视频2-5 卷积积分性质在线视频

大家好

我们上一讲学习了卷积积分

通过卷积定义和其图示法

可以求解LTI系统中任意信号的

零状态响应

但定义计算和图示法都比较繁琐

而卷积积分这一数学运算

它有许多重要的性质

灵活运用它们能简化卷积运算

方便求解系统的零状态响应

今天 我们来学习卷积积分的性质

主要从三个方面来讲述

一是卷积的代数运算

二是函数与奇异函数的卷积

三是卷积的微分和积分

大家注意

这讲有个前提

即涉及到的卷积积分是收敛的

也就是说

卷积积分首先是存在的

卷积的代数运算满足乘法三律

交换律、结合律和分配律

先看交换律

交换律是指

也就是说

卷积时两函数可以交换次序

交换律的证明只要根据定义

做个变量代换就可以完成

根据卷积积分定义

交换律的几何意义是

对任意时刻t

乘积函数f1(τ)乘f2(t-τ)

曲线下的面积与

f2(τ)乘f1(t-τ)

曲线下的面积是一致的

分配律是指

其证明可以根据卷积定义直接导出

主要看其物理意义

其物理意义可以从两个方面来理解

一是 假如f1(t)是系统冲激响应h(t)

f2(t)和f3(t)是激励

那么分配律看成(1)式

表明几个输入信号之和的零状态响应

等于每个激励单独作用在系统上时的

零状态响应之和

二是 假如f1(t)是激励

而f2(t)+f3(t)是系统的冲激响应h(t)

那么分配律看作(2)式

(2)式表明

激励作用于冲激响应为h(t)的系统

产生的零状态响应等于激励

分别作用于冲激响应为

两个子系统相并联所产生的

零状态响应

如图1所示

结合律是指

其成立的条件是必须同时满足

函数两两卷积都存在

结合律的物理意义是

如果有冲激响应分别为

两个系统相级联

其零状态响应等于一个冲激响应为

系统的零状态响应

在计算时

交换律分配律结合律

可以灵活结合使用

学习信号与系统的基本思想之一

就是把信号简化成基本单元信号

计算卷积积分也一样

卷积积分中最简单的情况是

两个函数之一是冲激函数

利用冲激函数的取样性

和卷积运算的交换律

可得

这说明某函数与冲激函数的卷积

就是函数本身

这刚好诠释了

在讲述冲激响应时

把复杂信号分解为一系列

冲激函数之和的结论

这个性质也可以推广

说明

某函数与延时冲激函数的卷积

等于该函数的延时函数

说明

延时函数与延时冲激函数的卷积

等于该延时函数再延时

这说明

两延时冲激函数的卷积等于

延时冲激函数再延时

说明

某函数与冲激偶函数的卷积

等于该函数的微分

说明

某函数与阶跃函数的积分

等于该函数的积分

说明

某函数与冲激函数的k阶导函数卷积时

等于该函数的k阶导数

说明

某函数与延时冲激函数的

k阶导函数卷积等于

该延时函数的k阶导数

另外还有一个特别重要的结论

则(3)式成立

(3)式表明

如激励f1(t)作用于冲激响应的

冲激响应h(t)=f2(t)的系统之零状态响应为

yzs(t)=f(t)

那么

延时为t1的激励

作用在冲激响应延时为t2的系统上

与延时为t2的激励作用在

冲激响应延时为t1的系统上

其零状态响应是相同的

零状态响应的延时为t1+t2

下面通过例题

加深性质的运用

例1 已知输入f(t)、 h(t)如图

求f(t)*h(t)

根据函数与延时冲激函数的卷积

等于函数的延时可知

f(t)*h(t)如解图所示

0到1有取值的门函数移到了

h(t)函数的两个冲激所在的位置处

再来看例题2

时间函数f(t)与单位冲激函数

如图所示

并画出其波形

注意 τ

解 根据卷积运算的分配律

和函数与延时冲激函数卷积运算的结论

可得(4)式

画出(4)式的图形如图所示

通过该例题

可以得到一个周期函数的表示方法

一个周期函数可以表示为

其负二分之t

到二分之t区间的截短函数

与周期为T的周期性单位冲激函数

序列之卷积

或者说提供了一个求周期函数的方法

即利用卷积的重现性质

可以通过卷积运算产生周期信号

卷积代数运算的规则

与普通乘法类似

但卷积的微积分运算

与普通函数乘积的微积分运算不同

的前提下

1 卷积的微分性是指

2 卷积的积分性是

的前提下

当俩函数比较复杂

其卷积不好计算时

可以一个函数求微分

另一个函数求积分

再进行卷积运算

4 推广到应用上

激励f(t)作用在冲激响应为

h(t)的系统上

产生的零状态响应为yzs(t)

因yzs(t)可以表示成(5)式

其中i为整数

取正整数时表示导数的阶数

取负整数时为积分的次数

系统的零状态响应还可以

进一步推广为表示成(6)式

其中i、j为整数

当i，j和i+j为正整数时

表示导数的阶数

为负整数时

表示求重积分的次数

特殊情况是

当i等于1

j等于负1时

yzs(t)等于f(t)的微分

卷积h(t)的积分

或者等于

yzs(t)等于f(t)的微分

卷积h(t)的积分

等于f(t)的微分

卷积g(t)

等于

即(7)式

称为杜阿密尔积分

杜阿密尔积分表示

LTI系统的零状态响应

等于激励的导数f'(t)与系统的

阶跃响应g(t)的卷积积分

其物理意义是

把激励f(t)分解成一系列接入时刻不同

幅值不同的阶跃函数

在时刻τ为

根据LTI系统的零状态响应

线性和时不变性

在激励f(t)作用下

系统的零状态响应等于

相应的一系列阶跃响应的积分

下面还是通过例题来说明

f1(t) 是如图所示的门函数

求f1(t)* f2(t)

解法一 可以利用微积分性质求解

f1(t)* f2(t) 等于f1(t)的

微分卷积f2(t)的积分

由f1(t)的图可知

f1(t)的微分等于

即在t=0和t=2上的

强度为1的冲击

f2(t)的积分等于

即(8)式

所以算出f1(t)* f2(t)等于

也可以采用解法2

f2(t)的积分等于

f1(t)* f2(t)等于

又因为

等于函数 f2(t)的积分

等于函数f2(t-2)的积分

把f2(t)的积分和f2(t-2)的

积分结果代入

得f1(t)* f2(t)等于

与(9)式的结果是相同的

通过上一讲的卷积积分和今天所讲的

卷积积分性质可知

求解卷积的方法可归纳为

（1）利用定义式

直接进行积分

采用定义式直接进行积分时

一定要注意自变量τ和参变量t

积分区间是对自变量τ而言的

从负无穷积到正无穷

但积分的结果是定值或者是t的函数

这种方法对于容易求

积分的函数比较有效

如指数函数

多项式函数等等

（2）图示法

图示法特别适用于求

某时刻点上的卷积值

按照换元、反转、平移、相乘

积分的步骤进行

关键点在于积分时

积分上下限的确定

要根据取值t的区间进行讨论分析

（3）利用性质

利用性质计算比较灵活

关键是性质的掌握和利用

明确性质的物理意义

卷积积分的计算没有单一的方法

三者常常结合起来使用

学习卷积积分

是为在时域分析具体应用而准备的

利用卷积积分求解系统全响应

其步骤为

（1）分析具体应用

比如已知激励求解具体电路的

输出响应

应该先根据电路原理

建立系统的微分方程

（2）根据建立的微分方程

写出其特征方程

求出特征根

根据特征根形式写出

带待定系数的零输入响应yzi (t)

（3）根据建立的系统微分方程

求出系统的冲激响应h (t)

再利用激励f(t)与

冲激响应h(t)的卷积

求出系统的零状态响应 yzs (t)

（4）求全响应y(t)

全响应y (t)=yzi (t) + yzs (t)

因为yzi (t)是带待定系数的

所以此时的全响应

也是带待定系数的

还要由系统的初始值 零正值确定

全响应中的待定系数

最后求出全响应

初学卷积积分大家可能觉得有点难

性质又多

不容易掌握

但大家只要在理解的基础上

多做

定可以做到得心应手

今天就讲到这里

谢谢