视频4-1 引言&信号的正交分解在线视频

大家好

从今天开始我们将进入

“信号与系统”一个新的世界

连续信号与系统的频域分析

在前面

我们已经学习过了

LTI连续系统的时域分析

解决了连续信号通过

线性时不变连续系统时

信号表示

系统表示和系统分析一系列的问题

在时域里

一个连续信号可以表示为不同强度

不同位置冲激函数的线性组合

一个LTI连续系统可以用线性

常系数微分方程进行表示

也可以用冲激响应来描述

LTI连续系统在时域的特性

在时域里

系统的响应可以表示为

激励和冲激响应的卷积

表征出了激励、系统和响应

三者之间的关系

既然在时域已经解决了

连续信号与系统分析的问题

为什么还要引入连续信号

和系统的频域分析呢

我们来看下面这几个例子

问题1 如何从时域波形区分

男声、女声和童声

先听一下男性的语音信号

连续系统的频域分析

再听一下女性的语音信号

连续系统的频域分析

最后再来听儿童的语音信号

连续系统的频域分析

我们可以很明显的听出

这三个语音信号之间的区别

但是从信号的波形上来看

却很难区别出这三个波形

属于哪一种信号

问题2 如何滤除信号的噪声

这是原始信号

大家好

这是含噪信号

大家好

从时域波形上看

信号已经完全淹没在噪声中

我们该如何滤除信号的噪声呢

问题3 如何分离多路复合信号

这是三路抑制载波调幅信号

所构成复合信号的波形

从波形上来看

这三路信号已经完全混叠在了一起

该如何将这三路信号分离开呢

从上面这几个例子可以看出

在时域里并不能完全表征出

信号的所有特征

系统的时域分析还存在

一定的局限性

所以我们有必要来研究

信号与系统的频域分析

LTI连续系统的频域分析

仍然包括三个方面的内容

信号表示、系统表示和系统分析

信号表示包括傅里叶级数

傅里叶变换和信号的频谱相关概念

LTI连续系统可以通过频率响应

表示系统的频域特性

系统分析包括频域分析、无失真传输

理想低通和取样定理等内容

概括起来说

第四章的主要内容就是通过

傅里叶变换将信号从时域

变换到频域进行表示和分析

并进一步在频域研究

LTI连续系统的特性

首先介绍信号分解为正交函数这一问题

这是周期信号进行傅里叶

级数展开的理论基础

它的原理来自于矢量分解为正交矢量

一个二维平面的任意矢量V

可以分别向水平方向

和竖直方向做投影

得到其两个分量

如果水平方向的单位矢量用V1表示

竖直方向的单位矢量用V2表示

那么在二维平面中的任意矢量V

就可以表示为C1V1+C2V2

不同二维矢量进行这样的表示

形式是相同的

只是系数C1、C2具体取值不同

三维空间的任意矢量V

可以向三个正交方向做投影

如果这三个方向的单位矢量

分别用V1、V2和V3表示

在三维空间中的任意矢量V

就可以表示为C1V1+C2V2+C3V3

不同三维矢量都可以表示成这种形式

区别也只是系数C1、C2、C3的

具体取值不同

推广到N维空间

只要能够找到N个基本的正交矢量

那么N维空间的一个任意函数

都可以表示成这些基本

正交矢量的线性组合

区别只在于它们的系数取值不同而已

将这一结论也可以推广到信号空间

信号在空间传输时

也是有方向和大小的

也可以看作是一个矢量

借助于矢量分解为

正交矢量的基本原理

我们可以将信号进行正交分解

什么是正交

若有定义在区间（t1,t2）上的两个函数

满足（1）式

在区间（t1,t2）上正交

从几何上来看

正交函数是互相垂直的

如果一个函数集

满足方程（2）

也就是说

在这个函数集内任意两个函数

都是互相正交的

就把这个函数集叫做正交函数集

在正交函数集之外不存在

满足（3）式这样的一个函数

那么就称这个函数集为

完备正交函数集

这里“完备”的意思

可以理解为完全、完整

全部包括在内的

从（3）式来看

不存在这样的一个函数

也就是说

所有正交的函数都完全

包括在这个函数集之内了

它就是一个完备正交函数集

三角函数集在区间

组成一个完备的正交函数集

从（4）式到（6）式可以看出

其中任意两个函数互相之间

都是正交的

将矢量分解为正交矢量这一理论

推广到信号空间

可以将信号分解为正交函数

用区间

来近似表示任意函数f(t)

如（7）式所示

这里的项数n没有确定

系数取值也没有确定

那么 如何来选择系数使这样的

表示得到最佳近似呢

我们要用到的是最小均方误差准则

即 使（8）式所定义的均方误差

达到最小值

为了使均方误差最小

需要求得系数

那么按照极值定理

使均方误差对系数Ci求偏导等于零

（8）式中1/(t2-t1)

是不等于零的常数

求偏导时可以不用考虑

将中括号平方项展开得到三项

因为不含有系数Ci

所以求偏导为零

第二项

求和中不含有Ci的项

对Ci求偏导也都为零

所以只剩下了

第三项求和的平方展开式中

包括各项平方

以及两两相乘项

这里选取的函数集是正交的

所以两两相乘项积分后为零

各平方项中不含有的Ci的那些项

对Ci求偏导都为零

所以只剩下了

交换微分与积分次序

得到下面这个式子

进一步求得系数Ci如（9）式所示

其中Ki可以表示为（10）式

这就是满足最小均方误差条件下

（7）式中各系数Ci的表达式

此时f(t)能得到有限项表示的最佳近似

将（9）式所求得的系数代入

均方误差定义式

平方项展开得到三项

考虑到

进一步得到均方误差

表示为（11）式

利用（11）式可直接求得

在给定项数n的条件下

最小均方误差

由均方误差的定义可见

由于函数平方后再积分

均方误差不可能为负

由(11)式可见

在用正交函数去逼近f(t)时

取的项数越多

即n越大

均方误差越小

当n趋于无穷大时

均方误差等于0

则有（12）式

称为帕斯瓦尔方程

说明信号在区间（t1,t2）的总能量

等于完备正交函数集中

各正交分量的能量之和

这样

（7）式就可以写为（13）式的形式了

即函数f(t)在区间(t1,t2)可分解为

无穷多项正交函数之和

本讲主要介绍了信号的

正交分解相关内容

得到两个结论

第一 函数f(t)在区间(t1,t2)可分解为

无穷多项正交函数之和

第二 信号在区间(t1,t2)的总能量等于

完备正交函数集中各正交分量的

能量之和

也就是帕斯卡尔方程

信号的正交分解是周期信号

进行傅里叶级数展开的

重要理论基础

本节内容就讲到这里

谢谢大家