视频4-2 周期信号的傅里叶级数在线视频

大家好今天我们来学习周期信号的傅里叶级数这一知识点

这里的周期信号指的是连续周期信号

主要从三角形式傅里叶级数信号的奇偶性与傅里叶系数

的关系和指数形式傅里叶级数三个方面进行介绍

根据信号正交分解的理论

一个函数f(t)在区间(t1 t2)上可分解为无穷多项正交函数之和

这里的区间我们取为

这里的信号f(t)表示周期信号它的周期为T角频率Ω=2π/T

f(t)需要满足狄里赫利条件

第一函数在任意有限区间内连续或只有有限个第一类间断点

第二函数在一个周期内只有有限个极值点

实际中的周期信号一般都满足狄里赫利条件

后面不再重复强调

这里的正交函数集取为三角函数集

包括各频率余弦项和各频率正弦项

这是一个完备正交函数集

那么根据信号正交分解的理论

f(t)可以表示为各频率余弦信号和各频率正弦信号的线性组合

将系数分为两类

余弦项的系数用an表示正弦项的系数用bn表示

将上面的分解形式简洁表示为（1）式的形式

为了统一系数an的计算公式将常数项写为a0/2

这就是三角形式的傅里叶级数

利用信号正交分解的相关结论

可以得到系数an和bn的计算公式如（2）式和（3）式所示

而且an是关于n的偶函数bn是关于n的奇函数

将频率相同的余弦项和正弦项合并以后

又可以表示成这种形式

第一项为常数项A0/2表示直流分量

第二项的角频率和原周期信号的角频率相同

称为基波或一次谐波分量

第三项的角频率是基波角频率的二倍

所以称为二次谐波分量后面为三次、四次n次谐波分量等等

用求和符号表示成简洁的形式

如（4）式所示

（4）式和刚才（1）式表示形式系数之间的关系如（5）式和（6）式所示

而且谐波幅度An是关于n的偶函数

相位ϕn是关于n的奇函数

（4）式表明周期信号可以分解为直流分量和各次谐波分量之和

这么多的数学公式有什么用呢

数学只是工具解决实际问题才是我们的目的

我们就以方波信号这一典型的周期信号为例进行分析

将如图1所示的方波信号展开为傅里叶级数

首先计算系数an

由图1看出f(t)在（-T/2 0）取值为-1(0 T/2)区间上取值为1

所以分成两段进行积分

cos积分为sin

代入积分区间结果求得系数an=0

再来计算系数bn同样分成两段进行积分

将f(t)的值代入计算公式sin积分为-cos

求得bn=2/nπ [1-cos( nπ)]

具体取值和n的奇偶有关

当n为偶数的时候bn=0当n为奇数的时候bn=4/npai

将求得的系数带入f(t)展开式中

系数an为零bn在n为奇数时等于4/npai

f(t)的展开式中常数项和余弦项都为0

只剩下了各次正弦项表示为（7）式的形式

看到它只含有1 3 5等奇次谐波分量

从方波信号的波形来看它有棱有角还有间断点

而正弦信号的波形是连续光滑的曲线

（7）式表明可以用各次正弦信号来合成方波信号真的可以吗

我们通过MATLAB来观察一下这个过程

傅里叶级数是周期信号分解和表示的有力工具

一方面对于方波这样具有间断点的信号在实际中是无法产生的

傅里叶级数为我们提供了一个思路

可以通过三角函数的叠加来合成具有间断点的信号

另一方面虽然各种各样的周期信号具有不同的特点

但实质上都可以用正弦余弦信号的线性组合进行表示

简化了信号的表示和分析

再回到图1

观察到方波信号f(t)的波形关于原点对称是一个奇函数

其傅里叶系数an=0

这一结论是否具有一般性适用于所有的奇函数我们来进行分析

当f(t)为偶函数信号的波形关于纵轴对称

根据bn的计算公式此时f(t)为偶函数 sin(nΩt)为奇函数

奇偶相乘为奇函数而奇函数在对称区间积分为0即bn=0

根据an的计算公式f(t)为偶函数cos( nΩt)为偶函数

偶偶相乘仍为偶函数

而偶函数在对称区间积分等于2倍的一半区间上的积分

可见当f(t)为偶函数时傅里叶级数中不含正弦项只含直流项和余弦项

类似的

当f(t)为奇函数信号的波形关于原点对称

根据an的计算公式f(t)为奇函数cos( nΩt)为偶函数

奇偶相乘为奇函数在对称区间积分为0即an=0

再根据bn的计算公式f(t)为奇函数

sin(nΩt) 为奇函数奇奇相乘为偶函数

在对称区间积分等于2倍的一半区间上的积分

可见当f(t)为奇函数时傅里叶级数中只含正弦项

当f(t)为奇谐函数

将信号向左或向右平移半个周期后的波形和原信号的波形关于横轴对称

此时展开式中偶次项系数都为零傅里叶级数只含奇次谐波分量

当f(t)为偶谐函数将信号向左或向右平移半个周期后和原信号相同

此时展开式中奇次项系数都为零傅里叶级数只含偶次谐波分量

三角形式的傅里叶级数含义比较明确

但运算复杂因而经常采用指数形式的傅里叶级数

利用欧拉公式可以从三角形式

傅里叶级数推导出指数形式的傅里叶级数

将三角形式傅立叶级数展开中的余弦函数

利用欧拉公式写为指数函数的形式

将这两项分开表示其中第三项n用-n来进行代换

An是关于n的偶函数A-n还等于Ann是关于n的奇函数

所以第三项就表示成了这样的形式

那么将这三项可以合并在一起进行新的表示

令观察到这是一个复系数可以表示成

所以指数形式的傅里叶级数展开就得到了

利用欧拉公式将指数函数表示成三角函数的形式

发现这里

利用an和bn的计算公式进一步结合欧拉公式

得到了Fn的计算公式如(10)式所示

这就是指数形式的傅里叶级数和傅里叶系数的计算公式

本讲主要介绍了周期信号的傅里叶级数展开

包括三角形式和指数形式两种展开形式

如表中所示

总结出了三角形式和指数形式傅里叶级数展开式的形式

系数的计算公式以及两种展开式系数之间的关系

好本节内容就讲到这里

谢谢大家