当前课程知识点：信号与系统分析 > 第三章 离散系统的时域分析 > 3-1 LTI离散系统的描述及经典解 > 视频3-1 LTI离散系统的描述及经典解
大家好
今天我们从时域分析的角度
来学习LTI离散系统的描述及经典解这一知识点
在离散系统中
对于给定的激励
根据描述系统响应与激励之间的差分方程
求出系统的响应
这种方法简单直观
物理概念比较清楚
是学习各种变换域方法的基础
差分方程与微分方程的求解方法
在很大程度上是相互对应的
这为我们学习提供了有利条件
但要十分注意它们之间的差异
对于单输入 单输出线性时不变离散系统
描述激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型是
n阶常系数线性差分方程
来看一个实际的例子
y(k)表示一个国家在第k年的人口数
常数a表示出生率
常数b表示死亡率
f(k)表示国外移民的竞争人数
该系统可以用一个一阶差分方程来描述
确知了LTI离散系统的描述是n阶常系数线性差分方程
首先来分析下差分方程的特点
本书中的差分方程若无特别说明
均采用后向差分形式
LTI离散系统与连续系统的分析方法有哪些相似
又有哪些区分呢
连续系统在时域采用微分方程来描述
离散系统采用差分方程来描述
在连续系统时域分析方法中
卷积积分具有重要的意义
在离散系统分析方法中
卷积和也具有同等重要的地位
在变换域分析方法中
连续系统采用傅里叶变换和拉普拉斯变换的分析方法
离散系统采用离散傅里叶变换和Z变换的分析方法
两种系统分析方法既相似又有所区别
特别要注意的是
连续和离散系统的系统函数描述方法之间的区别与联系
LTI离散系统采用N阶常系数线性差分方程来描述
求解方法主要有两种
第一种是迭代法
第二种是经典解法 齐次解+特解
迭代法是一种基础的求解方法
主要利用差分方程的递推关系
在已知初始条件和激励的情况下进行求解响应
例1给出了某系统的差分方程表示
初始条件与激励形式
迭代法的求解步骤为
第一步在方程左端
只保留y（k）
把其他项移到方程右端
第二步 把要求的时刻代入第一步的式子
根据已知的初始条件和激励的值
就可以求出该时刻的响应值
迭代法的优点是利用了递推关系
简单易求解
它的缺点是得不到响应的解析形式的闭合解
LTI离散系统求解响应的第二种方法是经典解法
齐次解+特解
如式6所示
差分方程的全解（也称完成解）由齐次解yh(k)加特解yp(k)组成
齐次解yh(k)是齐次差分方程的解
其函数形式由（6）式的差分方程的特征根确定
特解yp(k)的函数形式与激励函数的形式有关
那么求解的步骤如何
全解的形式是怎样的呢
一般经典法求解LTI离散系统差分方程的步骤为
第一步 先求齐次解yh(k)
根据齐次差分方程
写出齐次差分方程的特征方程式
从而得到特征根
再由不同的特征根形式
写出带待定系数的齐次解yh(k)
第二步 对于齐次差分方程描述的系统
由系统的初始值来确定齐次解中的待定系数
对于非齐次差分方程描述的系统
要在求出特解及全解的形式后
由系统的初始值来确定全解的待定系数
这里要注意不同的特征根
对应不同的齐次解形式
齐次解的形式见教材P87页的表3-1
齐次解的形式分四种情况
下面以齐次差分方程求响应来进行举例
已知系统方程初始状态
求系统的齐次解
根据解法步骤
第一步由差分方程可知
该系统的特征方程为
对于非齐次线性差分方程
接着需要求特解yp(k)
特解由激励的形式来决定
两者形式类似
如下表所示
教材87页表3-2中
列出了不同激励对应的特解形式
特解的求解方法为
根据已知的激励形式
设出含待定系数的特解函数式
把其代入原差分方程
比较系数来定出特解的系数
对于非齐次线性差分方程
在求出齐次解和特解后
差分方程的全解可表示为齐次解加特解如式6所示
全解的求解方法为
由于此时的完全解中只有特解的系数是确定的
齐次解中的系数还没有确定下来
这时可根据系统给出的初始值
把完全解中的待定系数确定下来
得到完全解
从上述分析中可知
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关
而与激励f(k)的函数形式无关
故称齐次解为系统的固有响应或自由响应
特解的函数形式由激励确定
称为系统的强迫响应
下面以例说明常系数差分方程全解的求解方法
通过实例可知
经典法从时域解LTI离散系统常系数线性差分方程
其全解分为
齐次解（自由响应）和特解（强迫响应）
LTI离散系统线性常系数差分方程的响应
也可以分为零输入响应 yzi(k) 和零状态响应 yzs(k)
下一节我们再讲
今天就讲到这里
谢谢大家
-1-1 绪言
--视频1-1 绪言
--课件1-1 绪言
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-1-2 信号的分类
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-1-3 信号的基本运算
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-2-1 LTI连续系统微分方程的经典解
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-2-4 卷积积分
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-2-5 卷积积分的性质
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-3-1 LTI离散系统的描述及经典解
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-3-3 单位序列响应和阶跃响应
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-4-2 周期信号的傅里叶级数
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-4-4 傅里叶变换
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-4-7 周期信号的傅里叶变换
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-4-8 连续系统的频率响应
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-4-9 LTI连续系统的频域分析
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-4-10 无失真传输与低通滤波
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-8-1 基于MATLAB的信号表示与可视化
-8-2 信号时域运算的MATLAB实现
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-8-3 卷积和与卷积积分的MATLAB实现
- 8-4 LTI系统时域分析的MATLAB实现
-8-5 连续信号频域分析的的MATLAB实现
-8-6 连续系统频域分析的的MATLAB实现
-8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--视频8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
--课件8-7 连续系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
-8-8 离散系统系统函数与系统特性的MATLAB分析
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