视频 2-3 冲激响应和阶跃响应在线视频

大家好

前两节我们学习了经典解

LTI连续系统的微分方程

并从响应的角度学习了

零输入响应和零状态响应

如果输入激励

例如为门函数

它没有体现在教材41页的表2-2中

那么零状态响应感觉就求不出来

那怎么办呢

下一节的学习中

我们可以通过卷积法学习

部分解决提出的问题

但卷积法学习

需要先学习冲激响应h(t)

和阶跃响应g(t)

今天 我们来学习这一知识

逐次讲解冲激响应h(t)

阶跃响应g(t)以及它们之间的关系

首先学习冲激响应

根据定义

对于LTI连续系统而言

当初始状态为零时

输入为单位冲激函数δ(t)时

所引起的响应称为冲激响应

用h(t)表示

如图1所示

输入为冲激函数

响应为零状态响应

理解了定义

可以通过一个实例来说明

冲激响应及其物理作用

如图2

该电路是RL组成的简单串联电路

当电感原始储能为零

流过电感的电流iL(t)为

该电路系统的冲激响应

此时 电路的电压方程为

对该方程等号的两端在

零负到零正的微区间进行积分

等号左端第一项

由于iL(t)是有限的

在零负到零正的微区间积分为零

第二项的积分为

右端冲激函数的积分为1

又因为初始储能为零

故

这个电路

其冲激响应的物理意义是

电感电流在冲激信号的作用下

从零跃变到了1/L

当时间t≥0时

电路是一个特殊的零输入响应

由零输入响应求法

容易得到

由此可见

冲激响应虽然属于零状态响应

但却具备了零输入响应的形式

由于冲激函数及其各阶导数

仅在t=0处作用

而在t>0的区间恒为零

也就是说

激励信号的作用是在t=0的瞬间

给系统输入了若干能量

贮存在系统的各贮能元件中

而在t>0时

系统的激励为零

只有冲激引入的那些贮能在起作用

因而

系统的冲激响应由贮能唯一地确定

冲激响应的物理意义特别明显

在电路分析的应用中比较广泛

大家应该掌握它的求解方法

看例题2

系统方程为

求系统的冲激响应h(t)

根据冲激响应的定义

输入激励为冲激函数

响应y(t)为零状态响应yzs(t)

故方程转化为(1)式

大家注意

初始状态

当t>0时

方程变换为(2)式

是一个齐次方程

俩特征根一个是负1

另一个是负2

如(3)式所示

待定系数C1 C2由初始值

已知的是初始状态

h'(0-)和h(0-)等于0

而h(0+)和h'(0+)值是一致的

这时需要由零负求零正

比较简单

(1)式中方程等号左端h(t)

最高阶为二阶

等号右端只有一个冲激

且系数为1

对h''(t)积分得h'(t)

h'(t)中不含冲激

是连续的

在零负到零正微区间积分可得到

h(0+)=0

且系数为1

在零负到零正的微区间积分可得到

h'(0+)=1

t大于不等于0时

一阶导

令t=0

代入h(0+)=0

h'(0+)=1

则C1=1 C2=-1

所以该系统的冲激响应h(t)等于

由例2可知

当h(t)满足方程(4)式时

代入激励冲激函数

则冲激响应满足1-1式

由奇异函数系数平衡法

可推得响应各初始值为1-2式所示

1-2式表示只有n-1阶的

h(0+)值等于1

其它阶的初始值都为零

t大于不等于0+时

方程(4)式变成了齐次方程

求解变成了求h(t)的零输入响应

h(t)零输入响应中的待定系数

由1-2式的初始值确定

但如果h(t)满足的方程等号右端

不止激励一项

而是如1-3式所示

等号的右端含有激励及其各高阶导数

则利用LTI系统零状态响应的

线性性质和微分特性来求解

通常分两步走

第一步 选取新变量h1(t)

h1(t)满足方程1-4式

1-4式方程等号的右端只有

故h1(t)的求解方法和式1-1完全相同

第二步 根据LTI连续系统零状态响应的

特性性质和微分性质

即可求得1-3式的冲激响应为

1-5式所示的表达式

还是通过做例题来巩固吧

看例3

LTI连续系统方程为

求该系统的冲激响应h(t)

系统方程等号的右端含有

激励及其一阶导

故可根据1-3式的求解步骤求其h(t)

第一步

先求满足

冲激响应h1(t)

当t大于或等于零时

h1(t)满足的方程为齐次方程

特征根一个为负1

一个为负4

所以 可令

求得

令t=0

得到关于待定系数

C1和C2的二元一次方程组

求得

C1=1/3 C2=-1/3

又h1(t)是零状态响应

故h1(t)写成

h1(t)的一阶微分可以求得

求出了h1(t)和h1'(t)

再利用LTI系统零状态响应的

线性性质和微分性质

由系统方程等号右端的表达式可知

系统的冲激响应

代入h1(t)和h1'(t)的值

最后得到

当然也可以不设新变量

采用求零状态响应的方法

直接求解冲激响应

学会了冲激响应

阶跃响应就相对比较简单了

根据定义

阶跃响应是激励为单位阶跃函数、

系统的零状态响应

输入为阶跃函数

响应为零状态响应

阶跃响应的求解方法

和冲激响应的求解方法

步骤基本相同

如果阶跃响应满足的微分方程是

为简单的2-1式

由于方程等号右端不含冲激函数

及其高阶导数

故系统内部不会突变

j等于0、1、2到n-1时

再假设该方程的特征根为单实根

则阶跃响应g(t)等于齐次解加特解

如2-2式所示

如果描述LTI系统的微分方程

如复杂的1-3式

求解该系统的阶跃响应

仍然可利用LTI连续系统的

线性性质和微分性质来简化计算

把2-1式中的g(t)

看成新变量g1(t)

求出g1(t)和其各阶导数以后

1-3式的表达式

LTI系统的阶跃响应为

还是通过例题来巩固吧

看例4

系统方程为

求系统的阶跃响应g(t)

根据阶跃响应的定义

阶跃响应是系统激励为阶跃函数

零状态响应

因此阶跃响应满足2-3式

初始状态

由于方程等号右端是阶跃函数

不含冲激函数及其高阶导数

故系统的内部不会突变

再由特征方程

两个特征根

一个为-2 一个为-4

特解为1/8

因此t>0时

阶跃函数g(t)可以设为

在两表达式中

令t=0

代入解得

C1=-1/4 C2=1/8

又因为g(t)是零状态响应

最后系统的阶跃响应可以写为

g(t)可以写为

学习了冲激响应和阶跃响应

还得理解它们之间的关系

灵活求解

根据定义

冲激响应是激励为冲激函数时的

零状态响应

阶跃响应是激励为阶跃函数时的

零状态响应

而冲激函数的积分为阶跃函数

阶跃函数的微分为冲激函数

故冲激响应的积分为阶跃函数响应

阶跃响应的微分为冲激响应

在求解的过程中

大家觉得哪个简单就先求哪一个

求解后

由冲激响应求阶跃响应

再求个积分

由阶跃响应求冲激响应

求个微分

今天从冲激响应 阶跃响应

以及它们之间的关系三个方面

讲述了这一讲

今天就讲到这里

谢谢