视频4-10 无失真传输与低通滤波在线视频

大家好

本讲介绍无失真传输

和理想低通滤波器相关内容

系统对信号的作用大体可分为两类

一类是信号的传输

一类是滤波

在信号传输中

我们当然希望接收到的信号

和发送信号是一样的

没有信息的丢失和失真

但在信号的实际传输中

难免会受到噪声的干扰

需要对信号进行滤波

滤波要求滤除或削弱信号中

不需要的成分

必然伴随着失真

本讲首先介绍无失真传输的相关内容

包括无失真传输的定义

无失真传输系统

时域特性和频域特性

再对滤波器以理想低通滤波器为例

说明其特性

信号在传输中需要花费时间

因而输出会滞后于输入

随着传输距离的增加

信号幅度会有所衰减

所以输出相比输入

会有幅度大小的改变

但是在传输过程中不能改变

原输入信号的信息

因而波形的形状不能发生变化

无失真传输的定义就是指

系统的输出信号与输入信号相比

只有幅度的大小和出现时间的先后不同

而没有波形上的变化

系统输入为f(t)

则输出y(t)=Kf(t-td)

什么样的系统才能够对信号

进行无失真传输呢

接下来我们研究无失真传输系统的特性

根据定义

输入取为

则无失真传输系统的冲激响应

波形如图1所示

冲激响应是在td处

强度为K的冲激

对无失真传输的定义式取傅里叶变换

利用时移特性

得到响应和激励在频域的关系

输出频谱比上输入频谱得到频率响应

即幅频特性

相频特性

如图2所示

在整个频带内

系统的幅频特性

为一条直线

使输入信号的所有分量都能通过

幅度都乘上相同的系数

相频特性是一条通过原点的斜线

是线性的

使响应中各频率分量与激励中

各对应分量滞后同样的时间

（1）式是无失真传输的理想条件

在传输有限带宽的信号时

只要在信号占有频带范围内

系统的幅频为常数

相频为通过原点的直线即可

我们看下面这个例子

系统的的幅频特性和相频特性

如图3所示

下列信号通过该系统

不产生失真的是哪一项

观察图3中系统的幅频特性

在|w|<10频率范围内为常数

相频特性在|w|<5范围内

为通过原点的直线

综合起来

该系统对|w|<5频率范围内的信号

可以无失真传输

余弦信号cos(w0t)的频谱

是在正负w0处的冲激

对于A选项

信号频谱位于

正弦信号sin(w0t)的频谱也是在

正负w0处的冲激

对于B选项

信号频谱位于

对于C选项

sin(2t)sin(4t)

按照积化和差

信号的频率位于

对于D选项

cos2(4t)按照倍角公式

等于[cos(8t)+1]/2

信号频谱位于

可见 只有B选项中的信号频谱

位于|w|<5频率范围内

所以B选项通过该系统不产生失真

滤波器就是使一部分

频率范围的信号通过

而对另一部分信号进行抑制的系统

根据系统的选频特性

一般可以分为以下几种

低通滤波器

使低于截止频率的信号分量通过

高于截止频率的

信号分量不能通过

高通滤波器

使高于截止频率的信号分量通过

低于截止频率的信号分量不能通过

带通滤波器

使两个截止频率之间的信号分量通过

其他频率信号分量不能通过

带阻滤波器

使两个截止频率之间的

信号分量不得通过

而其他频率信号分量可以通过

我们主要分析理想低通滤波器

如图4所示

理想低通滤波器

信号能无衰减的通过

所有频率分量

则完全抑制

称为理想低通滤波器的截止频率

其相频特性和无失真传输系统一样

是通过原点的一条直线

理想低通滤波器的频率响应

可以表示为（2-a）式或（2-b）式

理想低通滤波器的的冲激响应

可以对其频率响应

取傅里叶逆变换求得

利用对称性

利用傅里叶变换的线性性质

时域和频域同除以2pai

再利用时移特性

得到理想低通滤波器的冲激响应h(t)

理想低通滤波器的冲激响应

波形如图5所示

看到

输出h(t)失真严重

是一个抽样函数

中心在td处

最大值为wc/pai

h(t)的有效持续时间

也就是主瓣宽度

为2pai/wc

和滤波器的截止频率成反比

在t<0时

h(t)≠0

说明理想低通滤波器是非因果的

物理不可实现系统

我们再来分析理想低通

滤波器的阶跃响应

阶跃响应是冲激响应的积分

如（4）式所示

是正弦积分

画出阶跃响应的波形如图6所示

输出g(t)失真严重

从极小值上升到极大值所经历的时间

tr=2pai/wc

和系统的截止频率（频带）成反比

这一参数在设计实际滤波器时

也具有重要意义

在t<0时

g(t)≠0

再次说明理想低通滤波器

是非因果的物理不可实现系统

看到g(t)间断点附近出现了振荡

振荡的最大峰值约为

阶跃突变值的9%左右

且不随滤波器带宽的增加而减小

即存在吉布斯现象

由以上的分析看到

理想低通滤波器是非因果

物理不可实现系统

那么 物理可实现系统

需要满足什么条件呢

要求系统的时域特性

在t<0时

h(t)=0

即满足因果条件

要求频域特性

满足

这也称作佩利-维纳准则

实际模拟低通滤波器的

幅频特性如图7所示

和理想低通滤波器相比

实际低通滤波器在通带和阻带内

会有一定的波动

在通带和阻带之间有过渡带

滤波器的通带和阻带的波动越小

过渡带越窄

即越接近理想低通滤波器的特性

滤波器的性能越好

所以研究理想低通滤波器的目的

就是为设计实际低通滤波器

提供一个参考

尽管它不可能实现

但为我们提供了一个标准

滤波器的设计方法在

“数字信号处理”课程中将详细介绍

如图8所示

用RLC电路实现一个低通滤波器

求得该系统的频率响应

如（5）式所示

画出幅频特性和相频特性如图

具有低通的特性

该系统的冲激响应波形如图

这是一个因果信号

说明该系统是因果物理可实现的

本讲主要介绍了无失真传输系统

和理想低通滤波器的相关概念

无失真传输系统的幅频特性

是一条直线

相频特性是通过原点的斜线

斜率为-td

理想低通滤波器的幅频特性

是门宽为2wc的门函数

wc是滤波器的截止频率

相频特性也是通过原点的一条斜线

研究无失真传输和理想低通滤波器

为后续系统的设计提供了标准

本讲内容就到这里

谢谢大家