视频 5-2 单边及常见信号的拉普拉斯变换在线视频

大家好

上一讲我们学习了

双边拉普拉斯变换及其收敛域

双边拉普拉斯变换研究

双边信号比较方便

但收敛条件苛刻

实际遇到的信号

都有初始时刻

不妨设其初始时刻为坐标原点

这样 t<0时

有f(t)=0

从而双边拉普拉斯的定义式中

把积分下标从0开始

而且把Fb(s)写成F(s)

双边拉普拉斯变换就变成

单边拉普拉斯变换

今天 我们就学习单边及常见信号的

拉普拉斯变换

把双边拉普拉斯变换Fb(s)通过变换

定义了单边拉普拉斯变换

F(s)如（1）式所示

大家注意

（1）式中的积分下标是0负

这是因为考虑到信号f(t)中可能包含有

冲激函数及其高阶导等奇异函数

故积分下标为0负

今后未注明的t=0

均指0负

（2）式定义了单边拉普拉斯的逆变换

t<0时

f(t)=0

t>0时

单边拉普拉斯逆变换和

双边拉普拉斯逆变换表达式是一致的

单边拉普拉斯变换简记为(3)式

为保证象函数 Fb(s)存在

积分式

必须收敛

那什么样的信号f(t)

保证积分式一定收敛呢

对此 存在如下定理

若因果函数f(t)满足两个条件

（1）在任意有限区间a

这个区间内可积

注意a大于0

b小于无穷

（2）对于某个

有f(t)的绝对值乘

的乘积项

在t趋于无穷时等于0

即(4)式成立

则在s平面上

的区域内

单边拉普拉斯变换积分定义（1）式

绝对且一致收敛

条件（1）表明

函数f(t)可以包含有限个间断点

但只要其曲线下的面积是有限值

这样的f(t)肯定也满足条件（2）

因此 这样的f(t)其象函数

在整个S平面内都是存在的

条件（2）表明

f(t)可以是递增函数

只要它能被某些递减的更快的

指数函数“拉拽”下来即可

即你增我减

增的没有减的快

具有这样特征的f(t)函数

称为

指数阶函数

在这儿要注意

有些函数满足条件(2)

但不一定满足条件(1)

比如

这样的函数

满足条件(2)

但在0到b区间的积分是无界的

即不满足条件(1)

故不存在拉普拉斯变换

收敛定理表明

满足条件(1)和(2)的因果信号f(t)

存在拉普拉斯变换

其收敛域为收敛边界

的右半平面

对于单边拉普拉斯变换的收敛定理

大家看看例题

先看例1

如图1所示的时间有限信号f(t)

其象函数要存在

要求(5)式绝对可积

由于(5)式的积分区间是

针对时间有限信号

变换成从T1到T2的积分

而T1到T2的积分区间内

乘积项信号绝对可积

即(6)式成立

因此时间有限信号的收敛域

为整个S平面

或者写成

再看看

指数阶函数

要求t趋于无穷时

等于0

是递增函数

是递减的函数

可见

增的没有减的快

t趋于无穷时

等于0

故函数

收敛域为

要求t趋于无穷时

等于0

可以推出

收敛域为

要求t趋于无穷时

可以推出

收敛域为

要求t趋于无穷时

可以推出

收敛域为

这样的函数

增长比任何阶的指数函数都要快

其拉普拉斯变换是不存在的

定义了单边拉普拉斯变换

分析了其收敛定理

讨论单边拉普拉斯变换需要强调

(1)拉普拉斯正变换的积分下限值是0负

这样定义把 t=0 时出现的

冲激及冲激高阶也包含了进去

因此在利用拉普拉斯变换

求解微分方程时

可以直接引用已知的初始状态f(0-)

(2)拉普拉斯逆变换的积分项

相对双边拉普拉斯变换并不改变

(3)f (t) 的单边拉普拉斯变换和

双边拉普拉斯变换是一样的

或者说f (t) 的单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换是一样的

(4)信号 f (t) 与其单边拉普拉斯变换

F(s)是一一对应的

F(s)的收敛域在某个值的右半平面

因此以后讨论时

单边拉普拉斯变换收敛域不再强调

而且说到拉普拉斯变换

指的就是指单边拉普拉斯变换

这几点在今后的学习中慢慢体会

但一些常用信号的拉普拉斯变换

则要求大家掌握

常用信号的单边拉普拉斯变换

我们讲六个

(1)冲激函数

把f(t)等于

代入F(s)的定义式中

函数的筛选性得出F(s)=1

函数的拉普拉斯变换为常数1

积分时S的取值

并不影响积分结果

故

收敛域为整个s平面

可以对比其傅里叶变换

函数的傅里叶变换也是1

代入F(s)的定义式中

可以算出F(s)=s

函数的拉普拉斯变换为s

同样 积分时S的取值

也不影响积分结果

故其收敛域也为整个s域平面

对比其傅里叶变换

函数的傅里叶变换为

代入F(s)的定义式中

可以算出F(s)=s的N次方

函数的拉普拉斯变换为s的n次方

收敛域也是整个s域平面

对比其傅里叶变换

n次方

代入F(s)的定义式中

可以算出F(s)=s减1/s0

函数的拉普拉斯变换为

S-1/S0

积分要存在

必须保证收敛域为S的实部

大于S0的实部

如果S0等于实数

可以得出

拉普拉斯变换为

收敛域为S的实部大于

拉普拉斯变换为

收敛域为S的实部大于

傅里叶变换为

如果S0等于纯虚数

可以得出

拉普拉斯变换为

收敛域为S的实部大于0

拉普拉斯变换为

收敛域为S的实部也是大于0

特殊地

S0等于0时

把f(t)等于

代入F(s)的定义式中

可以算出F(s)等于s分之一

故阶跃函数

拉普拉斯变换为S分之一

收敛域为S的实部大于0

对比阶跃函数的傅里叶变换为

(5) gτ(t-τ/2)门函数

把其代入F(s)的定义式中

积分区间从0到正无穷变成0到τ

可以算出

故gτ(t-τ/2)

门函数的拉普拉斯变换为

收敛域为整个S平面

把其代入F(s)的定义式中

采用分部积分可以算出

F(s)=s平方分之一

拉普拉斯变换为

s平方分之一

收敛域为S的实部大于0

这六个常用信号的拉普拉斯变换

希望大家多多练习并记住

最后再来比较一下双边拉普拉斯变换

和单边拉普拉斯变换

(1)对于因果信号f(t)

若拉普拉斯变换存在

则双边拉普拉斯变换Fb(s)

等于单边拉普拉斯变换F(s)

且收敛域相同

均为S实部大于某个值的右半平面

其双边拉普拉斯变换为

收敛域为S的实部大于负2

单边拉普拉斯变换F1(s)

也等于

第二点 对于反因果信号f(t)

若双边拉普拉斯变换Fb(s)存在

则收敛域为某个值的左半平面

而任何反因果信号的

单边拉普拉斯变换均为零

如函数

其双边拉普拉斯变换为

收敛域S的实部小于负3

单边拉普拉斯变换

F2(s)=0

(3) 对于双边信号f(t)

若它的双、单边拉普拉斯变换存在

双边拉普拉斯变换Fb(s)

与单边拉普拉斯变换F(s)是不相等的

其收敛域也不相同

双边拉普拉斯变换的收敛域为

大于某个值而又小于某个值的

带状区域

而单边拉普拉斯变换的收敛域

为某个值的右边平面

存在双边拉普拉斯变换Fb(s)的

双边信号一定存在

单边拉普拉斯变换F(s)

但反之则不一定成立

如函数

双边拉普拉斯变换

收敛域为负3小于S的实部小于负2

而单边拉普拉斯变换

(4) 单边拉普拉斯变换的象函数F(s)

与时域原函数f(t)总是一一对应的

但双边拉普拉斯变换则有多种可能

也就是说双边拉普拉斯变换

象函数一致

收敛域不一样

那么它的原函数是有多种的

还是看象函数

如果是单边拉普拉斯变换

则原函数只能是

但如果是双边拉普拉斯变换

则必须看收敛域

如果收敛域为s的实部大于负2时

原函数

收敛域为s的实部小于负3时

原函数是

收敛域为负3小于s的实部小于负2时

原函数是

可见 对于双边拉普拉斯变换

相同的象函数

收敛域不同

对应的原函数是不同的

因此 对于双边拉普拉斯变换

必须标明收敛域

而单边拉普拉斯变换

与原函数一一对应

通常不标注收敛域

与傅里叶变换相比

拉普拉斯变换对时间函数

f(t)的限制要宽松很多

象函数F(s)是复变函数

可以用复变函数理论

研究线性系统的各种问题

方便好用

但定义计算比较复杂

我们可以灵活运用

拉普拉斯变换的各种性质来进行计算

拉普拉斯变换的各种性质

下一节再讲

今天就讲到这里

谢谢