视频1-3 信号的基本运算在线视频

大家好

今天我们学习第1.3节,信号的基本运算

主要内容包括信号的加乘运算,信号的反转和平移运算

以及信号的尺度变换运算

首先讨论信号的加法和乘法运算

加法运算是指两个信号相加得到其和信号

这是一个新的信号

它在任意时刻的信号值等于这两个信号在该时刻的信号值之和

既f(.)=f1(.)+f2(.)

f(.)表示既可以是f (t)也可以是f (k)

对于连续信号f(t)=f1(t)+ f2(t)

如图所示

是在对应区间函数值的加减运算

对于离散信号或序列f(k)=f1(k)+ f2(k)

如图所示

是在对应样点处样值的加减运算

同理

乘法运算是指两个信号相乘得到其积信号

它在任意时刻的信号值等于

这两个信号在该时刻的信号值之积

对于连续信号f(t)=f1(t)×f2(t)

如图所示函数t与阶跃函数ε(t)相乘

得到信号f(t)= t×ε(t)记做r(t)

称为斜升信号是一个常用的基本信号

对于离散信号或序列f(k)=f1(k)×f2(k)

如图所示

注意

序列中样值为零的样点

其积信号对应样点处的样值必为零

下面讨论信号的反转和平移运算

将信号f (t)中的自变量t 换为 – t

或将序列f (k)中的自变量k换作– k

称为对原信号f(t或k)的反转或反折

其图形是将原信号的波形以纵坐标为轴左右对调

如图所示

由f (t)反转得到f (-t)的波形

以及由f (k)反转得到f (-k)的波形

平移也称移位

对于连续信号f (t)令实数 t0 >0

将 f (t) 中的自变量t换为t – t0

得到f (t – t0)的函数表达式,其波形是原信号f (t)的波形右移t0

同理

将 f (t) 中的自变量t换为t + t0

得到f (t + t0)的函数表达式

其波形是原信号f (t)的波形左移t0

如图所示

由f (t)右移一位得到f (t-1)的波形

由f (t)左移一位得到f (t+1)的波形

通常

右移信号也称为对原信号的迟延信号

左移信号也称为对原信号的超前信号

对于序列f (k)

令整数 k0 >0将 f (k) 中的自变量k 换为k – k0

得到移位序列f (k – k0)的表达式

其波形是原序列f (k )的波形右移k 0

同理

将 f (k ) 中的自变量k 换为k + k0

得到f (k + k0)的表达式

其波形是原序列f (k )的波形左移k0

如图所示由ε (k) 右移一位得到ε (k-1)的波形

由ε (k) 左移一位得到ε(k+1)的波形

原序列的右移序列也称迟延序列

左移序列也称为超前序列

如果将平移与反转相结合

就可以得到f (-t ± t0)或f (-k ± k0)的波形

例如

根据f (t)的波形画出 f (2 – t)的波形

有两种方法

方法一

是先对f (t) 进行平移得到 f (t +2)的波形

注意f (t)是先左移2位然后再反转

得到 f (– t +2) 即f (2 – t)的波形

方法二

是先反转 f (t) 得到 f (– t)的波形

然后再平移 f (– t) 得到 f (– t +2)的波形

注意由f (– t +2)= f [– (t – 2)]可知

此时应当对f (– t)右移2位得到结果波形

可见如果先反转再平移则移位方向和以前相反

这是因为信号运算时一切变换都是对t 而言的

信号的尺度变换又称横坐标展缩

从波形上说就是将信号在横轴上展宽或压缩

令a >0将 f (t)中的自变量t换为a t

得到f (t)的尺度变换 f (a t)

若a >1 则f (a t)的波形是f (t)沿横坐标压缩1/a

若0< a < 1则f (a t)的波形是f (t)沿横坐标展开1/a

如图所示

由f (t)压缩1/2得到f (2t)的波形

以及由f (t)展宽2倍得到f (0.5t)的波形

注意

除了冲激信号外信号的展缩不改变信号波形的幅度

f (at)的波形是f (t)的波形以原点为基准

沿横轴展宽或压缩的结果

此外若a < 0，则先将 f (t) 的波形反转得到 f (–t)

再将f (-t) 的波形压缩或展宽至 1/|a|

即可得到f (at)的波形

通过动画来观察一下信号的展缩过程

需要注意离散信号通常不做展缩运算

因为它常常会丢失或改变原信号的部分信息造成失真

如图所示

当f (k)压缩为f (2k)时丢失了原序列中k= ± 1处样点的信息

而当f (k)展宽为f (0.5k)时

需要增加新的样点k= ± 1和k= ± 3才能构成完整的序列

可见由于f (a k) 仅在a k 为整数时才有意义

因此序列的展缩运算结果不能看作原序列真正意义上的展宽或压缩

将信号的平移反转尺度变换相结合

可以实现信号的综合运算

如果要根据f (t)的波形得到f (a t-b)的波形

最佳顺序是先平移后反转(若a 小于 0)再尺度变换

举例来说

已知 f (t)波形如图画出 f (– 2t– 4)的波形

具体过程是

先将f (t)的波形右移4得f (t – 4)的波形

再将其压缩1/2得f (2t – 4)

最后反转得f (– 2t – 4)

注意也可以先压缩再平移最后反转

但运算始终对 t 进行

如图所示

将f (t)压缩1/2得到f (2t )的波形然后移位

注意运算始终对t进行

因此根据 f [2(t – 2)] = f (2t – 4)可知

需将f (2t )右移2位得到f (2t – 4)的波形

最后将f (2t – 4)的波形反转得到f (– 2t – 4)的波形

反综合运算是综合运算的逆过程

举例来说

已知 f (– 2t– 4)的波形要求画出f (t)的波形

假设由f (t)画 f (– 2t– 4)的波形时

是采用先右移4位再压缩1/2最后反转的方法顺序实现的

那么由f (– 2t– 4)画f (t)的波形就是其逆过程

如图所示

先将f (– 2t– 4)的波形反转

得到f (2t – 4)，再展宽2倍

得到f ( t– 4)，最后左移4位得到f (t)的波形

以上讨论的运算都是信号在时域的变换

有些运算如相加相乘延时等可以用电子器件来实现

另外还有一些运算如倒相数乘微积分等较为简单

这里不做详细说明

好本节内容就讲到这里

谢谢大家