Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

2. Dirichlet and Abel Tests

狄利克雷与阿贝尔判别法

好的

我们先讲一下什么是狄利克雷判别法

这是一个非常常见的判别

广义积分收敛性的判别法

它的陈述呢比较复杂

我们现在呢仔细认真的

把它的每一个条件讲述一下

首先请看它的形式

For an improper integral of the form

a to plus infinity f(x) times g(x)dx

注意啊

这里边我们要判定的广义积分的类型是

f乘以g这种形式的积分

其中呢

plus infinity is the only singularity

我们呢现在呢只考虑

正无穷是一个奇点的情况

请看 If

下面是我们要仔细陈述的条件

First the integral from a to B f(x)

is uniformly bounded

从a到B

f的积分是一致有界的

汉语的翻译是一致有界

这句话什么意思呢

注意啊

这里边我们引入了一个中间变量 B

那么如此一个积分

从a到B f(x)

它是一致有界的意思啊

意思就是说

对任意的B而言

如此的积分呢都是一个有界的值

换句话说 in other words

there exists some M which is positive

存在着某一个大于0的M

使得这个从a到B f(x)的定积分

它的绝对值永远小于或等于M

其中这个B啊是任取的数

只要它比a大

而M呢是事先固定的

这就叫一致有界

好的除了第一个条件呀

还有第二个条件

请看

as x approximates plus infinity

g(x) is monotonically approaching zero

它的意思是说

在x趋近于正无穷的时候

g(x)是单调趋近于0

趋近于0 我们好理解

但是什么叫单调趋近于0呢

它的意思是这样子

我们具体解释一下啊

就是我们换一片解释

in other words that is

the limit of g(x)

as x approximates plus infinity is zero

这是第一条也就是

g(x)在正无穷远处的极限是0

另外呢

g(x) is monotonically increasing

or monotonically decreasing

on A to plus infinity

其中这里的A呢是大写的A

它表示某一个比a大的数

这句话的意思是说

从某一个数A开始一直到正无穷

g呢都是单调增或者单调减的函数

而且它的极限是0这就是所谓的

g在无穷远处单调趋近于0

好了我们看一下刚才这两个条件 1 2

If 1 and 2 these two conditions

are all fine in this theorem

如果1 2都满足的话

那么结果是这样的

then the integral from a to plus infinity

f(x) times g(x) is convergent

也就是f乘以g(x)这种类型的广义积分

就是收敛的

这就是狄利克雷判别法

它的判别过程呢不简单

希望同学们

一定要认真领会每一条是什么含义

它实际上是对f和g分别做出了判断

接下来我们看一个

狄利克雷判别法应用的具体的例子

请看

A way to show that

the integral from 2 to plus infinity

In In x over In x times sin x dx

is convergent

这广义积分啊挺复杂的

它是两部分乘起来的

有两个不同的函数

是In In x除以In x

还有呢 sin x

好的我们现在来断定

它就是收敛的

为什么呢请看

We first note that

其中的一部分 sin x

它在做积分的时候

从2到某一个B

它呢一致有界

it is always less than or equal to 2

for any B bigger than 2

这关系啊希望同学们自己推导一下

为什么从2到B

sin x做积分永远是一致有界的

但是注意一致有界并不意味着

从2到正无穷 sin x做积分是收敛的

这是两个不同的事情

总之我们看出来

其中 sin x这一部分做积分一致有界

另外呢g(x)

也就是 In In x 除以In x

这一部分函数呢注意

当x大于等于2的时候啊

它会怎样呢

我们首先说它是一个单调减函数为什么呢请看

只要x大于e的e次方

那么g的导数

我们现在算出来g prime 等于多少呢

这希望同学们认真仔细的算一下

我们现在呢给出了一个算式

在这个算式中啊

If x is bigger than e to the e

如果x比e的e次方还大的话

那么就很容易断定出来

它就是小于0的

因此呢 g就一定是一个单调减函数

我们还要注意到

这个 In In x 除 In x 啊

它呢一定是单调减趋近于0的

为什么呢这个呢

我们可以用各种判别法来判定出来

可以用洛必达法则等等

这里呢我们就忽略了

希望同学们能够自己推导一下

为什么它的极限是0

总之由以上两件事情

我们就可以断定

根据狄利克雷判别法

我们现在所讨论的这个广义积分呢

就是收敛的

好的本小节啊我们还有一个

跟狄利克雷判别法非常类似的判别法

它叫做阿贝尔判别法

Abel Test

请看

For an improper integral of the form

f(x) times g(x)

the integration is from a to plus infinity

我们这里的广义积分形式啊

跟前面狄利克雷判别法的形式差不多

也是f乘以g

还是在从a到正无穷的这样一个无界区间上

去判定当然我们要求

plus infinity is the only singularity

其中这个正无穷呢是唯一的奇点

好的我们现在来判定它是否收敛呢

我们有两条这两条呢

和前面我们讲的狄利克雷判别法很像

我们下面呢

认真的把它们陈述出来

希望同学们呢一边看

一边和前面的狄利克雷判别法做一个比较

第一条

the improper integral from a to plus

infinity f(x)dx converges

也就是说从a到正无穷

f做广义积分呢收敛

这个条件呀

要比前面我们狄利克雷判别法中的

从a到B f(x)dx做普通的积分

一致有界呢这个条件要强一些

因此第一个条件

在阿贝尔判别法中变得更强了

第二个条件

as x approximates plus infinity

g(x) is monotonically approaching some number G

当x趋近于正无穷的时候

g(x) 它有极限这个极限是某一个数

也就是我们现在大写的G

而且呢它是 monotonically approaching

也就是单调趋近于

注意我们前面讲狄利克雷判别法的时候

要求的第二个条件是g 是

monotonically approaching 0

这里的条件呢稍微弱一些

只要趋近于某一个数 G 就行了

换言之

g(x) is monotonically increasing or monotonically

decreasing on the interval from A to infinity

for some A and the limit as x approximates

plus infinity g(x) equals to G

同学们可能已经看出来 1和2呢

和原来的这个狄利克雷判别法呢

的确是非常的像

只不过一个稍微强了一些

一个稍微弱了一些

好的它的结论是一样的

then the integral from a to plus infinity

f(x) times g(x) is convergent

结论就是说

如果1 2 都满足

则这种类型的广义积分就是收敛的

好的我们来看一个具体例子吧

请看 Example 2.4

show that the integral from 2 to plus infinity

sin x over x times cos one over x dx

is convergent

我们要研究一下这样一个广义积分

说明它为什么收敛

其实啊我们可以观察出来

首先呢它就已经是f乘以g形式的

广义积分了

那么我们来看一看

f和g分别满足什么条件

其实呢

我希望同学们呢

自己去研究一下

sin x除x会满足什么条件

cos 1除以x会满足什么条件

总之呢套用一下我们刚才

所讲的阿贝尔判别法

同学们就自己很容易证明

这样一个广义积分呢的确是收敛的

so the proof of this fact is left to you

同学们以上就是这一讲

我们呢介绍了

在无法具体计算出积分的表达式的时候

如何判断广义积分收敛性的好几种方法

包括比较判别法

狄利克雷判别法阿贝尔判别法

这几种方法都非常的重要

希望同学们呢在课后

通过练习来熟练掌握

同学们已经体会到了

广义积分的收敛性啊

其实是一个非常复杂的问题

那么下一讲中呢

我们要为同学们介绍

两种不同的收敛性

广义积分的绝对收敛

与条件收敛

同学们一定要提前预习一下

好的我们下一个单元再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)在线视频