视频 5-7 拉普拉斯变换的应用_电路的S域分析在线视频

大家好

前面我们学习了LTI连续系统的

复频域分析

今天 这一讲我们应用拉普拉斯变换来

分析线性电路

基尔霍夫定律是分析和计算

较为复杂电路的基础

是电路中电流电压遵循的基本定律

它建立在电荷守恒定律

欧姆定律及电压环路定理的基础之上

包含两个定律

一个是基尔霍夫电流定律

简称KCL

KCL指的是

电路中任一个节点上

在任一时刻

流入节点的电流之和等于

流出节点的电流之和

如1a式所示

另一个是基尔霍夫电压定律

简称KVL

KVL指的是

在任何一个闭合回路中

各元件上电压降的代数和

等于电动势的代数和

也就是说

从电路中某一点出发

绕回路一周

回到该点时

各段电压的代数和恒等于零

如式1b所示

采用拉普拉斯变换分析电路

设电流ij(t)的象函数为ij(s)

电压uj(t)的象函数为uj(s)

则基尔霍夫定律变成2a式和2b式

也可说S域的基尔霍夫定律

通过拉普拉斯变换

把时域电路模型变换成

S域的电路模型

再采用

如支路电流法

回路电流法

结点电压法

戴维南定理

叠加定理等等方法

在S域对电路进行具体分析

各种方法

大家在分析的时候

要根据电路的结构

具体运用

分析电路时

先看电路元件的S域模型

电路的基本元件有三个

电阻R、电感L和电容C

电阻R的时域模型如图1a所示

时域中

电阻R两端的电压u与流过电阻的

电流i成正比

即u(t)等于R乘i(t)

反之 i(t)等于R分之一乘U(t)

表示成3式

把3式做拉普拉斯变换

得4式

即 S域中

u(s)等于R乘i(s)

i(s)等于R分之U(s)

画出电阻的S域模型图

为图1b所示

其结构和时域结构一模一样

电感L是有记忆元件

假设其初始存储的电流为iL(0-)

电感L的时域模型如图2a所示

时域中

电感L两端的电压u是流过

电流i的微分

可表示成5式

反之 流过电感的电流i

是电感两端电压u的积分

可表示成6式

分别对5式和6式做拉普拉斯变换

根据拉普拉斯变换时域的微积分定理

5式对应的S域表达式为7式

6式对应的S域表达式为8式

所以 电感L的s域模型可以根据7式

画出为串联形式

也可以根据8式画出成并联形式

串联形式的电感S域模型看成是

值为LS的电感和一个负电压源

L倍iL(0-)的串联

并联形式的电感S域模型看成是

值为LS的电感支路和一个电流源为

s分之iL(0-)的支路相并联

不管是串联形式

还是并联形式的S域电路模型

大家一定要注意正负极

电容C也是有记忆元件

假设其两端初始电压值为uc(0-)

电容C的时域模型如图3a所示

时域中

流过电容C的电流i是电容C

两端电压u的微分

可表示成9式

反之 电容两端的电压u是流过

电容的电流i的积分

可表示成10式

分别对9式和10式做拉普拉斯变换

根据拉普拉斯变换时域的微积分定理

9式对应S域表达式为11式

10式对应的S域表达式为12式

所以 电容的s域模型也有

串并联两种形式

如图3b所示

根据11式画出的并联形式

看成是

值为S分之一的电容支路

和一个负电流源C倍uc(0-)相并联

根据12式画出的串联形式

看成是

值为SC分之一的电容与一个电压为

s分之uc(0-)的电压源串联

通过拉普拉斯变换

获知了RLC元件的S域模型

为电路的S域模型和分析

打下了一定的基础

已知电路的电源电压或电源电流

分析电路的响应时

要按照分析步骤一步一步的进行

最先求元件的初始状态

uc(0-)和iL(0-)

然后将原电路中已知的电压源

电流源变换成象函数

同时把未知的电压

电流也要用其象函数表示

再根据各电路元件的s域模型

用各元件的S域模型替代电路中

各元件的时域模型

画出分析电路的s域模型

这里要注意

元件的初始状态会变换成相应的

内部象电源

针对具体的s域电路模型

采用电路分析的各种方法来分析电路

再列出方程

解出所含未知相应的象函数

最后取拉普拉斯逆变换

就得到所求的时域响应

按照分式一步一步的来分析电路

大家看例题

例1 如图例1a所示的电路

各元件参数已知

原电路已处于稳定状态

当t=0时

开关S闭合

求S闭合后

电阻R3两端电压的零输入响应

yzi(t)和零状态响应yzs(t)

大家看图

根据S电路的分析步骤

该题元件的初始状态未知

故应该第一步求元件的初始状态值

由电路可知

开关S闭合前

电阻R2 R3串联后和电容C并联

再和电阻R1

电感L串联

电压源已知为直流电压源

由于电感L对直流短路

电容C对直流开路

所以电路是三个电阻R1 R2 R3的

串联电路

开关S闭合前

电容的初始电压就是电阻R2 R3

串联电阻两端的电压

也就是说

uc(0-)等于

代入数值可得

uc(0-)等于6伏

流过电感L的初始电流为

iL(0-)等于us除以R1+R2+R3

代入数值

iL(0-)等于2安

求出元件的初始状态值后

第二步 画开关闭合后的电路s域模型

开关S闭合后

由图可知

电阻R2被短路

结点a处变成3个支路的汇合

把电压源us(t)转换成

象函数Us(s)

电阻R1 R3转换成S域的R1 R3

同时把R3两端的输出电压y(t)

转换成Y(s)

电感L和电容C转换成

串联形式的S域模型

这样 时域电路图例1a

就转换成了S域电路图例1b

大家看图

有了S域电路模型

第三步 列含有未知响应

象函数的方程并求解

在图例1b中

根据基尔霍夫电流定律

列出结点a的结点方程

如13式所示

13式等号右端是结点a流出的电流

流出的电流等于电压乘导纳

等号右端是各支路流进的电流

根据基尔霍夫定律

流出的电流等于流进的电流

把已知的各元件值代入(13)式

可以得到(14)式

整理14式

并把含有初始值的uc(0-)

和iL(0-)的值合成一项

把含有激励电压源Us(s)的看成一项

写成15式

由15式可判断

和初始值相关的项

为零输入响应的象函数

和激励相关的项

为零状态响应的象函数

所以零输入响应yzi(t)的象函数

Yzi(s)

等于15式等号右端的第一项

即Yzi(s)等于

零状态响应yzs(t)的象函数

Yzs(s)

等于15式等号右端的第二项

即Yzs(s)等于

代入第一步算出的初始值uc(0-)

等于6伏和iL(0-)等于2安

则Yzi(s)等于

采用部分分式展开成

再取其拉普拉斯逆变换

算出yzi(t)等于

代入Us(t)等于12伏

其象函数为s分之12

得出Yzs(s)等于

可以部分分式展开成

所以 Yzs(t)等于

例2 在如图例2a所示的

常用分压电路中

以U1(t)为输入

以U2(t)为输出

试分析

为使输出不失真

电路各元件应该满足的条件

该题为简化起见

假设电路中的初始值Uc1(0-)

Uc2(0-)均为零

由于该题的初始值等于零

则S域分析第一步

把时域电路转换成S域电路模型

由于不用考虑初始值代表的

内部象电源

所以S域电路结构与

时域电路结构一模一样

只是U1(t)变成了U1(s)

U2(t)变成了U2(s)

C1变成sC1分之一

C2变成sC2分之一

如图例2b所示

在图例2b所示电路中

R1支路和sC1分之一的

电容支路并联

R2支路和sC2分之一的

电容支路并联

令R1和sC1分之一并联支路的

阻抗为Z1(s)

R2和sC2分之一并联支路的

阻抗为Z2(s)

由于并联支路导纳值可直接相加

所以不求阻抗

而是求导纳

导纳Y1(s)等于阻抗Z1(s)分之一

等于(R1分之一加SC1)

导纳Y2(s)等于阻抗Z2(s)分之一

等于(R2分之一加SC2)

所以 系统函数H(s)根据定义

是响应比激励

即U2(s)比U1(s)

等于Z1(s)+Z2(s)分之Z2(s)

等于Y1(s)+Y2(s)分之Y1(s)

再把算出的导纳Y1(s)和Y2(s)的

表达式代入

得出H(s)如16式所示

经过化简后

表示成17式

17式中的α表示成18式

由频域分析的结论可知

在时域时

不失真传输的条件是

系统的冲激响应h(t)为

K是常数

代表不失真系统对激励的幅度影响

td也是常数

代表响应相对于激励的时延

为了简化

因为td只影响相位

不影响幅值

这里可假设td=0

把时域h(t)换到复频域H(s)

为使输出不失真

即要求系统函数H(s)是实常数

由17式可知

要求系统函数H(s)是实常数

则17式中的第二项应该为零

第二项分子为R2*C2

减R1*C1应该等于零

所以得出结论

仅当R1*C1=R2*C2时

系统H(s)为常数

且有H(s)等于U1(s)分之U2(s)

等于(C1+C2)分之C1

等于(R1+R2)分之R2

再对H(s)做拉普拉斯逆变换

算出h(t)等于

所以输出电压U2(t)

等于输入激励U1(t)和系统冲激响应

h(t)的卷积运算

即U2(t)等于U1(t)卷积h(t)

等于

通过分析例2可知

通过两个不同支路电容和电阻的并联

满足条件R1*C1=R2*C2时

达到了分压的目的

输出和输入激励的波形相同

因此 常常在许多的设备、仪器中

作为分压器使用

通过例题讲解可知

应用拉普拉斯变换这个分析工具分析电路

关键在于

电路S域模型的建立

以及电路的基本定律

和电路分析方法的掌握

大家在以后的学习中

抓定义

注意条件等细节

多练习

熟才能生巧

今天就讲到这里

谢谢