尾巴上呢

都要带dx, dy这种标记性的东西

这就是1-形式

总之呢我们可以把1-形式全体呢看成一个向量空间

We can treat Ω1(U) as a vector space over the ring

ring 什么意思呢

环 如果同学们学过抽象代数的话就知道

ring这个词在代数中表示环

群 环 域 它表示环的意思

现在这个环呢是Fnct(U)

也就是U上的函数环

那么the basis of Ω1(U)

1-形式U U上的1-形式这个集合

把它看成一个向量空间

它呢基底是什么呢

The basis consist of three vectors dx, dy, dz

dx, dy, dz刚才标记的那些量啊把它看成基底向量

如果U是包含在E^3的时候

就有dx, dy, dz这三个

如果U是包含在E^2呢

也就是平面上呢区域呢

这时候只有两个基底向量

就是dx, dy

总之我们把Ω1这样一个抽象空间呢可以看成向量空间

它的系数呢 是函数环

因此它是无穷维的空间

同学们 刚才我们学习了0-形式, 1-形式

接下来很自然 就是2-形式

Similarly, the set of 2-forms on U contained in E^2

is the linear space

spanned by some vectors dx wedge dy

好 现在我们介绍什么是2-形式

这段话比较难理解

我们来慢慢地理解

所谓2-形式 the set of 2-forms

全体2-形式

比如说现在在U

U是E^2上的某一个开集

它是一个线性空间

这个线性空间呢由一个向量张起来

spanned by one vector

这个向量就是dx wedge dy

我们屏幕中看到这个符号就是

dx 然后呢 dy 中间画了一个尖头

这个尖尖的这个符号呢通常读作wedge

好 dx wedge dy它是一个抽象的向量

这个抽象的向量张出来的空间就是Ω2

就是2-形式的集合

Ω2(U) equals such elements

也就是每一个2-形式啊

实际上都是dx wedge dy前面乘了一个系数

这个系数就是一个函数f

f是U上的一个函数

好的 我们看到如此来看

这个平面上某一个开集U上的2-形式呢

一定是1维的

因为它只有一个基底向量

那么现在我们在3维空间中看

如果下面U contained in E^3 is open

假设E^3中某一个开集U上来考虑2-形式

那么它就是

the linear vector space spanned by 3 vectors

现在我们要有3个基底向量

来张出来这个2-形式空间

它们分别是 请看

dy wedge dz dz wedge dx and dx wedge dy

三个基底向量分别是

dy和dz的外积 dz和dx的外积 dx和dy的外积

首先同学们暂时不要被这些符号所迷惑

就把dy wedge dz dz wedge dx和dx wedge dy

看成三个特殊的向量的标记或者符号

好了 拿这3个向量来张一个空间

把它记成Ω2(U) 这就是2-形式的空间

2-形式空间呢因为这三个向量张的时候是自由张的

所以前面的系数可以自由地放

也就是P, Q, R

P, Q, R这三个函数随便地加在这三个向量的前边

然后把它们组合起来 就叫做2-形式

所以呢2-形式我们看出来是三个向量张出来的

它呢must be 3-dimensional

就是它是三维的

当然 现在的系数环是看成函数环Fnct(U)

好 刚才已经讲了1-形式, 2-形式

接下来就是3-形式

3-形式呢我们通常是对3维空间的某一个开集而言的

The set of 3-forms on U contained in E^3

is the linear vector space over Fnct(U)

spanned by one vector

现在这个向量呢是dx wedge dy wedge dz

把它看成一个整体的向量

那么Ω3(U)就是这个向量张成的空间

也就是给这个向量前面乘一个函数f

把全体这样的元素呢集合起来

就叫做Ω3(U) 3-形式的集合

所以呢

it must be 1-dimensional

也就是看成函数Fnct(U)上的向量空间的话

它是1维的

作为实向量空间或者复向量空间

它仍然是无穷维的

好的那么我们现在有了1-形式,2-形式,3-形式

那么有没有平面区域U上的3-形式呢

很不幸我们说平面开集U上的3-形式集合呢

实际上是一个零空间

它的元素只有零

我们因此呢就不引入它了

同学们 刚才我们抽象地定义了

什么是0-形式,1-形式,2-形式乃至3-形式

现在呢我们看一些具体的例子

Example 3.1

The following are example of differential forms

下面呢我们给出3个微分形式的例子

我们一个一个看

第一个 x平方加y平方分之1

这个函数我们可以把他看作一个0-形式

因为我们说了函数就是0-形式

这个0-形式呢定义在E^2减去零

也就是平面去掉原点这样一个开集上

So it is a 0-form in E^2 minus zero such a set

好这是第一个例子

第二个例子请看

x平方加y平方减1分之1乘以dz

只要尾巴上带了一个dz

我们就知道它一定是1-形式

关键它的范围在哪里

我们后面给出来了它是Ω1

然后呢E3减去一个集合就是

x平方加y平方等于1 这样一个圆

总之呢 这几个例子告诉我们

一些1-形式0-形式乃至2-形式具体的例子

在后面我们做各种积分的时候呢

会常见这种形式

好的 下面我们再看一种例子

dx加上dy除以x平方减y平方

这里边同时出现了dx dy

所以呢 它是个1-形式

而它的定义域呢实际上是E2除掉一部分集合

x和y的绝对值相等的那两条直线

那么剩下的集合当然是一个开集

这个开集上每一个1-形式就是现在我们这个例子

好的 再看最后一个

dx wedge dy wedge dz

同时出现xyz这种形式的一个形式呢

一定是3-形式

它的分母是x平方加y平方加z平方

那么 它的定义域就是E3去掉0点

这是一个3-形式的典型例子

同学们 刚才我们给出了具体的一些形式例子

这些形式之间呢可以做运算

首先我们定义什么叫做外积

英语叫做wedge

We now define the wedge product of 1-forms

我们首先定义1-形式之间的外积

1-形式之间的外积啊 它也叫另外一个名字

叫做exterior product

exterior英语的意思就是外部的

exterior product或者tensor张量积

好 这个外积这个运算呢

通常用我们屏幕中看到的这个符号

就是箭头这样一个符号

Ω1(U) times Ω1(U) to Ω2(U)

它的意思是两个1-形式做外积

结果呢是一个Ω2

也就是个2-形式

一般而言啊 实际上这个张量积

也就是外积啊

它是对任何两个形式都可以做的

比如说一个k形式 一个l形式

那么他们之间做外积的结果呢

实际上是一个k+l形式

后面我们会看到

好的下面我们就看一下

Such a product is subject

to the following basic properties

要定义这样一个外积呢

我们通常用以下的这些原理来定义

比如

for 1-forms X Y Z and r which is a function

现在我们抽象的用X Y Z

大写的X Y Z 这三个符号

来表达三个1-形式

它具体什么样子我们先不管它

我们看下面原理

第一个原理

r wedge X 也就是

0-形式和1-形式做外积的结果

是r乘以X

也就是直接把r这个系数乘到这个1-形式上面去

这是第一条

第二条 skew-symmetric

skew-symmetric英语的意思是斜对称

也叫反对称

好 反对称性怎么说呢

它说如果X和Y是两个1-形式的话那么

X和Y做外积会等于负的Y和X做外积

这是所谓的反对称性

反对称是外积独特的性质

因为我们通常的乘积都有对称性

而现在这个外积呢它是反对称性

有点类似于我们前面介绍过的cross积

也就是叉积

好再看第三条

bilinear 双线性

双线性呢我们只列了第一条

也就是第一个分量的线性

第二个分量的线性呢是类似的

好 请看

(X+rY) wedge Z=X wedge Z + ry wedge Z

也就是X加rY整体和Z做外积的时候

可以按分配率展开

展开的时候遵循线性法则

好 第三条 就是这样

第四条是associativity 结合性

结合性是这么说的 说

X wedge (Y wedge Z)=(X wedge Y) wedge Z

意思就是说 当我们对三个1-形式做外积的时候

跟你的次序没有关系

比如 先做后面两个做外积

然后再和第一个做外积的话

会等于12先做外积 再和第三个量做外积

这就是所谓的结合性

The important fact is that

根据1234这些性质呢 我们可以推出

下面这一条就是X wedge X 等于0

什么意思呢 就是说

如果两个相同的1-形式

X和X自身做外积的话一定会等于0

这一条是根据第二条

也就是skew-symmetric斜对称性所推导出来的

那是很容易看到的事实

好接下来 根据刚才这些原理我们来具体看一下

For the base vectors 基向量

因为我们知道啊 这些1-形式也好2-形式也好

它们都是基向量张成的

首先呢 基向量之间 比如说dx和dx之间

这两个形式是一样的 它们做外积等于0

刚才我们介绍过了

那么 比如

dy wedge dy =0 dz wedge dz =0都是类似的

另外还有dx和dy之间做外积就不等于0啦

它和dy wedge dx关系只差一个负号

根据反对称性类似的

dy wedge dz equals minus dz wedge dx

dz wedge dx equals minus dx wedge dz

接下来 请看我们根据刚才的线性性质

for functions f g假设两个函数f g

它们都是定义在U上的函数

it can be put anywhere between wedge products

函数在外积运算过程中呢 它是自由分配的

也就是说 我们现在看到这个公式

f乘以dx wedge g乘以dy

假设现在这两个1形式之间做外积的时候

那么f和g作为系数啊 它们可以任意的摆放

也就是g可以跑到dx前面 f跑到dy的前面

或者呢把它们整体的跑到dx wedge dy的前面

或者把fg跑到整体的dy的前面 都可以

这些呢 就是根据我们前面讲的原理

也就是线性性质所保证的

类似的 我们说

外积也可以在1形式与2形式之间做

We have such a product wedge

1形式和2形式之间做外积

结果呢属于Ω^3 也就是3形式

好 怎么做呢 我们不妨做一个例子来说明

fdx是一个1形式

wedge 后面括号中呢是一个2形式

g倍的dy wedge dz

那么根据线性 直接把g放在前面就可以了

fg dx wedge dy dz

dx wedge dy dz呢就是3形式的基底向量

所以呢

我们把它前边乘一个fg就表示最终的结果

当然我们也可以用另外一种方式来计算这个结果

就是dx作为一个1形式

wedge后面一个2形式 就是fg乘以dydz

根据fg可以任意摆放这个性质呢

fg放在最前面就可以了

总之这个外积呢

一般而言可以在任意两个形式之间做

We should remember 我们要记住

that the wedge product

is associative and skew-symmetric

外积的本质性质就是结合性与反对称性

比如 dx wedge dy wedge dz

它和dx wedge dy wedge dz的次序没有关系

你可以前面两个结合 也可以呢后面两个结合

好 根据反对称性呢 也可以这样写

就是dy wedge dx wedge dz

就是我们打乱次序的时候要注意

这个调整次序时候的那个符号

也可以写成负的dy wedge dx wedge dz

总之这个我们要特别留心 这里边的反对称性

类似的 dx wedge dy wedge dx

现在这个例子中啊 同时出现了两个dx

那么根据结合性

我们可以把它重新结合

最后呢 结合成了dx wedge dx wedge dy

前两项是dx wedge dx

根据我们前边说的

两个相同1形式之间做内积等于零

那么我们现在结果呢就是等于零

因此我们注意

连成 好多个形式之间连成的时候

如果出现了同类项 就会出现0的结果

我们要强调

the wedge product is distributive

可分配性 实际上也就是线性

比如Pdx加上Qdy 现在是个1形式

它和dz这个1形式做外积的时候

可以根据分配律全部分配出去

比如第一个就是Pdx wedge dz

第二个呢是Qdy wedge dz

但是按照习惯 我们通常把dx wedge dz呢

给它写成dz dx加个负号的形式

也就是写成负的P乘以dz wedge dx

加上Qdy wedge dz

同学们

刚才我们介绍了0形式 1形式 2形式 3形式

这些形式以及它们之间做外积的运算

还有一个非常重要的运算是介于这些形式之间的

就是外微分运算 它也叫微分算子

The key link between these forms

is the operation of differentials

微分算子

Let DΩ^k

现在我们在刚才

介绍形式的基础上引入一个新的空间DΩ^k

DΩ^k呢表示

the set of those k-forms

whose coefficients are differentiable functions

因为刚才我们约定形式的时候

没有对这些函数 也就是系数函数做约定

现在我们要求这些系数函数是满足什么性质呢

differentiable 可微的函数

这时候就在这个符号前边加一个D

就表示这样的集合

好

we then define the differential operator

请看下边这个differential operator的形式就是

小写的字母d 这是数学中通用的符号d

DΩ^k to Ω^k plus one U

也就是说 这个运算微分算子d

它把可微的k形式

DΩ^k表示系数是可微的这些k形式

变成什么呢 变成k加1形式 Ω^k plus one

By the following rules

它的定义法则是我们下面所讲的

For all f P Q in D(U)

这个D(U)呢就表示这个

空间U上的全体可微函数

注意现在我们约定U是一个平面上的区域

好 假设平面上区域有f P Q这么三个可微函数

那么 第一条 请看 Df

f是函数 那么f可以看成0形式 可微的0形式

好 那么对这个0形式做外微分运算df

就会等于什么呢 这是定义式

partial f over partial x times dx

partial f partial y dy

这两项加起来

同学们 这个算式 以前我们见过

这就是整体微分

total differential

也叫全微分运算

所以呢 现在呢 我们就把它定义成微分运算

对一个0形式f进行微分运算

实际上就是求它的全微分

这是第一条公理

第二 d Pdx加上Qdy

Pdx加上Qdy呢是一个一般的1形式的表达式

因为在二维平面上

那么Pdx Qdy就代表要全体的1形式

其中P Q是可微函数

好了 对它求d

就是括号里面这个d这个运算

求完结果等于什么呢 请看

它等于dP

也就是把P看成0形式求dP 变成1形式

然后再做wedge 就是外积 dx

再加上 dQ wedge dy 这就是定义式

但是这个定义式呢 实际上是可以展开的

展开以后最后就变成了

partial Q partial x minus partial P partial y

times dx wedge dy

下面 我们再看 在三维的情况

在三维情况

假设 U是三维空间中的某一个开集

f P Q R是三个可微函数

好了 下面我们定义

第一条对0形式f而言

它的外微分是

df equals partial f partial x dx

plus partial f partial y dy

plus partial f partial z dz

三项之和

这也是对一个普通的函数求全微分运算

这就是对0形式求微分运算的定义式

第二条第二条是这样定义的

d括号中间是一个一般的1形式

Pdx 加上Qdy 加上Rdz

它的结果呢等于

dP wedge dx 加上dQ wedge dy 加上dR wedge dz

那么 dP dQ dR呢都是经过

第一条我们所定义的微分运算之后的1形式

之间做外积运算就可以了

这是定义式

但是这个定义式啊还可以展开

展开就是我们看到的屏幕中间这个算式

这个算式很长 我们念一下

它是

partial R partial y minus partial Q partial z

times dy wedge dz

加上

partial P partial z minus partial R

partial x dz wedge dx

plus partial Q partial x

minus partial P partial y dx wedge dy

好 请看第三条

第三条呢是对2形式求外微分

结果应该是个3形式 请看

一般的2形式啊可以写成

Pdy wedge dz plus

Q dz wedge dx plus R dx wedge dy

对它求外微分 结果是一个3形式

这个3形式很简单 就是

dP wedge dy wedge dz

加上dQ wedge dz wedge dx

加上 dR wedge dx wedge dy

这是定义式

这个定义式呢还可以进一步展开

展开的结果就是

partial P partial x加上 partial Q partial y

plus partial R partial z dx wedge dy wedge dz

总之这三条我们定义了

三维空间中某一个开集U上的形式的

外微分运算

同学们 刚才定义的时候 我们有一些展开

我们现在来具体解释一下

比如 刚才我们说了

对一个1形式

ω等于Pdx 加上Qdy

我们刚才定义过它的外微分就是

dω等于dP wedge dx加上dQ wedge dy

它为什么能展开成我们刚才定义的那个式子呢

我们来解释一下首先把dP写开

就是partial P partial x dx

plus partial P partial y dy

再做wedge dx

类似的后面这一项 我们就不念了

总之这是根据定义式把它展开

接下来我们就做外积运算

同学们 别忘了 外积运算有它独特的性质

我们讲过就是两个同类型的

1形式之间做内积就等于0

好了 所以这里边就有很多项等于零

同学们不妨找一找哪些项等于零

最后把那些等于零的项消除掉

然后呢 重新整理 最后就得到这个式子

partial Q partial x minus partial P partial y

times dx wedge dy

这个运算的过程呢 同学们在草稿纸上完成

总之这就解释了为什么刚才定义的时候

会有这样一个展开式

类似的在三维情况

比如说 一个1形式

ω等于Pdx加上Qdy plus Rdz

那么对它求外微分

dω就等于

dP wedge dx plus dQ wedge dy plus dR wedge dz

这是定义式

接下来呢 我们把P Q R分别代入

根据全微分的定义

那么现在就是全部定义式代入之后的情况

但是这里边呢 一共有9个式子

这9个式子呢一定可以合并同类项

而且其中有一些是0

那么 经过合并之后 进行适当的符号调整

那么最后的结果就是现在我们看到的

屏幕下方这样一个大的公式

这公式就是我们前边提到的具体的展开式

同学们一定要亲自操作一下

为什么合并同类项以后是这些式子

如果你能够把这些算出来

就说明你对微分式的运算已经比较熟悉了

接下来我们再看一个注记

Similarly for the 2-form

刚才我们还做过对2形式的外微分

假设ω等于Pdy wedge dz

Q dz wedge dx plus R dx wedge dy

这样一个2形式 对它求外微分的话

那么 dω按定义等于什么呢

dP wedge dy wedge dz 再加上剩下的项

我就不念了

别忘了 我们要把dP的形式代入

dQ的形式代入

以及dR的形式代入

那么代入过程中啊 我们已经有经验了

有很多项其实不必代入

因为它永远会产生0

所以这里呢 我们用省略号代表那些项

那些项代入之后最后计算出来一定是0

其实这里呢

我们只需要记下来有这些项存在就行了

最后我们把这些算式全部整理一下

就得到最后的展开式

偏P偏x加上偏Q偏y加上偏R偏z

三项之和乘以dx wedge dy wedge dz

这就是我们刚才介绍的

2形式微分以后变成一个3形式算式的来由

不妨做一个例子 请看

d(ysin(x)cos(z)) 注意这是对0形式做微分式

结果应该是个1形式

那么它的结果是

ycos(x)cos(z)dx加上sin(x)cos(z)dy

减去ysin(x)sin(z)dz

这个结果我已经告诉同学们了

中间这个计算过程 同学们一定要亲自操作

才能检验你是否

牢固掌握了刚才我们定义的微分运算

类似的 d sin平方xdy加上xydx

现在是对1形式求外微分

那么结果是什么呢

2倍的sin(x)cos(x)dx wedge dy

减去xdx wedge dy

这里呢也是请同学们亲自操作一遍

好的 最后 希望同学们

自己推导一下

关于外微分运算的一些普遍的形式

我们把它留作homework 家庭作业

Please verify the following identities

请同学们自行验证以下一些重要的公式

这些公式在

将来我们学习高等的微分几何中呢会常用

好 请看 第一个

ω wedge η equals minus one to the k times l

η wedge ωl

注意这里的ω η呢是k形式 和l形式

两个1形式 ω η

它们俩之间做外积

与η 和ω之间做外积差一个负号

这个负号的关系就是公式1中那个负号

好 第二条请看

d ω wedge η 先做外积 后做微分式

这个运算等于什么呢

等于dω wedge eta plus minus one to the k

ω wedge dηk

也就是说两个k和l形式

先做外积之后再做微分运算的结果

我们可以展开成现在这个算式

好的 最后一条 3 同学们看一下

d平方ω等于零 什么意思呢

也就是说 对任何一个k形式

注意我们要求Ω满足什么条件呢

ω属于C^2Ω^k

也就是系数是二阶连续可微类的函数的那些

k形式

好 对它连续做两次微分

d平方表示连续做两次

就先做一次 再做一次

结果一定等于零 d平方ω等于零

这是外微分运算一个非常重要的性质

总之 这1 2 3 这几条啊

因为它比较抽象 同学们呢可以自行验证

我们这里就不做了

如果你能够把每一条都验证出来的话

就说明你对微分形式已经彻底掌握了

同学们 以上就是这一讲的全部内容

在这个单元中呢

我们主要学习第一型曲面积分

对一个曲面呢 我们给出曲面的参数化

然后利用参数化来定义第一型曲面积分的值

这里边的过程很复杂

所以同学们一定要在课后多加练习

另外我们还学习了微分形式

这种新的数学工具呢是我们后面要反复用到的

所以同学们呢也要做很多的练习

好的 在下一堂课

我们继续学习曲面积分 就是第二型曲面积分

同学们一定要提前预习一下

好的 我们下堂课再见