视频7-2 系统的因果性和稳定性在线视频

大家好今天我们来介绍第7.2节

系统的因果性和稳定性

主要内容包括系统的因果性系统的稳定性

以及连续系统稳定性的判定准则罗斯准则

因果系统是指系统的零状态响应不出现于激励之前

具有因果性的系统满足在激励加入系统之前

系统的零状态响应都为零否则称为非因果系统

对连续系统的因果性进行判定的充要条件如下

在时域，系统满足冲激响应h(t)在t<0时都为0

即系统的冲激响应h(t)是因果信号

关于该条件的证明请参考教材338页相关内容

时域充要条件可转换为s域充要条件

令 h(t)的象函数为系统函数H(s)

根据§5.1拉普拉斯变换和收敛域的定义可知

如果冲激响应h(t)是因果信号

则系统函数H(s)的收敛域必为收敛坐标σ0以右的半平面

换言之在s域连续系统具有因果性的充要条件是

系统函数H(s)的收敛域是Re(s)>σ0的半平面

或者说H(s)的极点都在收敛轴Re(s)=σ0的左边

对离散系统的因果性进行判定的充要条件如下

在K域系统满足

单位响应h(k)在k<0时都为0

即系统的单位响应是因果序列

该条件的证明和连续系统类似

这里从略

K域充要条件可转换为z域充要条件

令 h(k)的象函数是系统函数H(z)

根据§6.1 Z变换和收敛域的定义可知

如果单位响应是因果序列

则系统函数H(z)的收敛域必为半径等于ρ0的圆外区域

换言之在z域离散系统具有因果性的充要条件是

系统函数H(z)的收敛域是|z|>ρ0的圆外区域

或者说H(z)的极点都在半径为|z|=ρ0的收敛圆内部

下面讨论系统的稳定性

一个系统(连续的或离散的)

如果对任意的有界输入其零状态响应也是有界的

则称该系统为有界输入有界输出的稳定系统

设Mf My为正实常数

如果系统对于所有的激励满足

当激励的绝对值小于等于Mf时

系统的零状态响应的绝对值小于等于My

则称该系统是稳定的

或者说该系统具有稳定性

对连续系统的稳定性进行判定的充要条件是

在时域系统满足冲激响应h(t)的绝对值

在负无穷到正无穷区间积分的结果小于等于M

其中M是正实常数也就是说冲激响应h(t)是绝对可积的

该条件的证明请参考教材339页相关内容

时域充要条件可转换为s域充要条件

令 h(t)的象函数为系统函数H(s)

根据§4.4中傅立叶变换存在的条件可知

如果冲激响应h(t)满足绝对可积

则h(t)的傅立叶变换H(jw)必存在

根据拉拉普拉斯变换和傅里叶变换的对应关系可知

这意味着系统函数h(t)在虚轴s=jw上必是存在的

可见连续系统稳定的s域充要条件是

系统函数H(s)的收敛域包含虚轴

或者说H(s)的极点都不在虚轴上

对离散系统的稳定性进行判定的充要条件是

在K域系统满足单位响应h(k)的绝对值

在负无穷到正无穷区间求和的结果小于等于M

其中M是正实常数

也就是说离散系统的单位响应序列h(k)是绝对可和的

该条件的证明从略

在z域令h(k)的象函数是系统函数H(z)

当|z|=1时如果离散系统的单位响应h(k)满足绝对可和

则有式(1)成立根据代数知识

绝对值的乘积必大于等于乘积的绝对值

则式(2)必成立,将式(2)中的绝对值符号去掉

原式仍成立如式(3)

根据z变换的定义式可知这意味着H(z)在|z|=1时存在

即系统函数H(z)在单位圆上必收敛

可见离散系统稳定的z域充要条件是

系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1或H(z)的极点均不在单位圆上

下面讨论系统因果稳定的充要条件

对于连续系统根据前面的讨论可知,在时域系统具有因果性

要求冲激响h(t)应在t<0时值为0,系统具有稳定性

要求h(t)满足绝对可积

因此系统既因果又稳定的充要条件是

h(t)的绝对值在0到正无穷区间绝对可积如式(4)所示

同理可知在s域

系统因果稳定的充要条件是

系统函数H(s)的极点都在s平面的左半开平面

即 若H(s)所有极点的实部均小于0

则该系统必是因果稳定的系统

同理

对于离散系统既具有因果性又具有稳定性的充要条件是

在k域

h(k)的绝对值在0到正无穷区间绝对可和

如式(5)所示

在z域系统函数H(z)的极点都在z平面的单位圆内

即 若H(z)所有极点的模值均小于1

则该系统必是因果稳定的系统

根据以上结论练习求解下面的例题

如图所示为离散因果系统框图为使系统稳定

求常量a的取值范围

本题的求解思路是先根据框图列写出系统函数 H(z)

再判断极点的取值范围

如图所示

设中间变量X(z)为z∧(-1)运算单元的输入信号

则该单元的输出为z∧(-1) X(z)

列写第一个加法器的方程整理可得X(z)的表达式

如式(1)第二个加法器的方程如式(2)

将式(1)代入式(2)求得系统函数H(z)的表达式如式(3)

为使系统稳定H(z)的极点z=a必须在单位圆内部

故要求常量a的取值范围满足|a|<1

最后介绍连续系统的因果稳定性判定准则:罗斯霍尔维兹准则

从以上的讨论可知

连续系统若是因果稳定的

则系统函数H(s)的极点均在左半开平面

这意味着分母多项式A(s)=0的根的实部均小于0

因此只需判断A(s)=0是否有实部大于或等于0的根

就可以确定系统的因果稳定性了

罗斯（Routh）首先提出一种判别代数方程根的方法

不必解方程就可以知道它包含多少个具有正实部的根和零实部的根

霍尔维兹（Hurwitz）也导出了类似的方法

因此称所有的根都在左半开平面的多项式为

霍尔维兹多项式

可见对于因果系统只要判断A(s)是否是霍尔维兹多项式

即可判定系统是否稳定不必知道极点的确切值

下面介绍霍尔维兹多项式的判定准则

称为罗斯-霍尔维兹准则

首先来看必要条件

对于n 阶实系数多项式A(s),A(s)=0的所有根均

位于左半开平面的必要条件是（1）所有系数都必须非0即不缺项

（2）系数的符号相同

例如以下的三个多项式

例1A(s)的多项式系数符号相异不是霍尔维兹多项式系统不稳定

例2A(s)缺少s项即多项式系数a1=0所以不是霍尔维兹多项式系统不稳定

例3该多项式满足霍尔维兹多项式的必要条件但非充分条件需进一步判断

若必要条件满足则将多项式A(s)的系数排列为如下的罗斯阵列

第1行为A(s)的系数an an-2 an-4 等各项

第2行为 an-1 an-3 an-5 等各项

第3行为 cn-1 cn-3 cn-5 等各项

它由第1 2行按下列规则计算得到

第4行则由第2 3行用同样方法得到,一直排到第n+1行

罗斯准则指出

若罗斯矩阵中的第一列元素具有相同的符号

则A(s)=0所有的根均在左半开平面

若第一列元素出现符号改变

则符号改变的总次数就是右半平面根的个数

下面请看例题

已知某因果系统函数H(s),为使系统稳定k应满足什么条件

本题的求解思路是首先判断分母多项式A(s)的系数

满足罗斯准则的必要条件然后根据上述规则列出罗斯阵列

根据罗斯准则可知

当–1

另外

对于二阶系统若a2>0,不难得出

A(s)为霍尔维兹多项式的条件为a1>0 a0>0

对于离散因果系统也有类似的稳定性判定准则

朱里准则具体内容请大家查阅相关资料

好本节内容就讲到这里

谢谢大家