视频 5-1 拉普拉斯变换与收敛域在线视频

大家好

今天我们学习拉普拉斯变换的

定义和收敛域

信号与系统的分析既可以从时域进行

也可以从变换域进行

连续系统的变换域分析主要是两种

一种是频域分析

即傅里叶变换

傅里叶变换的定义如(1)式

频域分析以虚指数信号

为基本信号

任意信号分解为众多

不同频率的虚指数分量

而LTI系统的响应是输入信号

各分量所引起响应的积分

另一种是复频域分析

即拉普拉斯变换

其表达式如(2)式所示

也称S域分析

S域分析以复指数函数

为基本信号

任意信号可分解为众多

不同复频率的复指数分量

而LTI系统的零状态响应是

输入信号各分量所引起响应的积分

而且如果考虑到系统的初始状态

系统的零输入状态也可以同时求得

得到系统的全响应

相比于时域分析

频域分析的响应的求解会得到简化

通过傅里叶变换

把系统的微分方程变换为代数方程

时域卷积运算变换为简单的乘法运算

特别是 在有关信号的分析处理方面

如信号的谐波成分

系统的频率响应

系统的带宽

波形失真等的问题上

频域分析所给出的结果

都具有清楚的物理意义

傅里叶变换的诸多优势

使其在信号与系统分析中是常用的方法

但傅里叶变换存在的条件比较苛刻

时域内绝对可积的信号

才可能存在傅里叶变换

有些常用的信号

如阶跃信号

斜升信号等并不满足该条件

不能通过定义来求

还有一些信号如

指数上升的信号

根本不存在傅里叶变换

无法在频域分析

这是傅里叶变换的缺点之一

第二 傅里叶逆变换的表达式复杂

直接求解有时也是很困难的

第三 在系统分析时

频域分析只能求出零状态响应

无法求零输入响应

第四 频域分析虽然很好地

刻画了信号的频率特征

但不能同时提供任何时域信息

第五 傅里叶变换系数是

不随时间变化的常数

只适用于处理频谱成分不变的

平稳信号等等诸多缺点

故引入复频域变换

即拉普拉斯变换

通过拉普拉斯变换

可以

1 把线性时不变系统的

时域模型简便进行变换

经求解再还原为时间信号

2 拉普拉斯变换求解常系数

线性微分方程时

微分方程得到简化

变成代数方程

且初始条件自动包含在变换式中

3 拉普拉斯变换将时域中的

卷积运算变换成乘法运算

4 利用系统函数零点

极点分布

分析系统的规律

拉普拉斯变换有诸多的优点

那到底什么是拉普拉斯变换呢

以指数增长函数

a>0为例

该函数不存在傅里叶变换

其主要原因是当t趋于无穷时

信号的幅度快速增长

不满足傅里叶变换绝对可积的条件

为此 可以引用衰减因子

去乘信号f(t)

根据不同信号的特征

适当选取

的数值

使乘积信号

当t趋于无穷时

乘积信号幅值也趋于0

从而使积分(3)式收敛

再比如信号

不满足绝对可积的条件

只要满足条件

就绝对可积

再比如斜升函数

也不满足绝对可积的条件

只要满足条件

就绝对可积

由此可见

乘积信号

在适当选取

的数值时

(3)式积分是存在的

(3)式积分即乘积信号

的傅里叶变换

写成(4)式形式

根据傅里叶逆变换

表示成(5)式

(5)式两端同乘以

得信号f(t)的表达式

如(6)式所示

代入(4)式和(6)式

得到双边拉普拉斯变换的定义式

(7)式

(7)式中

Fbs称为f(t)的双边拉普拉斯变换

也称其为f(t)的象函数

时间函数f(t)称为Fbs的

双边拉普拉斯逆变换

即Fbs的原函数

f(t)和Fbs常常用双箭头表示

一对拉普拉斯变换对

由(7)式定义可见

双边拉普拉斯变换是将时间函数f(t)

变换为复变函数Fb(S)

拉普拉斯逆变换把复变函数Fb(S)

变换成时间函数f(t)

时域f(t)变量

t是实数

复频域Fb(S)的变量S是复数

又称“复频率”

拉普拉斯变换建立了

时域与复频域(S域)之间的的联系

只能描述振荡的重复频率

而S不仅能给出重复频率

还能给出振荡幅度的增长速率

或者衰减速率

把双边拉普拉斯变换定义(7)式中的

Fb(s)单独写成(8)式

使（8）式存在

取值范围称为Fb(s)的收敛域

或者说使乘积项

时域绝对可积的

称为双边拉普拉斯变换的收敛域

是S的实部

所以收敛域是复变量S

在复平面上的取值区域

简记为ROC

下面我们研究因果信号

和反因果信号两种情形

先看因果信号

因果信号根据定义

t<0时

f(t)等于零

比如

求其拉普拉斯变换

根据双边拉普拉斯定义(8)式

可以求得f1(t)函数

其双边拉普拉斯变换的象函数

Fb1(s)的值

当复变量S的实部

大于a时

Fb1(s)等于s-a分之一

等于a时

Fb1(s)是不能确定的

小于a时

Fb1(s)无界

取值范围在复平面画出来

可以得到该因果信号的收敛域

分两种情况

a>0时

收敛边界

大于0

Fb1(s)的收敛域是

收敛边界a的右半平面

收敛域不包含虚轴

当a<0时

收敛边界

小于0

Fb1(s)的收敛域仍然是

收敛边界a的右半平面

但此时虚轴

包含在收敛域中

通过例1分析

我们可以得出结论

因果信号的收敛域为

s平面上某直线的右半平面

再看反因果信号

反因果信号根据定义

t>0时

f(t)等于零

比如

求其拉普拉斯变换

根据双边拉普拉斯定义(8)式

可以求得f2(t)的双边拉普拉斯变换

象函数Fb2(s)的值

当复变量S的实部

小于b时

Fb2(s)等于

负s-b分之一

等于b时

Fb2(s)是不能确定的

大于b时

Fb2(s)无界

同样

取值范围在复平面表示出来

可以得到该反因果信号的收敛域

也分两种情况

当b>0时

收敛边界

大于0

Fb2(s)的收敛域是

收敛边界的左半平面

此时虚轴

包含在收敛域中

当b<0时

收敛边界

小于0

Fb2(s)的收敛域仍然是

收敛边界的左半平面

但此时虚轴

不包含在收敛域中

通过例2分析

我们可以得出结论

反因果信号的收敛域在

s平面上是某直线的左半平面

如果是双边信号呢

其象函数的收敛域取值范围

又是什么样的呢

我们看双边信号f3(t)

设f3(t)等于f1(t)加f2(t)

把f3(t)代入双边拉普拉斯变换

定义式(8)

得f3(t)的象函数Fb3(s)

等于Fb1(s)加Fb2(s)

当b>a时

Fb3(s)等于s-a分之一

减去s-b分之一

其收敛域为

小于b的带状区域

当b

Fb1(s)与Fb2(s)没有共同的收敛域

Fb3(s)不存在

通过双边信号f3(t)

其象函数的收敛域分析

得出结论

双边信号的收敛域为带状区域

通过分析因果信号

反因果信号和双边信号的

双边拉普拉斯变换

可知

求信号的双边拉普拉斯变换时

一定要注意象函数的收敛域

象函数相同

收敛域不一样

对应的原函数是不一样的

请看例4

是两因果信号之和

是两负反因果信号之和

是一因果信号减一反因果信号

f1(t)、f2(t)、f3(t)具有

不同的函数表达式

代入双边拉普拉斯来定义(8)式中

可算出其象函数

F1(s)、F2(s)和F3(s)

表示式却是一样的

都等于s+3分之一

加s+2分之一

但由于F1(s)的收敛域

是两因果信号

相函数收敛域的公共部分

相函数的收敛域是

相函数的收敛域是

所以F1(s)的收敛域是

这两部分的公共部分

F2(s)的收敛域是两反因果信号

相函数收敛域的公共部分

相函数的收敛域是

相函数的收敛域是

所以F2(s)的收敛域是

这两部分的公共部分

F3(s)的收敛域是一因果信号

加一反因果信号

那么其收敛域是这两信号的

收敛域的重叠部分

相函数的收敛域是

相函数的收敛域是

所以F3(s)的收敛域是

这两部分的公共部分

可见 象函数相同

但收敛域不同

求双边拉普拉斯变换时

一定要标明收敛域

双边拉普拉斯变换便于分析双边信号

但其收敛条件较为苛刻

限制了它的应用

实际应用时

信号都有初始时刻

可以设初始时刻为坐标的原点

这样

在t<0时有f(t)=0

双边拉普拉斯变换的定义

(8)式的积分区域

就从-∞到+∞变成了

0到+∞

双边拉普拉斯变换就变成

单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换运算简便

用途广泛

也是研究双边拉普拉斯变换的基础

我们下一节再讲

今天就讲到这里

谢谢