视频7-3 信号流图在线视频

大家好今天我们来介绍第7.3节信号流图

主要内容包括信号流图和梅森公式

由前面的讨论可知

系统的描述方法有方程框图系统函数等

用方框图描述系统较为直观

信号流图也是一种描述系统的方式

它与框图本质是一样的但是更加简便

通过梅森公式

可以将系统函数与相应的信号流图联系起来

信号流图简明地沟通了描述系统的方程

系统函数以及框图等之间的联系

这不仅有利于系统分析也便于系统模拟

下面来学习信号流图的定义术语性质和运算规则

先看流图的定义，信号流图

是用有向的线图描述线性方程组变量间因果关系的一种图

它与框图本质是一样的但是更加简便

系统的信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统

如图所示的连续系统方框图

可以用一个由输入指向输出的有向线段表示

即在流图中用一条有向线段表示一个子系统

系统函数为权值标识在线段的一侧

如图所示的离散系统流图表示和连续系统结构相同

可见无论是连续系统还是离散系统

如果撇开二者的物理实质仅从图的角度而言

它们的分析方法相同因此这里一并讨论

一般而言

将系统流图的起始点标识为F终点标识为Y

这些点称为结点

结点是表示系统中的变量或信号的点

线段表示信号传输的路径称为支路

信号的传输方向用支路上的箭头表示

系统函数H标记在线段的一侧

称之为该支路的增益，所以每条支路相当于标量乘法器

可见

信号流图是一种赋权的有向图

它由连接在结点间的有向支路构成如图1所示

流图的一些术语定义如下

如前所述信号流图中的每个结点对应于一个变量或信号

连接两结点间的有向线段为支路

每条支路的权值称为支路增益

就是该两结点间的系统函数或转移函数

支路包括出支路和入支路

结点包括源点汇点和中间结点

源点是指仅有出支路的结点如图1中的x1

汇点是指仅有入支路的结点如图1中的x5

中间结点是指既有入支路又有出支路的结点如图1中的x2 x3和x4

通路是指从任一结点出发沿着支路箭头方向

连续经过各相连的不同支路和结点到达另一结点的路径

如果通路与任一结点相遇不多于一次则称为开通路

如果通路的起点就是通路的终点

与其余节点相遇不超过一次

则称为闭通路或回路或环

例如前面图1的流图中有三条回路

如图2所示其中L1回路是从x2出发经过中间结点x3

回到x2,经过的支路增益为a和e

L2回路是从x2出发经过中间结点x3和x4回到x2

经过的支路增益为a b f,以及L3回路

只有一个结点x4和一条支路,增益为g

相互没有公共结点的回路称为不接触回路如L1和L3

只有一个结点和一条支路的回路称为自回路或自环如L3

通路增益是指通路中各支路增益的乘积

同理回路增益是指回路中各支路增益的乘积

如L2的回路增益等于abf

前向通路是指从源点到汇点的开通路

开通路要求通路与任一结点相遇不多于一次

即开通路中是不包含回路的

因此前向通路是从源点到达汇点并且不包含回路的通路

例如前面图1的流图中有两条前向通路

如图3所示其中P1是从源点 出发

经过x2 x3和x4各中间结点到达汇点x5

P2也是从源点x1出发到达汇点x5

但是只经过x2和x3这两个中间结点

前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益

如P1=abc, P2=ad

信号流图的基本性质包括

（1）信号只能沿支路箭头方向传输

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00:06:55,332 --> 00:07:00,509
支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积

（2）当结点有多个输入时该结点将所有输入支路的信号相加

并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路

例如图中x4结点的输出信号等于该结点所有输入信号之和

即 x4=ax1+bx2+cx3

同理有 x5=dx4 x6=ex4

以上（1）（2）两条基本性质表征了信号流图的线性性质

实质上LTI系统的微分（或差分）方程

经拉普拉斯变换或z变换后得到线性代数方程或方程组

信号流图描述的就是其数学运算关系

由于信号流图所描述的是代数方程或方程组

因而信号流图能按代数规则进行化简

流图化简的基本规则是（1）支路串联

如图所示

两条增益分别为H1和H2的支路相串联

可以合为一条增益为H1×H2的支路同时消去中间的结点

这是因为X2=H2X3 X3=H1X1所以X2=H2H1X1

（2）支路并联如图所示

两条增益分别为H1和H2的支路相并联

可以合并为一条增益为H1+H2的支路

这是因为X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1

（3）自环的消除如图所示

在x3处有增益为H3的自环

化简规则是将x3的所有入支路增益除（1 – H3）

同时消去结点x3

这是因为X3=H1X1+H2X2+ H3X3

所以X3=H1/(1-H3 ) X1+H2/(1-H3 ) X2

利用以上基本规则

对于一个复杂的流图通过反复运用以上步骤

可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图

从而求得系统函数

下面介绍梅森公式

一般而言

用上述化简信号流图的方法求系统函数H比较复杂

利用梅森公式

能根据信号流图方便地求得输入输出间的系统函数

梅森公式为H=1/Δ ∑piΔi

式中Δ称为信号流图的特征行列式

计算公式如式（2）

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00:10:36,831 --> 00:10:42,687
其中∑ Lj 是所有不同回路的增益之和

∑LmLn 是所有两两互不接触回路的增益乘积之和

∑Lp Lq Lr 是所有三个都互不接触回路的增益乘积之和

式(1)中 i 是标号

表示由源点到汇点的第 i 条前向通路

pi是由源点到汇点的第 i 条前向通路增益

Δi 称为第 i 条前向通路特征行列式的余因子

它是与第 i 条前向通路不接触的子图的特征行列式

梅森公式的证明请参看相关资料

这里只举例说明它的应用

求如图所示信号流图的系统函数

首先应找出各回路

例1的流图共有三个回路,各回路增益为

L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5

然后计算特征行列式

图中的三条回路都相互接触

其中有一对两两互不接触的回路L1和L3

没有三个以上的互不接触的回路

所以根据式(2)计算行列式

将L1 L2 和 L3的回路增益代入上式解得Δ

如式（3）

接着找出所有从源点到汇点的开通路得到各条前向通路

观察可知图中有两条前向通路

第一条前向通路p1的通路增益为p1=2H1H2H3

第二条前向通路p2的通路增益为p2=H1H4

然后计算各前向通路对应的余因子 Δi

注意Δi是与第i条前向通路不接触的子图的特征行列式

对于p1,流图中的各回路都与该通路相接触

故Δ1=1

对于p2,流图中不与该前向通路接触的回路是L1

所以Δ2 =1-H3G

最后用梅森公式求系统函数

得到H=1/Δ (p1Δ1+p2Δ2)

将以上各值代入得到H

好本节内容就讲到这里

谢谢大家