Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 3 Stokes’ theorem

斯托克斯定理

同学们前面我们学习了两个定理

分别是格林定理和高斯定理

现在呢我们学习一个与它们非常相仿的定理

叫做Stokes’ 定理

The Stokes’ theorem

also known as the Kelvin-Stokes’ theorem

or the curl theorem

is a theorem in vector calculus on E^3

这个Stokes定理啊

它也叫做Kelvin-Stokes定理

或者呢叫做旋度定理 curl theorem

旋度呢我们下一个单元去介绍

这个定理呢它是这样子的

It tells us that

given a vector field

the theorem relates the integral

of the curl of the vector field

and the line integral of the vector field

around the boundary of the surface

这个Stokes定理也叫旋度定理

它呢给出一组关系

一方面它是这个场的旋度

在这个某一个面上的积分

另一方面呢是这个场的某些量

沿着这个面的边缘去做线积分

这两者之间的关系

就是我们下面要讲的Stokes定理

好下面我们详细解释一下

首先我们需要 fix some assumptions

固定一些假设

因为这里面假设很长我们慢慢地解释一下

Let Σ be an oriented piecewise

smooth surface in E^3

The normal being n

我们首先呢还是取一个定向曲面

比如说它叫Σ 它的定向是n

它的特点是piecewise smooth surface

逐片光滑

好的 also Σ is bounded and closed

我们要求这个面它是一个闭集

也就是有界闭集 Σ

The border of Σ

这个Σ呢它还有它的边缘部分

它边缘呢

consists of one or finitely

many piecewise smooth curves

要求这个面的边缘呢

它是由一个

或者有限多个逐段光滑的曲线构成的

and it is denoted by partial Σ

也就是Σ的边缘用partial Σ来表达

但是注意啊这个partial Σ

和我们以前所定义的一个集合的边界呢

不是一个含义

not the usual topological boundary

好下面呢我们解释partial Σ

也就是Σ的边缘上的定向是怎样的

这里呢我们要用一个法则

这个法则就是右手法则

The orientation of partial Σ follows

the right hand rule

that is if your right hand curls around n

in the direction of partial Σ’s orientation

换言之啊如果我们把您的右手伸出来

让它呢沿着你所指定的partial Σ

它的方向去走的时候

第一步先指向partial Σ的方向

然后呢绕着法向n去做旋转

这个旋转呢就是指右手逆时针这个方向的旋转

如果这个时候你的这个thumb也就是大拇指

恰好还是指向原来这个n的话

我们说

我们一开始选定的partial Σ的定向是正确的

这就是所谓的右手法则

好我们这里呢用一幅图来解释一下

Here is the picture that illustrate the set up

请看在这幅图中

我们有一个空间的曲面Σ

Σ呢指定了一个定向n

当我们确定partial Σ定向的时候

用右手法则

也就是当右手的四个指头绕着n

作逆时针的方向的旋转的时候

他的大拇指恰好指向这个法向n

那么右手这个几个手指指定的方向

就确定的是我们partial Σ的方向

接下来我们继续假设

Assume that C^1-vector field

我们有这样一个C^1类的向量场F

它的三个分量是P Q R as usual

和以前一样

我们还是这样一个场F

is defined in an open neighborhood of Σ

因为Σ呢是我们前边说的一个闭集

我们现在呢要求这个场啊

不仅仅在这个闭集上有

而且在这个闭集的某一个开的邻域上有

也就是说在Σ周围的某一个开集上都定义好

而且它是连续可微的也就是C^1类的

好下面我们看一下定理 Stokes定理

它也叫Stokes公式

Maintaining the above assumptions

we have this formula

好的我们现在看一下这个Stokes公式

就是现在我们看到的屏幕上的这个公式

首先我们先写一下F这个场

沿着我们指定定向的partial Σ

也就是Σ边缘去做第二型线积分

那么按定义呢它就是Pdx Qdy Rdz

这么一个1形式

沿着partial Σ去做第二型线积分

结论是说它会等于这么一个量

这个量是这样写的

沿着Σ去做第二型面积分

而第二型面积分呢是一个2形式给出的

这个2形式我来念一下它是

partial R partial y

减去 partial Q partial z dy wedge dz

加上partial P partial z 减去

partial R partial x dz wedge dx

再加上 partial Q partial x 减去

partial P partial y dx wedge dy

这样一个2形式

可见当我们想求

沿着这些曲面的边缘去做一个特定的

第二型线积分的时候

我们可以把它转化到整个面上去求一个

第二型面积分

这就是Stokes定理的含义

好关于这个定理呢我们有另外一个注记

就是这个Stokes定理啊

可以有另外的形式来表达

比如这种形式

它就是说把P Q R这个场的关于partial Σ

上面的第二型线积分呢

给它写成这样一个行列式的面积分

这个行列式呢实际上

恰好就是我们刚才所写的那个2形式

只不过用行列式的形式呢比较容易记

第一行是dy wedge dz dz wedge dx dx wedge dy

三个标准的2形式基向量

然后呢

partial partial x partial partial y partial partial z

是三个求导的运算

最后放上P Q R

那么按照行列式的规则

我们计算一下它的结果

就是我们刚才所写的那个2形式

因此呢这种形式的Stokes定理呢

同学们也应该熟悉一下

同学们我们刚才介绍了Stokes定理的内容

我们说Stokes定理呢它也叫curl定理

就是旋度定理

那什么是旋度呢

我们有这样一个注记

For F equals (P,Q,R) 这样一个场

One defines its curl 旋度

by the following formula

旋度呢实际上就是说给定一个向量场F

由这个向量场F 再指定与它相关的一个场

就是旋度场

这个旋度场啊它记成c u r l curl F

或者呢 nabla 叉乘F

这呢都是旋度的符号

好它的定义是最后一个等号的右边

是这样一个场

第一个分量是偏R偏y减去偏Q偏z

第二个分量是偏P偏z减去偏R偏x

第三个分量是偏Q偏x减去偏P偏y

那么如果我们定义了旋度场这个公式的话

Stokes定理啊就可以重新写了

写成这样子也就是

partial Σ上头第二型线积分

等于在Σ上做F的旋度场的第二型面积分

所以啊这个Stokes定理呢

它也叫旋度定理

关于旋度呢我们下一个单元还会仔细介绍

同学们下面我们计算一个具体的例子

要应用Stokes定理

Example 3.4

A surface is given by this

假设某一个曲面S给定了它是这样的

就是这样的(x,y,z)

x y z呢都要大于等于零

而且加起来要等于1

这实际上是平面的某一部分

好了指定它的法向

Normal being a constant vector

n equals 1 over square root 3 (1,1,1)

因为啊这个曲面S啊它是平面的一部分

它的法向呢就是个常量

就是我们现在给出的根号3分之1 (1,1,1)

好了在这个曲面上

我们去求一个第二型的线积分

好它是 y平方 z平方 x平方

这是场也就是向量场

好它要点乘ds加一个箭头

这就表示第二型线积分

好要计算这个积分呢

我们必须要指定s定向

Where the orientation of partial S

follows the right hand rule

这个定向规则呢

就按我们前面所指定的这个右手法则来指定

好下面我们来计算这个第二型面积分

如果我们直接计算的话

需要取partial S的参数化

这过程呢比较复杂

下面我们用一种巧妙的方法请看

Below is the picture

首先我们把这个图画出来

这个图中灰色部分呢就是这个曲面

绿色表示它的定向n

然后呢边缘部分我们用红色标记出来

并指出了它的定向右手法则

那么下面我们来计算

According to Stokes’ formula

这里呢我们一定要用一下Stokes公式

这样的话会简单很多请看

原来这个y平方 z平方 x平方这么一个场

去做第二型线积分的时候

我们把它写成

y平方dx加上z平方dy加上x平方dz

好这是定义式

等于现在呢我们把它怎么做呢

同学们可能自己看出来了

用了Stokes公式

就是把里边的y平方dx z平方dy x平方dz

所对应的那个Stokes公式的右边呢代入

变成S上的某一个2形式的积分

这个2形式啊我们已经把它计算出来了

同学们一定要自己亲手算一下

为什么是这个2形式

好下面

这个2形式啊我们改写一下

变成普通的第二型面积分的定义式

也就是S上(z,x,y)这么一个场

去和面积微元dσ箭头去做点积

但是别忘了

这个dσ是什么东西呢

就是(1,1,1)乘以dσ

这是面积微元它是带方向的

所以呢我们直接按定义就变成

负的根号3分之2乘以这么一个积分

这个积分里边呢是(z,x,y)是第一个向量

第二个向量就是法向(1,1,1) 它是常向量

做内积然后再做第一型曲面积分

好那么它就变成了

负的2除以根号3乘以

S上x加y加z这么一个数量场做面积分

但是别忘了 x加y加z是一个常值就是1

于是呢它又变成了最后这个式子

这个时候呢

我们直接利用第一型面积分的含义

也就是它是曲面面积直接得到最后的结果

因为这个曲面呢它是一个三角形

它的面积是直接可以算出来的

所以最后结果等于-1

这样我们就简化了这个问题的计算

如果直接用参数方程的话会非常复杂

同学们不妨自己动手试一下

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

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Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

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Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

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--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

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-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

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--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

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--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

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Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

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--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

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-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

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-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

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-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

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--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

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--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

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--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

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-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

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--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

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--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

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Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

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--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

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--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

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--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

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--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

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--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

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Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

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--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

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-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

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-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

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--Exercise-5-7-2

--Test5

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