当前课程知识点：信号与系统分析 > 第六章 离散系统的z域分析 > 6-6 Z变换的应用----LTI系统的Z域框图 > 视频6-6 LTI系统的z域框图
大家好
LTI离散系统
有时候给出的系统描述
不是系统差分方程
而是系统的时域框图
在时域分析方法中
我们是根据框图先列出差分方程
然后再在时域解差分方程
那么在z域能不能直接
对框图进行分析呢
这讲我们主要来分析下方法
思路为先把时域框图转化为Z域框图
再根据系统Z域框图
直接分析系统对输入激励的响应
框图的基本类型是数乘器
加法器和延迟单元
先看数乘器
时域中
激励为f(k)时响应为a倍f(k)
对系统两端信号做z变换
数乘器对应的Z域和时域框图结构一样
输入F(z)
输出为a倍F(z)
再看加法器
时域输入为f1(k)和f2(k)
加法器输出为f1(k)加减f2(k)
对系统两端信号做z变换
加法器Z域框图结构和时域结构
也是相同的
输入为F1(z)和F2(z)
输出为F1(z)加减F2(z)
最后看延迟单元
时域输入f(k)时
输出为f(k-1)
对系统两端信号做z变换
根据z变换时移特性可知
输入F(z)
输出为z分之F(z)加 f(-1)
所以延迟器的Z域框图
由z分之一的数乘器
和加法器组成
但如果系统是零状态下
f(-1)等于零
则延迟器零状态的Z域框图
和时域框图相同
可见 零状态的Z域框图结构
和时域相同
所以已知时域系统的框图时
分析系统对激励的响应
可以把时域框图转换成零状态的Z域框图
得到象函数的代数方程
解出响应的象函数
再求逆得到系统的全响应
具体步骤为
第一步 选取最左端延迟单元的输入
为中间变量X(z)
第二步 分别写出左端求和器
和右端求和器的代数方程
第三步 消去中间变量得到Yzs(z)和H(z)
第四步 求逆得到yzs(k)和h(k)
第五步 由H(z)得到时域yzi(k)满足的
齐次差分方程表达式
第六步 根据给定的初值
时域求解yzi(k)
进而得到全响应y(k)
例 已知时域框图如图所示
(1) 求系统的单位序列响应h(k)
和零状态响应yzs(k)
(2) 若y(-1)=0
y(-2)=0.5
求零输入响应yzi(k)
该题已知的是时域框图
首先把时域框图转化为
零状态Z域框图
画出零状态Z域框图如图所示
选取左端延迟器的输入为
中间变量X(z)
f(k)变成F(Z)
y(k)变成Yzs(Z)
延迟单元D变成Z^(-1)
在Z域框图中
第一个Z分之一框的输出为
z^(-1)X(z)
第二个Z分之一框的输出为
z^(-2)X(z)
其次 根据z域框图
分别列左端求和器
和右端求和器方程
左端求和器方程
整理后得到式1
为X(z)和F(Z)的关系式
列右端求和器象函数的代数方程
整理后得到式2
为X(z)和Yzs(Z)的关系式
整理两方程并消去中间变量X(z)
得系统函数H(z)等于Yzs(z) 比F(z)
等于z^2-3z/z^2-3z+2
对H(z)进行部分分式展开得到
H(z)等于2z/z-1减去z/z-2
Yzs(z)= H(z)* F(z)
整理后进行部分分式展开得到
Yzs(z)=2z/(z-1)^2+3z/z-1-2z/z-2
分别对H(z)
Yzs(z)求逆
得到
由H(z)可知
系统的特征根为1和2
可以得到
根据给定的初始状态
代入后解待定系数
求得Czi1 =1
Czi2 = - 2
所以
在最后
我们来分析下s平面和z平面的映射关系
z变换由拉普拉斯变换而来
我们在引入z变换的定义时
得到s与z的关系为
复变量s的直角坐标形式为
根据两者的关系
复变量z可以表示为
表示成极坐标形式为
其中
这样我们建立了s平面上的点
б ω和z平面上的点
S平面和z平面的映射关系如图所示
s平面的左半平面
小于1
映射到z平面的单位圆内部
s平面的
映射到z平面的单位圆上
s平面的右半平面
映射到平面的单位圆外部
s平面上实轴
等于0
映射到z平面的正实轴
s平面上的原点
映射到z平面上z=1这一个点
另外由s与z的关系可知
z平面上到s平面的映射是多值映射
z平面上的一个点
映射到s平面是无穷多个点
把时域框图转换为Z域框图
在Z域求解系统的响应非常方便
z域框图也可以转化成流图
是同学们以后设计和分析系统的基础
这讲就讲到这里
谢谢大家
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