视频4-11 取样定理在线视频

大家好今天我们来学习取样定理相关内容

首先说明在本讲中对连续信号和模拟信号

离散信号和数字信号并不严格区分

什么是信号的取样

取样就是从连续信号中每隔一定的时间间隔

取出离散样本点得到离散样本值的过程

取样也可称为抽样或者采样

比如我们要观察一天中气温的变化情况

可以每隔一个小时采集一个温度进行记录

就会得到一系列的样本值

一天中的气温变化它本身是一个连续信号

通过这样的取样就得到了一个离散序列

那么本来是连续变化的信号用这些离散值来表示

能够反映出原连续信号的信息吗

这是一个数字音频信号的波形我们来听一下

听起来效果还是不错的

这是一幅数字图像包含有1024*731个像素

看起来和真实世界的景象也没多大区别

也就是说可以用取样后的样本值来表示原连续信号

那为什么要取样呢

这是第一代个人移动通信终端也就是大哥大

它块头大成本高在八十年代末一个就要上万块功能单一

只能用来打电话连短信都不能发采用的是模拟通信技术

这是我们现在所普遍使用的4G手机采用了数字通信技术

体积小价格便宜功能强大打电话发微信看视频上网支付等等

这是第一代模拟计算机用了18000个电子管

占地150平方米重达30吨每秒钟可进行5000次运算

这是我们现在普遍使用的笔记本电脑轻便小巧

而现在的超级计算机每秒可达万亿次的计算

这是模拟电视机这是数字电视机

更轻薄屏幕更大可以收看到更多的节目

从以上例子可以看出数字系统相比模拟系统具有更多的优点

所以我们想用数字系统对信号进行处理传输

但是实际中的声音信号光信号和电信号是模拟信号

要利用数字信号处理器就需要进行模数转换

将模拟信号转换为数字信号才能用数字系统进行处理

在接收端再进行数模转换恢复成原来的连续信号

模数转换包括取样量化和编码

取样是将信号在时间上进行离散

量化是将信号在幅度上进行离散

最后通过编码就变成了数字信号

图2中有三个连续信号对它们都用T进行等间隔取样得到样本序列

这些样本值能够表示出原连续信号的信息吗

看到x1(t)的波形比较平缓

样本点基本反映了信号的特点

而x2(t)变化剧烈样本点并不能反映出x2(t)的所有变化信息

可见取样间隔的选取是和信号本身的特性相关的

通过上面的分析我们产生了这些问题

如何实现信号的取样取样间隔如何确定

如何由取样信号恢复原连续信号

解决了这些问题最后得出的结论就是取样定理

从理论上来看取样可以通过一个乘法器实现

连续信号f(t)和取样脉冲s(t)相乘得到的fs(t)就称作取样信号

这里的取样脉冲有两种情况

取为周期冲激序列便于理论分析

实际中是窄脉冲取样实现的

以理想冲激取样为例进行分析

连续信号f(t)乘取样脉冲δ(Ts ) (t)

根据冲激函数的乘积性质得到取样信号如图所示

仍然是一系列的冲激函数在时间上进行了离散

这些冲激函数的强度随原连续信号的幅度变化

包含了原信号的信息

在时域里难以确定取样间隔Ts如何取才合适

我们换一个角度在频域进行分析这是f(t)的频谱

看到它是一个频带有限信号在|ω|>ωm时

频谱都为0周期冲激序列的频谱仍然是周期冲激序列

强度和周期都为wsws=2pai/Ts称为取样角频率

根据傅里叶变换的频域卷积定理

求得取样信号的频谱等于原连续信号的频谱

以ws为周期进行周期延拓得到幅度是原来的1/Ts

在取样过程中对取样频率ws有什么要求呢

我们通过MATLAB来直观的进行分析

可见在对原连续信号进行周期延拓时

要无混叠必须满足fs≥2fm也就是ωs≥2ωm

这也反映出要求原连续信号是带限信号的原因所在

如果f(t)不是一个带限信号即wm为无穷大

那就找不找一个ws来满足无混叠条件

观察取样信号的频谱图要恢复出原连续信号

即只需保留第一个周期内的频谱

通过一个低通滤波器即可实现

低通滤波器的截止频率wc应大于wm小于ws-wm

要将幅度1/T恢复成1低通滤波器幅度应取为Ts

周期冲激函数序列在实际中是无法产生的

实际中对连续信号取样可以通过一个开关电路来实现

将连续信号f(t)通过开关电路每隔时间T将开关闭合τ秒

重复进行就得到取样信号fs(t)如图所示

从数学上来看就是给f(t)乘上一个周期窄脉冲信号

在频域里取样信号的频谱就等于1/2pai乘F(jw)卷积P(jw)

如图所示

观察取样信号的频谱要使频谱在搬移过程中不产生混叠

同样要求ws大于等于2wm

这时可以通过低通滤波器来恢复出原连续信号

这和理想冲激取样的过程和结论都是一致的

要从取样信号恢复原连续信号

从频谱上来看就是只保留第一个周期内的频谱

这可以通过低通滤波来实现

低通滤波器的截止频率wc要大于信号的最高频率wm

为了保留有一些余量上限取为ws/2

滤波器的幅度取为TS再来看时域恢复的过程

按照时域卷积定理频域相乘对应时域卷积

冲激信号fs(t)卷积低通滤波器的冲激响应h(t)

就是对h(t)进行平移叠加得到原连续信号f(t)

解决了前面所提出的三个问题

最后我们就得到时域取样定理

一个频谱在区间（-wm wm）以外为零的频带有限信号f(t)

可以唯一地由其在均匀间隔Ts上的样点值确定

Ts要小于等于2fm分之一

这一定理是由美国物理学家奈奎斯特提出的

所以也称为奈奎斯特取样定理

从定理中看到

要从取样信号fs(t)中恢复原连续信号f(t)需要满足两个条件

第一个条件f(t)是带限信号

第二个条件取样间隔Ts要小于等于2fm分之一

或者说取样频率fs要大于等于2fm正好取到临界值的时候

就称为奈奎斯特取样频率或奈奎斯特取样间隔

取样定理在将模拟信号转化为数字信号的过程中有着重要的应用

我们来听一下不同取样频率下的音频信号

语音信号它的最高频率是2万Hz

取样频率为44100赫兹满足取样定理的要求声音效果比较好

这也正是CD音频标准采样率取为44100Hz的原因

取样频率小于奈奎斯特取样频率

称为欠采样可以听到这个效果就不够好

在应用取样定理的过程中还有一些问题需要注意

对于非带限信号如何来取样

实际中的信号都是时间有限信号其频谱是无限宽的

如图所示信号的频谱有一个长长的拖尾

可以先将信号通过一个抗混叠低通滤波器

滤除掉拖尾使它变成一个带限信号再进行取样

最高频率未知的带限信号如何取样

在取样定理中要求fs要大于等于二倍的fm

这里fm未知那如何来确定取样频率呢

可以通过试错法先取一个较大的取样间隔T

观察取样信号的频谱

如果发现有混叠说明T取的太大逐渐减小T

当前后两次取样信号频谱之间没有变化时

就可以确定取样间隔T了对于窄带高频信号如何确定取样频率

如图所示的窄带高频信号

带宽B=fH-fLFS只要大于二倍信号的带宽就可以了

这在通信原理课程中会详细介绍

本讲主要介绍了取样定理相关内容

可以通过乘法器来实现信号的取样

取样信号的频谱是原连续信号频谱以ws为周期进行周期延拓得到

幅度是原来的Ts分之一

通过低通滤波器可以从取样信号恢复原来的连续信号

最后得到取样定理

一个带限信号可唯一地由其在均匀间隔上的样点值确定

从 fs(t)恢复f(t)需要满足两个条件

第一f(t)是带限信号

第二取样频率要大于等于二倍的信号最高频率

本讲内容就到这里

谢谢大家