视频 5-3 拉普拉斯变换基本性质Ⅰ在线视频

大家好

我们已经学习了拉普拉斯变换的

定义、收敛域

比较了单、双边拉普拉斯变换的异同

并且要求掌握常见信号的

拉普拉斯变换

在此基础之上

今天我们学习拉普拉斯变换的

基本性质Ⅰ

主要包括线性

尺度变换

时移特征和复频移特征

以及它们的组合应用

一、线性

若f1(t)的拉普拉斯变换为F1(s)

收敛域为

f2(t)的拉普拉斯变换为F2(s)

收敛域为

且有常数a1、a2

则线性性质（1）式成立

注意和函数之间

相函数的收敛域

至少为Re(s)大于

最大值

这是因为线性特征表现为

两函数相减时

其和函数之相函数的

收敛域有可能扩大

下面通过例题来体现

例

根据欧拉公式

之相函数为

之相函数为

所以根据线性性质

可得

拉普拉斯变换为

收敛域为Re[s]>0

同理

用欧拉公式展开

利用线性性质

可得其拉普拉斯变换为

收敛域为Re[s]>0

再看门函数

可以用阶跃及其移位函数表示为

之相函数为

之相函数为

利用线性性质

门函数gτ(t-τ/2)的拉普拉斯变换为

这里注意收敛域

之相函数的收敛域为Re[s]>0

之相函数的收敛域也为Re[s]>0

但门函数

是时限信号

其相函数的收敛域

为整个S域平面

所以讲线性性质时

和函数之相函数的收敛域是

至少为Re(s)大于

最大值

二 尺度变换

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

且有实常数a>0

则f(at)的拉普拉斯变换为

收敛域为

即(2)式成立

这里指出实常数a>0

是因为求的是单边拉普拉斯变换

而a<0时

f(at)的单边拉普拉斯变换

是没有意义的

看例题

如图

信号f(t)的相函数F(s)已知

求图中y(t)信号的相函数Y(s)

由图可知

y(t)和f(t)图形结构一样

y(t)的幅值是f(t)的4倍

其时域坐标扩展了两倍

也就是说

y(t)=4f(0.5t)

根据尺度变换和线性性质

则Y(s)等于4乘2倍F(2S)

即8F(2s)

把已知F(s)中所有的S用2S替代

同时乘以8

即可得Y(s)的表达式

如(3)式所示

三 时移特征

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

且有实常数t0>0

则时移信号

对应的拉普拉斯变换为

即(4)式成立

一定要注意应用时移特征时

(4)式中的时移信号指的是

而不是f(t-t0)

要注意它们之间的区别

如果f(t)是因果信号

则时移特征才是

f(t-t0)

之相函数为

例1 一共画出了5个图形

图1是

图2是图1信号f(t)的时移信号f(t-t0)

和图1相比

图2只是把图1的坐标原点0右移到t0

图3是图2的因果信号

和图2相比

图3只有t>0的部分

图4是图1的因果信号

相对于图1

图4也只有t>0的部分

图5是图4信号的时移信号

要应用时移公式

求函数的相函数

只能由图4信号之相函数

利用时移特征公式

求图5信号的相函数

通过比较这5个图形

大家一定要注意信号的起始点

注意应用时移特征的条件

计算看例题2

分别已知

拉普拉斯变换

求①②③④

四个信号的拉普拉斯变换

因为

所以①函数等于

其拉普拉斯变换可利用

通过其时移特征求出为

所以②函数等于

其拉普拉斯变换为

③函数为

其拉普拉斯变换可利用

时移特征求出

④函数即不能用

函数的时移特征

也不能利用

函数的时移特征

通过和差化积

化简成

再利用线性性质

可得到其拉普拉斯变换为

从求这4个函数的相函数可知

应用时移特征时

还是要强调

才能应用时移特征求其相函数

非因果信号

不能省略

而因果信号f(t)的时移信号

本身就是f(t-t0)

因此因果信号不再强调

例3 已知f1(t)是0到2范围内取值的

f2(t)是0到3范围内的

求它们的拉普拉斯变换

f1(t)去掉中括号

利用线性和时移特征

可得出其拉普拉斯变换为

注意结果中分子是

而f2(t)去掉中括号

利用线性和时移特征

得出其拉普拉斯变换为

注意结果中分子是

同学们一定要想清楚为什么啊

时移特性和线性特征结合

可用来求周期为T的单边周期信号

f(t)的拉普拉斯变换

设f1(t)是第一个周期函数

其拉普拉斯变换为F1(s)

则单边周期信号f(t)表示成(5)式

可以推出其拉普拉斯变换F(s)为(6)式

即单边周期信号的拉普拉斯变换

等于它第一个周期波形的

拉普拉斯变换F1(s) 乘以一个因子

例4

信号的相函数

例题4函数的时域图形如图所示

时域表示成(7)式

利用时移和线性性质

拉普拉斯变换为1

之相函数为

例5

单边周期信号f(t)如图所示

求f(t)的相函数

由图可知

单边周期函数中

第一个周期函数f1(t)是

即宽度为τ的脉冲

第一周期函数的相函数为

利用公式(6)

得出单边周期信号f(t)的

拉普拉斯变换F(s)如(8)式所得

时移特征不仅和线性特征结合

也和尺度变换相结合

综合尺度变换和时移特性指的是

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

则可求出

函数的相函数

即（9）式成立

若f(t)是因果信号

则(10)式成立

例 如图所示的因果信号f1(t)和f2(t)

已知f1(t)的相函数为 F1(s)

求f2(t的相函数F2(s)

大家请看图

由图可知

f2(t)函数为两个函数之和

一个函数是f1(t)的尺度变换函数

f1(0.5t)

另一个是f1(0.5t)函数的

负移位函数f1 [0.5(t-2)]函数

利用尺度变换特征可知

f1(0.5t) 函数的相函数为

2F1(2s)

利用尺度变换和时移特征可知

f1 [0.5(t-2)] 函数的相函数为

2F1(2s)e-2s

最后利用线性特征

得F2(s)等于2F1(2s)乘以(1 –e-2s)

若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)

收敛域为

且s0为复常数

则F(s)的平移函数

对应的原函数为

即（11）式成立

根据复频移特征

可得

的相函数是

即(12)式成立

同理可得

相函数为

如(13)式

具体化

可求得

的相函数为

的相函数为

性质的应用一般不是单一的

而是综合各种性质一起使用

综合尺度变换、时移特征

和复频移特征

再看例题

已知因果函数f(t)的象函数

函数的象函数

从原函数的表达式可知

原函数包含有时移

尺度变换和乘e的幂次方特点

解题不要着急

一般按照先求

原函数f(t)的相函数

再求移位函数f(t-t0)的相函数

再利用尺度变换特征

最后利用复频移特征

f(t)的相函数为F(s)

利用时移特征

则f(t-2)的相函数为

把F(s)的值代入可得结果（14）式

再综合尺度变换性质

求f(3t-2)的相函数

根据尺度变换和时移特征公式

(10)式可知

把f(t-2)的相函数

结果中的S用3分之S替代

同时乘以常数三分之一即可

化解成为(15)式

最后利用复频移特征

象函数

是把f(3t-2)相函数中的S

用S+1代替即可

即结果为(16)式

学习拉普拉斯变换的性质

灵活综合运用它们

才是我们学习的目的

今天讲解了线性

尺度变换

时移和复频移特征

同学们要掌握它们

为我们后面学习LTI系统的

复频域分析打好基础

今天就讲到这里

谢谢