视频4-8 连续系统给的频率响应在线视频

大家好

本讲介绍连续系统的

频率响应相关内容

那为什么要研究频率响应呢

我们看下面这个例子

这是一段受到噪声干扰的歌曲

通过系统1进行处理

来听一下处理后的效果

通过系统2进行处理

听一下处理后的效果

听起来两个系统都滤除掉了

信号里的干扰噪声

而且系统2的处理效果

要比系统1的处理效果好

这是含噪信号的时域波形

这是系统1的冲激响应波形

这是系统2的冲激响应波形

在时域里输入信号与系统的

冲激响应卷积得到系统输出

为什么通过这样的系统

就能够去除信号的噪声

而且系统2的处理效果

要好于系统1呢

在时域里很难对这样的

处理效果进行表述

我们需要寻求其他的表述方法

对于LTI连续系统

求激励f(t)通过系统的

零状态响应yzs(t)

基本思路是选取冲激函数

delta（t）作为基本信号

用不同强度、不同位置冲激函数的

线性组合表示一般信号f(t)

delta（t）通过系统的响应为

冲激响应h(t)

根据系统的线性和时不变性

就可以用h(t)的线性组合表示yzs(t)

所得出来的结论

就是yzs(t)=f(t)*h(t)

另一方面

利用傅里叶变换

非周期信号可以表示为

虚指数信号ejwt的线性组合

周期信号利用傅里叶级数可以表示为

虚指数信号ejnΩt的线性组合

nΩ=w

那么这里可以选取虚指数信号ejwt

作为基本信号

分析它通过系统的响应

从而进一步利用系统的线性和

时不变性表示出一般信号的响应

LTI连续系统的时域特性

可以由冲激响应h(t)表示

那么在频域里如何表示系统的特性呢

这就是我们本讲要研究的内容

频率响应

主要从频率响应的定义

正弦信号激励下的稳态响应

和频率响应的求解

三个方面进行介绍

首先研究基本信号

虚指数信号通过LTI系统的响应

系统的零状态响应就等于

激励和冲激响应的卷积

代入卷积的定义

这里积分变量是τ

t是和τ无关的量

可以将ejwt提到积分外面

观察这一积分

符合傅里叶变换的定义

可以表示为H(jw)

也就是说

虚指数信号通过LTI系统的响应

仍为同频率的虚指数信号

信号的改变由H(jw)决定

H(jw)就是冲激响应h(t)的傅里叶变换

就称作频率响应

也可以称作传输函数或系统函数

得出了基本信号通过LTI系统的响应

那我们再来分析一般信号

通过系统的响应如何来求解

给激励乘上2pai分之F(jw)dw

按照线性系统的齐次性

响应同样也乘上这一部分

在上一步的基础上对激励积分

按照线性系统的可加性

响应进行同样的积分

这样 激励f(t)表示成了

傅里叶逆变换的形式

响应同样也表示成了

傅里叶逆变换的形式

得到y(t)的频谱函数为

Y(jw)=F(jw)H(jw)

也就是y(t)的傅里叶变换

（1）式反映了激励、系统和响应

在频域的关系

是在频域求响应的重要依据

从而也得到了频率响应的定义

频率响应H(jw)定义为系统响应的

频谱函数比上激励的频谱函数

H(jw)一般是复函数

可以表示成

反映了系统在不同频率上

对输入信号在幅度上的改变

称为幅频特性或幅度响应

反映了系统在不同频率上

对输入信号在相位上的作用

称为相频特性或相位响应

激励和响应也可以表示成这种形式

进一步得到系统的幅频特性

就等于响应的幅频与激励幅频之比

而系统的相频特性

就等于响应的相频

减去激励的相频

当h(t)为实函数

幅频特性为w的偶函数

相频特性为w的奇函数

这与傅里叶变换的奇偶性是一致的

要注意的是

频率响应可以由系统输出与输入的

频谱函数之比计算求得

但频率响应反映了系统

在频域的传输特性

与激励、响应这些外部的因素是无关的

就像对于电阻

可以利用电阻两端的电压和

通过电阻的电流之比

求得电阻的阻值

但是电阻的阻值是固有特性

并不是由电压和电流决定的

对于LTI连续系统

在时域里

响应由激励和冲激响应的卷积求得

在频域里

系统把输入信号频谱F(jw)

改变成F(jw)H(jw)

改变的规律完全由H(jw)决定

频率响应H(jw)就反映了系统

对输入信号不同频率分量的

传输特性

下面我们看一个单频的正弦信号

通过LTI连续系统的响应

根据欧拉公式

可以将正弦信号表示为

两个虚指数信号

输出则为同频率的激励

乘同频率的频率响应

将频率响应表示成幅度响应

和相位响应的形式

利用奇偶性

将共同项

再利用欧拉公式

整理后得到响应如（3）式所示

激励为正弦信号的响应

也就是稳态响应

对于余弦信号也有相应结论

如（4）式所示

也就是说

频率为w0的正弦（余弦）信号

通过LTI连续系统的响应

仍为同频率的正弦（余弦）信号

响应的幅度改变由系统的

幅频特性确定

响应的相位改变由系统的

相频特性确定

频率响应描述了系统频域的重要特性

那么该如何来求频率响应呢

主要有以下几种情况

由冲激响应求频率响应

例1 已知某LTI连续系统的冲激响应

求该系统的频率响应

利用h(t)和H(jw)的关系

对h(t)取傅里叶变换即得到频率响应

根据单边指数函数傅里叶变换的结论

得到H（jw）

并进一步整理

由微分方程求频率响应

例2 描述连续LTI系统

微分方程如（5）式所示

描述了激励和响应在时域的关系

对微分方程取傅里叶变换

并利用时域微分性质

得到（6）式

描述了激励和响应在频域的关系

频率响应等于响应的频谱函数

比上激励的频谱函数

得到结果如（7）式所示

我们再次看到

尽管频率响应定义为输出

与输入的频谱函数之比

但它只与系统本身的结构和参数有关

反映了系统本身的特性

就像对于一个确定的连续系统

其冲激响应是唯一确定的

每一个系统也只对应

唯一的一个频率响应

由电路求频率响应

例3 如图1所示RC电路

电压源us(t)为激励

电容两端的电压uc(t)为响应

电路的初始状态为零

求系统的频率响应 H（jw）

频率响应定义为输出与输入的

频谱函数之比

根据相量法

再利用分压原理

得到H(jw)

并进行整理

求得了图1所示电路的频率响应

并进一步分析该系统的频域特性

分别表示出幅频特性和相频特性

画出系统的幅频特性如图2所示

观察到随着频率的增加

系统的幅度不断减小

说明信号的频率越高

信号通过该系统的损耗也就越大

系统对输入信号的低频部分损耗小

高频部分损耗大

这是一个低通滤波器

该系统的1/RC频率为3dB截止频率

在这一频率处

幅度衰减为原来的

即为半功率点

转化为dB单位就是3dB

3dB截止频率是用来说明

频率特性指标的一个特殊频率

再回到本讲开始提出的问题

对于受到噪声干扰信号的去噪问题

在时域里难以描述系统

对输入信号的处理效果

从频域观察

这是含噪信号的幅度谱

看到在14000Hz附近有一个

高频干扰噪声

这是系统1的 幅频特性

衰减掉了大于14000Hz的高频信号

具有低通特性

通过系统后输出的幅频特性如图所示

大于14000Hz的高频分量都被滤除

除了干扰噪声

原信号的部分高频分量也滤除掉了

所以在滤除噪声的同时

信号的质量也有所下降

我们再听一下处理效果

这是系统2的幅频特性

对14000Hz附近的频率成分衰减大

更低和更高频率成分衰减小

具有带阻特性

通过系统后输出的幅频特性如图所示

14000Hz附近的噪声干扰被滤除

原信号的高频分量仍保持

我们听一下处理效果

要好于系统1的处理效果

可见利用频率响应可以直观地

分析系统对输入信号

不同频率成分的处理效果

本讲主要介绍了连续系统

频率响应的相关内容

频率响应定义为系统

输出与输入信号的频谱函数之比

反映了系统对输入信号

不同频率分量的传输特性

对于正弦信号的稳态响应

仍是同频率的正弦信号

输出信号的幅度由幅频特性确定

输出信号的相位由相频特性确定

对于频率响应的求解

可以由冲激响应直接取

傅里叶变换得到

已知微分方程的话

对微分方程取傅里叶变换

并利用时域微分特性求得频率响应

如果已知系统的电路

可以利用向量法求得系统的频率响应

本讲内容就到这里

谢谢大家