视频4-5 傅里叶变换的性质（1）在线视频

大家好今天我们来学习傅里叶变换的性质这部分内容

傅里叶变换具有唯一性

时域信号和其频谱函数是唯一对应的关系

傅里叶变换的性质揭示了信号的时域特性和

频域特性之间的确定的变化联系

讨论傅里叶变换的性质目的在于

了解特性的内在联系

利用性质求一些信号的傅里叶变换

了解傅里叶变换在通信系统领域中的应用

本讲主要介绍傅里叶变换性质中的线性 奇偶性 对称性

尺度变换时移特性和频移特性六个性质

如果f1(t)↔F1(jω) f2 (t)↔F2 (jω)

则对任意常数a1 和a2 有

如（1）式所示

线性性质包括齐次性和可加性

齐次性表示当信号f(t)增大a倍其频谱函数也增大a倍

可加性表示几个信号之和频谱函数就等于各信号频谱函数之和

求阶跃函数的傅里叶变换就可以利用线性性质

如图1所示ε(t)=1/2+1/2sgn( t)

1↔2πδ(ω) sgn( t)↔2/jω

利用线性性质就得到ε(t)πδ(ω)+1/jω

关于奇偶性我们在这里只分析f(t)为实函数的情况

将傅里叶变换的定义按照欧拉公式重新写为下式

这是一个复函数

可以表示为实部R(w)+j乘虚部X（w）的形式

也可以表示为|F(jω)|e^(jφ(ω))

其中幅度谱|F(jω)|=√(R^2 (ω)+X^2 (ω))

相位谱φ(ω)=arctan〖(X(ω))/(R(ω))〗

显然频谱函数的实部和幅度谱都是关于ω的偶函数

频谱函数的虚部和相位谱都是关于ω的奇函数

如果f(t)是偶函数和sin相乘为奇函数

在对称区间积分为0即频谱函数的虚部为0

只有实部此时F(jw)为实 偶函数

如果f(t)是奇函数和cos相乘为奇函数

在对称区间积分为0即频谱函数的实部为0

只有虚部此时F(jw)为纯虚 奇函数

另外当信号在时域反转时其频谱函数在频域也反转

如（2）式所示这一特点也称为反转性

若f(t)↔F(jω)

那么将频谱函数F(jw)中的w换成t得到信号F(jt)

即这个两个函数的形式完全相同

只是换掉了自变量一个在频域一个在时域

则F(jt)的频谱函数为2πf(-ω)

即将原时域信号f(t)中的自变量t换为-w

并乘上系数2pai这就是傅里叶变换的对称性如（3）式所示

我们从图形上来直观的展示这一对称关系

如他2所示δ(t)的频谱是1

将频谱函数中的w变为t时域里得到的是单位直流信号

则单位直流信号的频谱就是将这里δ(t)中的t变为-w

再乘系数2pai冲激函数为偶函数

即得到2πδ(ω)与之前的结论一致

例3求图（3）所示Sa函数的频谱函数

利用对称性来求信号的频谱时

首先要在频域找到一个和这个信号相同形式的频域函数

我们知道门函数的傅里叶变换就是Sa函数

这里需要得到Sa(w)就令τ=2

即g2(t)↔2Sa (ω)

利用对称性得到2Sa (t)↔2πg2 (-ω)约掉系数2

即得到Sa (t)↔πg2 (ω)

可见门函数的频谱是取样函数

时域取样信号的频谱是一个门函数相互之间具有对称关系

利用对称性可以使我们之前所得到的常用

傅里叶变换对的结论进行扩展

若f(t)↔F(jω)在时域进行尺度变换得到f(at)

则其傅里叶变换就是1/|a| F(j ω/a)

a是不等于0的常数如（4）式所示称为尺度变换性质

观察（4）式在时域是给自变量t乘以a

在频域是给自变量w除以a是相反的

我们以门函数和Sa函数这一对傅里叶变换对来进行具体分析

如图4所示f(t)的时域宽度为τ频谱的带宽为2π/τ

f(t/2)在时域扩展两倍时域宽度变为2τ

由尺度变换性质其频谱函数为2F(jw)

相比原频谱函数F(jw)压缩了一半带宽变为π/τ

f(2t)在时域压缩一半时域宽度变为τ/2

由尺度变换性质其频谱函数为1/2F(jw/2)

相比原频谱函数F(jw)扩展了两倍带宽变为4π/τ

可见时域的扩展对应频域的压缩

时域的压缩对应频域的扩展

即信号在时域的持续时间与信号在频域的占有频带成反比

在信号传输时

要在减小信道带宽的条件下实现信号的无失真传输

则必然要增加信号在时域中的持续时间

即降低信号在时域中的传输速度

反之要将信号的持续时间缩短

以加快信息传输速度就要在频域内展宽频带

这正是宽带网能实现信号高速传输的原理

特殊的将（4）中a取为-1

得到f(-t)↔F(-jω)进一步验证了反转性质

若f(t)↔F(jω)则

f(t±t0)↔F(jω)e^(±jωt0)t0为常数如（5）式所示

也就是f(t-t0)↔F(jω)e^(-jωt0 )

将F(jw)表示为|F(jω)| e^(j(ω))代入将指数函数合并在一起

发现当信号在时域移位其幅度谱不变而相位谱产生了移位

说明信号在时域中的移位对应频谱函数在频域中的相移

将时移特性和尺度变换结合在一起又可以得到（6）式

例4求如图5（a）所示信号f(t)的频谱函数

f(t)可以看做由如图b所示的f1(t)加上如图C所示的f2(t)构成

这里f1 (t)=g6 (t-5)根据时移特性和

相关结论其频谱函数为6Sa(3ω)e^(-5jω)

这里f2 (t)=g2 (t-5)其频谱函数为2Sa(ω)e^(-5jω)

则得到信号f(t)的频谱函数F(jw)

当信号在时域移位时其频谱在频域会产生相移

那么

当信号的频谱在频域进行移位其时域又会发生什么变化呢

我们来分析频移特性

若f(t)↔F(jω)则e^(jω0 t)f(t)↔F[j(ω±ω0)]

这里w0为常数如（7）式所示

对比时移特性发现

当在一个域移位另外一个域的函数就乘上虚指数函数

要注意的是时移特性时域和频域的正负号是一致的

而频移特性时域和频域的正负号是相反的

已知信号f(t)的傅里叶变换是F(jω)

求信号e^(-j2t) f(3t-5)的傅里叶变换

所求信号的形式比较复杂需要用到多个性质

我们逐个来进行分析

已知f(t)的傅里叶变换是F(jω)f(t-5)在时域进行了移位

利用时移特性频域里给F(jω)乘上e^(-j5ω)

接着f(3t-5)在上一步的基础上给t乘了一个3

时域进行了尺度变换

利用尺度变换性质频域里对每个w除以3

并统一乘系数1/3

最后e^(-j2t) f(3t-5)时域乘虚指数函数则频域要进行移位

利用频移特性在频域里对每个w加2

得到最终的频谱函数

这里用到了时移特性 尺度变换性质及频移特性

需要注意的是当使用多个性质时

要注意性质使用的顺序建议在最后使用频域特性

频移特性在信号的调制

解调和频分复用等方面有重要应用

实质都是频谱搬移我们以幅度调制为例进行分析

我们在日常交谈时两个人都是离得比较近的

如果对方距离你太远你再大声喊他也听不见

但是我们在听广播的时候

播音员在电台工作室里播放节目

我们远在几十 几百公里之外都可以收听到电台节目

这又是为什么呢

语音信号频率在20Hz~20KHz之间是一个低频信号

电台节目频率一般都是MHz这是高频信号

无线电传输系统中

信号发射天线的尺度大约为信号波长的十分之一

信号的波长λ=(3×10^8)/f

取到语音信号的最高频率20KHz

得到波长为15000米

如果直接对这样的低频信号通过天线发射出去

就需要有一个1500米长的天线这显然是不现实的

为了减小天线的尺寸就要减小波长也就是要提高信号的频率

比如北京交通广播电台的频率为103.9MHz

代入得到信号波长大约是3米天线长度可以取为30cm

这显然是可以实现的

所以为了能够将低频信号进行远距离的无线传输

需要将低频信号搬移到高频处

如何来实现频谱的搬移呢f(t)↔F(jω)

要在频域对频谱进行搬移那么按照频移特性

在时域需要给f(t)乘上虚指数函数

但是虚指数函数在实际中是无法产生的这又该怎么办呢

根据欧拉公式指数函数可以转化为三角函数

那我们可以给f(t)乘上一个cos( ω0 t)

根据频移特性频域里频谱幅度减半左右搬移w0

实现了频谱搬移

如图6所示可以通过一个乘法器来进行实现频谱搬移

比如我要去北京出差

靠两条腿走着去显然是不现实的

我可以搭载交通工具比如乘飞机两个小时就到了

这里的飞机是一个载体

搭乘飞机我们就可以进行远距离的旅行

这里需要进行传输的信号f(t)称为调制信号

它是一个低频信号要将它进行远距离的传输

也需要一个载体这里就取为一个高频的余弦信号

称为载波

如何将调制信号加载到载波上呢

通过一个乘法器就可以实现了

相乘以后得到的信号称为已调信号这仍然是一个高频信号

已调信号的包络与调制信号的幅度相同

就是用调制信号的幅度去控制了载波信号实现了幅度调制

调制信号f(t)的频谱如图这是一个低频信号

这是已调信号的波形

根据前面的结论

f(t)cos( ω_0 t)↔1/2 F[j(ω-ω0)]+1/2 F[j(ω+ω0)]

如（8）式所示得到已调信号的频谱如图

可见将低频信号搬移到了高频处实现了调制

所以为了实现有效可靠远距离的传输就需要进行调制

本讲主要介绍了傅里叶变换的性质

包括线性 反转性 对称性 尺度变换 时移特性和频移特性

其中又以对称性时移特性和频移特性在

随后的系统频域分析中应用更多要重点掌握

本讲内容就到这里

谢谢大家