视频 2-2 LTI连续系统的响应在线视频

大家好

上节我们从时域分析的角度学习了

LTI连续系统微分方程的经典解

这一知识点

系统的全解为齐次解和特解之和

但动态系统的响应不仅取决于

系统的激励

而且与系统的初始状态有关

可以把初始状态看成是

系统的一种特殊激励

这样系统的响应就取决于

这一特殊激励和输入信号

根据系统的线性

系统的响应为这两种激励

引起的响应之和

一种是输入为零时

仅由初始状态引起的零输入响应

另一种是初始状态为零时

仅由输入信号引起的零状态响应

今天我们来学习这一知识

零输入响应根据定义可知

是输入激励f(t)=0时

仅由初始状态

所引起的响应

便于记忆

取zero input的首字母做下标

表示成

满足什么方程

怎么求解

在零输入条件下

描述LTI连续系统的

常系数线性微分方程

其等号右端为零

方程化为齐次方程

外部激励为零

不影响内部参数

而时不变系统内部参数

又不随时间变化

故零输入响应的初始值满足

它的各阶高阶导数同时也满足

即零输入响应的初始值

等于系统的初始状态值

可见求零输入响应

变成了已知初始值解齐次方程

这相对来说比较简单

由系统微分方程可得特征方程

由特征方程求出特征根

由特征根对应写出带

待定系数的解的形式

这时要注意

不同的特征根对应的齐次解的

形式是不一样的

最后由初始值确定待定系数

从而解得零输入响应

简单的情况是

假设特征根均为单实根

则零状态响应为

由于零输入响应没有受激励影响

系统内部状态不会发生突变

故待定常数

下面举例说明

已知系统方程为

系统的初始值

求系统的零输入响应

根据题意可知

该系统的零输入响应满足方程

及零输入初始值为(2)式

系统微分方程化成齐次微分方程

要注意方程中响应的下标

初始值

由微分方程很容易求出其特征方程为

两个根一个为负1

一个为负4

故零输入响应为

其中一阶导数

t=0

把零输入响应的初始值

得到关于待定系数

Czi1 Czi2的二元一次方程组

两个方程两个待定系数

求解可得

Czi1=3 Czi2=-2

故系统的零状态响应为

这时 t≥0

此例的特征根为单实根

如果方程的特征根为重实根

单共轭复根、重共轭复根的形式

则零输入响应对应不同的表达形式

请参考教材41页的表2-1

学习了零输入响应

再来学习零状态响应

零状态响应是系统的初始状态为零时

仅由输入信号f(t)引起的响应

用下标zs标注

表示为

根据定义

零状态响应满足的方程是齐次的

初始值

求解零状态响应

就是在已知的初始状态下

求微分齐次方程

微分齐次方程的解为齐次解加特解

特征根为单根情况下

齐次解为带待定系数的e的根幂次方

待定系数由零状态响应的

初始值待定

零状态响应的初始值

是否等于初始状态

取决于零状态响应所满足的

齐次微分方程的等号右端

如果方程等号右端不含冲激函数

及其高阶导数

则系统内部不发生跃变

零状态响应的初始值等于

其初始状态值等于零

如果方程等号的右端含有冲激函数

或者其高阶导数

则零状态响应的初始值

不等于初始状态

这时要解决一个由0-求0+值的问题

求出齐次解和特解以后

最后才能由零状态响应的初始值

确定全解中的待定系数

从而求得零状态响应的全响应

若微分方程的特征根均为单实根

则零状态响应为

式中的Czsj为待定常数

yp(t)为方程(3)的特解

待定常数Czsj由零状态响应的初始值

注意是零正值而不是初始状态零负值

下面举例说明

系统的方程仍为例1的方程

系统的输入

求系统的零状态响应yzs(t)

首先把输入信号

代入微分方程中

写出零状态响应满足的

表达式和初始状态

如（4）式

零状态响应满足的方程为

其初始状态为

由方程（4）式可知

方程等号右端含有冲激函数

故零状态响应在t=0时将产生突变

先需要根据由零负求零正的方法

确定零状态响应的初始值

第一步

代入输入激励

零状态响应满足的方程

（4）式中

方程等号左端yzs(t)

最高阶为二阶

方程等号右端

冲激函数最高阶为零阶

故第二步可令

r0(t)是不含冲激函数及其高阶导数的函数

从负无穷到t进行积分

同时对y'(t)也进行积分

得yzs(t)=r2(t)也是连续的

第三步

代入零状态响应满足的方程

比较冲激函数的系数

容易看出来a=2

第四步

在0-到0+微区间进行积分

右端积分为

左端积分为0

又因为

连续函数从0-到0+微区间进行积分

由于右端r1(t)不含冲激函数

及其高阶导数

对于t>0

零状态响应满足的方程

右端等于-4

该方程的特征方程

其根为负1和负4

所以零状态响应的齐次解可设为

其特解

于是有

其一阶导数为

令t=0

将初始值

得到关于Czs1和Czs2两个待定系数的

二元一次方程组

解的Czs1=2 Czs2=-1

这个时候 系统的零状态响应为

注意t大于或等于0

如果描述LTI连续系统的微分方程

等号右端含有激励f(t)及其高阶导数时

求解系统的零状态响应

可利用LTI系统零状态响应的

线性性质和微分特性

使计算简化

看看例题3

描述某LTI系统的微分方程已知

输入信号已知

求系统的零状态响应

这个微分方程等号的右端含有激励

及其二阶导和一阶导

这时求系统的零状态响应

可先求满足方程

的零状态响应y1(t)

再利用LTI系统零状态响应的

线性性质和微分性质

求出原系统的零状态响应为

先求y1(t)

y1(t)是仅由f(t)作用在系统时所引起的

零状态响应

定义为(5)式

满足

因为其零状态响应

故初始值为

把f(t)等于阶跃函数代入

该微分方程的齐次解为

C为待定系数

特解为常数0.5

由于方程等号右端只有阶跃函数

不含冲激函数及其高阶导

故y1(t)在t=0处是连续的

所以在全解

令t=0

代入

求得待定系数C=-0.5

因而

又由于y1(t)是零状态响应

在t<0时等于0

所以y1(t)能表述成(6)式

y1(t)已知

那么其一阶导数和二阶导数

很容易分别求出

根据零状态响应的微分特征

有符合(7)式的定义

再根据线性性质

所求原系统的零状态响应为(8)式

代入

所求原系统的零状态响应为(9)式

通过利用LTI系统零状态响应的

线性和微分特征

求解相对来说比较简化

从响应的角度分析

系统的全响应等于零输入响应

加零状态响应

当特征根为全实根时

系统全响应可分为

自由响应加强迫响应

自由响应对于齐次解

强迫响应对应于特解

齐次解的一部分构成零输入响应

另一部分加特解构成零状态响应

也就是说

自由响应由零输入响应

和零状态响应的齐次解组成

大家学习时要注意不同方式的

定义和区别

今天就讲到这里

谢谢