视频 5-6 LTI连续系统的复频域分析在线视频

大家好

拉普拉斯变换是分析

线性连续系统的有力数学工具

相比时域分析和频域分析

它能更方便地求取系统

对输入信号的响应

它将描述系统的时域微积分方程

变换为s域的代数方程

便于运算和求解

同时它将系统的初始状态

自然地包含于象函数方程中

既可分别求得零输入响应

零状态响应

也可一举求得系统的全响应

而且通过系统函数的分析

以后能更有效地研究既定系统的特征

更方便地实现系统的综合和设计

今天这一讲

我们学习LTI连续系统的复频域分析

研究微分方程在S域怎么求解

系统对输入信号的响应和时域相比

是否更便利

系统函数怎么定义

系统对输入信号的响应

和系统函数有什么关系

时域分析法分析LTI连续系统时

根据LTI连续系统的

常系数线性微分方程

求解齐次解和特解

齐次解根据特征根有不同的形式

当特征根全部为单实根时

齐次解是带待定系数的

e的根t幂次方

特解和激励的形式一致

求出齐次解和特解后

再根据初始值确定待定系数

那微分方程的S域求解如何呢

根据LTI连续系统微分方程的一般形式

如1式所示

和已知的

系统初始状态

先利用拉普拉斯变换

时域的微分特征

对1式方程等号两边做拉普拉斯变换

因为y(t)的i阶微分对应的

象函数为2式所示

而激励f(t)接入系统

是从0时刻开始的

考虑成因果函数

其j阶微分对应的象函数为3式所示

所以1式方程等号两边

做拉普拉斯变换

可以得到4式

把4式方程中Y(s)前面的

各系数多项式看成A(s)

微分0负值

系统初始值状态相关的各项看成M(s)

F(s)前面的系数项看成B(s)

则1式的常系数线性微分方程

变成5式的代数方程

根据这个代数方程

可以方便的求出Y(s)

如6式所示

6式中A(s)分之M(s)

即为系统的零输入响应的象函数

后一项

A(s)分之B(s)乘F(s)即为系统

零状态响应的象函数

再对6式的各项求拉普拉斯逆变换

方便地求出系统的零输入响应

零状态响应和全响应

例1 某LTI系统的微分方程如7式所示

初始状态y(0-)=2

y'(0-)=2

激励f(t)等于

求响应

解 对于7式方程等号两边

做拉普拉斯变换

利用拉普拉斯变换时域微分特性

得8式

经整理成9式

所以解得Y(s)为10式

10式中方程等号右边第一项为

零输入响应对应的象函数

第二项为零状态响应对应的象函数

即表述成11式

在11式中代入系统初始状态值和F(s)

分别求得Yzi(s)和Yzs(s)值

如12式所得

即Yzi(s)采用部分分式展开成

再取拉普拉斯逆变换

可以得到零输入响应yzi(t)等于

Yzs(s)采用部分分式展开成

取拉普拉斯逆变换

可以算出零状态响应Yzs(t)等于

所以全响应y(t)等于零输入响应

加零状态响应等于

根据系统7式可知

是自由响应

随着t趋于无穷

该项趋于零

所以是暂态响应

而后一项

和激励形式相同

是强迫响应

也是稳态响应

S域分析和时域分析的不同点

大家要注意

时域分析时

齐次解的待定系数是用初始值

yi阶零正值确定的

而S域分析时

拉普拉斯变换采用的是

初始状态值

S域分析时

如果已知的是初始值

则应该根据初始值和

初始状态值之间的关系式

先求出

再在S域进行分析

初始状态值和初始值

之间的关系为13式

而零输入系统由于没有激励影响

系统内部状态不会突变

又因为

所以根据14式

是已知的

所以待定的是

例2 已知某LTI系统的微分方程

和例1一样为7式

但已知的是初始值

y(0+)=2

1y'(0+)=1

激励仍然为f(t)等于

求y(0-)

解 和例1一样

系统的零状态响应没有改变

仍然为Yzs(t)等于

代入t=0

得Yzs(0+)=0

对yzs(t)求微分

得yzs'(t)等于

代入t=0

得Yzs'(0+)=2

利用公式14式

系统的响应可以从不同的角度区分

分零输入响应和零状态响应

自由响应和强迫响应

稳态响应和暂态响应

通过例题3分析

我们从S域分析

系统对输入激励的影响

理解他们之间的联系和区别

例3 描述某LTI系统的微分方程为15式

系统初始状态值为y(0-)=1

y'(0-)=-1

激励f(t)等于

求系统的全响应

解 采用S域分析该系统的响应

对方程15式两端取拉普拉斯变换

并整理成16式

16式等号右边第一项和y的

初始值有关

为系统的Yzi(s)

第二项和F(s)有关

为系统的Yzs(s)

把激励等于

对应的象函数

和y的各初始状态值代入16式

得17式

把17式用部分分式展开

得18式

大家注意

18式中

方程等号右边前两项是Yzi(s)

后四项是Yzs(s)

等号右边前四项是自由响应

对应的象函数

后两项是强迫响应对应的象函数

对18式取拉普拉斯逆变换

y(t)算出如19式

19式中

方程等号右边前两项是

零输入响应yzi(t)

后四项是零状态响应yzs(t)

方程等号右边前四项是自由响应

后两项是强迫响应

自由响应随着t趋于无穷而趋于零

故该自由响应是瞬态响应

强迫响应随着t趋于无穷值

在负根号2和根号2之间变化

是稳态响应

S域分析LTI微分方程

思路过程都简单

前提是掌握信号的拉普拉斯变换

和其逆变换

同时拉普拉斯变换

微分定理一定要记牢

系统函数H(s)

系统函数只与系统的结构

元件的参数有关

而与激励、系统初始状态

是没有关系的

20式定义了系统函数为

系统零状态响应的象函数Yzs(s)

与激励的象函数F(s)之比

证明如下

设激励f(t)作用在冲激响应为h(t)的

LTI连续系统上时

产生的零状态响应为yzs(t)

因为yzs(t)等于f(t)卷积h(t)

根据拉普拉斯变换时域卷积定理性质

所以Yzs(s)等于F(s)乘h(t)的象函数

即h(t)的象函数等于F(s)分之Yzs(s)

所以 可知系统函数H(s)等于

冲激响应h(t)的象函数

即冲激响应h(t)和系统函数H(s)

是一对拉普拉斯变换对

例 已知当输入f (t)等于

某LTI因果系统的零状态响应已知为

yzs(t) 等于

求该系统的冲激响应

和描述该系统的微分方程

激励已知

零状态响应已知

把他们做拉普拉斯变换

则F(s)和Yzs(s)已知

系统函数等于

F(s)分之Yzs(s)

立马就能算出来

根据系统的微分方程

和零状态响应满足的微分方程

描述系统的微分方程

和零状态响应满足的微分方程是一致的

故只要求出零状态响应的微分方程

即可得到系统的微分方程

解 由已知的f(t)和yzs(t)

对他们做拉普拉斯变换

得21式

系统函数H(s)等于F(s)分之Yzs(s)

代入F(s)和Yzs(s)的值

得22式

对22式中的部分分式展开式

求拉普拉斯逆变换

得h(t)

22式中交叉相乘可得

等于

所以有23式

23式再取逆变换

得yzs(t)满足的微分方程

也就是y(t)满足的微分方程

LTI连续系统的复频域分析

比LTI连续系统的时域分析

要简单有效得多

大家一定要看清楚已知条件

掌握好常用信号的拉普拉斯变换

和部分分式展开法求拉普拉斯逆变换

熟练运用拉普拉斯变换的

时域微积分性质

灵活分析系统对输入激励的响应

今天就讲到这里

谢谢