视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析在线视频

大家好本讲介绍连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析

包括H(s)与系统稳定性分析H(s)与系统时域特性分析

和H(s)与系统频率特性分析三部分内容

系统的稳定性又称为可用性

一个不稳定的系统在实际中是无法使用的

根据系统函数H(s)的零极点分布来分析

连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一

稳定性是系统的固有性质与激励信号无关

系统函数包含了系统所有固有特性

显然它也能反映出系统是否稳定

对任意有界的激励信号f(t)若系统产生的零状态响应y(t)也是有界的

则称该系统为稳定系统否则则称为不稳定系统

系统稳定性的判定条件为

时域条件如（1）式所示即冲激响应在无限区间内绝对可积

对于因果系统稳定的复频域条件为

系统函数H(s)的极点均位于s平面的左半开平面

系统稳定的时域条件和复频域条件是等价的

我们只要考察系统函数的极点分布情况

就可以判断系统的稳定性

对于一阶和二阶系统容易求得系统函数的极点

但是对于高阶系统手工求解极点则显得十分困难

我们可以利用MATLAB来实现这一过程

连续系统的系统函数H(s)可表示为（2）式的形式

可以利用MATLAB的pzmap函数画出H(s)的零极图

其中num=[bm bm-1 ...b1 b0]表示系统函数分子多项式的系数向量

den=[an an-1 ... a1 a0]表示系统函数分母多项式的系数向量

tf函数用来生成num和den所表示的系统函数保留在sys中

pzmap函数画出sys所描述系统的零极点图

下面我们通过具体的例题来分析

例1已知某LTI连续因果系统的系统函数

画出该系统的零极图判断系统是否稳定

MATLAB代码如下num表示出H（s）分子多项式的系数为5 20 25

den表示出H（s）分母多项式的系数为1 25 16 30

用tf函数生成系统函数用pzmap函数画出零极点图

如图1所示其中X表示极点O表示零点

由图1可见

该系统的极点都位于s的左半开平面所以为稳定系统

为了使绘出的零极点图更清楚

我们可以自己创建一个绘制零极点图的函数sjdt

传递参数为num和den首先利用tf函数生成系统函数sys

这里利用pzmap函数并不直接画零极点图

而是求出系统的零极点将极点保存在p中零点保存在z中

用plot命令画出极点为了使表示更清楚

这里用红色X表示极点线宽设置为2

hold on保持当前图形窗口grid on给图形加上网格线

继续用plot画零点用蓝色O表示线宽为2

设置坐标轴范围再用plot命令画出横轴和纵轴

用text命令进行标注最后用title命令设置图的标题

hold off解除hold on命令

重做例1定义好num和den后直接调用函数sjdt

绘制出系统的零极点图如图2所示表示更加清晰

由图2可以清楚的看到系统有1对共轭零点为-2±j

一个实极点为-3一对共轭极点为-1±3j

系统函数所有的极点都位于s的左半开平面所以该系统为稳定系统

例2已知某LTI连续因果系统的系统函数

画出该系统的零极图分析系统的稳定性

定义系统函数的分子向量num

注意这里没有s的一次项要将该项的系数写为0不能不写

定义系统函数的分母向量den直接调用函数sjdt

画出该系统的零极点图如图3所示

看到极点并不都在s的左半开平面所以为不稳定系统

我们知道系统函数H(s)和冲激响应h(t)是一对拉普拉斯变换对如（3）式所示

显然H(s)必然包含了h(t)的本质特性

若系统函数的N个极点是单极点将H(s)部分分式展开为（4）式的形式

可以看出系统冲激响应h(t)的时域特性

完全由系统函数H(s)的极点位置决定

绘制冲激响应的MATLAB函数为impulse

下面我们来利用MATLAB分析H(s)是如何决定h(t)时域特性的

当原点处有一个实数单极点编写代码

画出冲激响应波形如图所示这是阶跃函数

当虚轴上有一对共轭单极点编写代码画出冲激响应波形如图所示

可见虚轴上的一阶极点决定了h(t)是等幅的

当H(s)的极点位于负实轴上这里α取为2编写代码画出冲激响应波形

当左半开平面有一对共轭单极点这里α取为1/2

β取为4编写代码画出冲激响应波形如图所示

可见左半开平面的极点决定了h(t)是收敛的

当H(s)的极点位于正实轴上这里α取为2编写代码画出冲激响应波形

当右半开平面有一对共轭单极点这里α取为1/2

β取为4编写代码画出冲激响应波形如图所示

可见右半开平面的极点决定了h(t)的值随着时间变量t增大

连续系统的系统函数与频率响应的关系如（5）式所示

H(s)包含了H(jw)的特性

MATLAB提供了freqs函数绘制和求解连续系统的频率响应

调用格式为freqs(b a) b为系统函数分子多项式的系数向量

a为系统函数分母多项式的系数向量

以对数坐标的方式绘制频率响应的幅频响应和相频响应曲线

H=freqs(b a w)其中w为形如w1:p:w2定义的频率范围

向量H返回在w定义的频率点上

由b和a所表示系统的频率响应样值

下面我们来利用MATLAB分析H(s)是如何决定频率响应特性的

首先考虑系统只有实数单极点没有零点的情况

极点取为-400π画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

看到这是一个低通系统系统的3dB截止频率为200Hz

减小极点数值取为-600π画出系统的

冲激响应和幅频特性曲线如图所示

系统的3dB截止频率变为300Hz

继续减小极点数值取为-800π画出系统的

冲激响应和幅频特性曲线

如图所示系统的3dB截止频率为400Hz

可见只有实数单极点没有零点时系统呈现出低通特性

随着极点的减小冲激响应收敛的速度更快3dB截止频率增大

在原点处增加一个零点极点取为-400π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

看到当极点不变在原点处增加了零点后

系统由低通特性变为高通特性系统的3dB截止频率仍为200Hz

减小极点数值取为-600π画出系统的

冲激响应和幅频特性曲线如图所示

系统的3dB截止频率变为300Hz

继续减小极点数值取为-800π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

系统的3dB截止频率为400Hz

可见当系统具有实数单极点和为0的零点时

系统呈现出高通特性随着极点的减小

冲激响应增长的速度更快高通系统的3dB截止频率增大

再来考虑共轭极点的情况

将极点取为-40π±j600π零点仍在原点处

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

系统呈现出带通特性系统的中心频率为300Hz

极点实部不变虚部由±600π增大为±800π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

看到系统的中心频率变为400Hz

继续增大极点的虚部取为±1000π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

系统的3dB截止频率为500Hz

可见当系统具有共轭单极点和为0的零点时

系统呈现出带通特性中心频率随着极点虚部的增大而增大

最后再考虑共轭零点的情况

极点取为-40π±j600π零点取为±j600π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

看到系统呈现出带阻特性系统的中心频率为300Hz

零极点实部不变虚部由±600π增大为±800π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

看到系统的中心频率变为400Hz

继续增大极点的虚部取为±1000π

画出系统的冲激响应和幅频特性曲线如图所示

系统的中心频率为500Hz

可见当系统具有左半开平面的共轭极点和虚轴上的共轭零点时

系统呈现出带阻特性中心频率随着零极点虚部的增大而增大

本讲主要介绍了利用MATLAB分析系统函数与系统特性关系的方法

利用pzmap函数可以画出系统的零极点图

从而分析系统的稳定性

利用impulse函数可以画出系统冲激响应的波形

分析系统函数极点位置与系统时域特性的关系

利用freqs函数可以画出系统频率响应曲线

分析系统函数零极点位置对系统频域特性的影响

本讲内容就到这里

谢谢大家