当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第一周：绪论及基础知识 > 拉普拉斯变换定义及性质（一） > 视频
同学们大家好
我们现在来学习拉普拉斯变换
相信有的同学以前已经学过
拉普拉斯变换
知道用拉普拉斯变换
来求解微分方程
大家可能已经发现拉普拉斯变换
是一个非常好用的工具
在自动控制理论里面
拉普拉斯变换也是非常重要的一个工具
我们将来会看到在求解传递函数的时候
其实就是用了这个拉普拉斯变换
我们首先来看一下拉普拉斯变换的定义
它的定义是这样的
对一个复值函数f(t)
如果是这样的一个积分
在复平面上的某个区域里收敛于F(s)
我们就称F(s)是这个函数
f(t)的拉普拉斯变换
也简称为拉氏变换
把它记为F(s)等于L[f(t)]
在科技领域里
一般是对以时间为自变量的函数
进行拉普拉斯变换
所以就是在t<0的时候
函数都没有意义
或者不需要考虑
所以在拉普拉斯变换中
我们就规定象原函数
就是这个f(t)
小的f(t)是象原函数
象原函数在t<0的时候是恒等于0的
好了 我们知道了拉普拉斯变换的定义
我们来看一个例子
这个例子里这个函数很简单
u(t)等于1
它其实就是一个阶跃函数
这样的一个阶跃
这样的一个函数
那我们要求它的拉普拉斯变换
我们根据定义来求
可以是这样u(t)乘上e^(-st)
然后从0到无穷积分 对吧
因为u(t)等于1
所以实际上积分的这一项就是e^(-st)
这个是一个指数函数的积分非常容易
所以我们可以得到这样的一个式子
然后它从取零到无穷
所以因为在无穷的时候
t趋于无穷的时候
这个e^(-st)等于0
然后t趋于0的时候e^(-st)是1
所以就得到了这样的一个
所以u(t)等于1的拉普拉斯变换
就是1/s
我们来看另外一个例子
这个时候f(t) 这个象原函数f(t)
是变成了一个指数函数e^(at)
那我们来看一下它的这个变换呢
首先要注意一下
因为我们定义里说到了
拉普拉斯变换是指这个积分
要存在要收敛 所以在e^(at)的时候
我们注意这个有一个条件
这个s不是随便能取的
这个需要是s的实部要大于a的实部
只有在这种情况下这个积分才收敛
也就是说只有在这种情况下
这个e^(at)的拉普拉斯变换才存在
好了 那我们来看一下怎么来求呢
也是很简单 把它代进去
e^(at) e^(-st)所以这样合在一起
然后再用指数来做积分
非常简单 对吧
1/(s-a)
所以得到了这个指数函数的
拉普拉斯变换
好了 我们现在来看一下
根据拉普拉斯变换的这个定义
我们可以得到它的一些
非常基本的一些性质
首先是它的线性性质
线性性质是我们在代数里非常熟悉的
对吧
如果说是这个f1(t)和f2(t)的
拉普拉斯变换都存在
那α1f1(t)加α2f2(t)的拉普拉斯变换
就是它们各自的拉普拉斯变换的
这个线性组合
这个大家都很容易理解
这是一个非常好的性质
我们用这个性质就可以求其他的
稍微复杂一点的函数的拉普拉斯变换
比如像这个sinat这样的一个函数
我们看这个例子f(t)变成了sinat
那我们怎么求呢
当然我们可以根据定义去求
但是因为我们知道了这个线性性质
而且我们从前面的例子里我们知道
这个指数函数的拉普拉斯变换
所以我们就做一个简单的一个变换
因为sinat可以换成
这个用指数的这个表示方式 对吧
用这个方式之后
我们再来求的话就很简单
我们把它分成两部分
然后用这个线性组合的这个性质
这个线性的性质
然后我们可以先求e^(iat)的拉普拉斯变换
再求e^(-iat)的拉普拉斯变换
然后再把它加起来就成了
就得到了这样的一个sinat的
拉普拉斯变换
另外一个比较基本的性质就是时移
所谓时移是指什么呢
就是这个f(t)呀
这个f(t)的时间往后推
就是我们如果说是画一张图来看的话
就是我们假设这个f(t)是这样的
这是f(t)
那我们这有个t0
就是整个这个曲线往这边移
这样平行过来 平移过来
所以这个f(t)的
t-t0的图像就是这样的
就是那如果说是f(t)的
拉普拉斯变换是F(s)
那它的f(t-t0)的拉普拉斯变换呢
就变成了这样的一个
就乘上一个指数的这一项e^(-st0)
我们不是很直观 对吧
我们通过证明来理解一下这个式子
首先我们把按定义把这个
f(t-t0)的拉普拉斯变换写出来
然后我们把这一部分分成两部分
第一部分我们来看一下
当t在0到t0之间的时候
这个f(t-t0)呢是应该恒等于0的
所以这一部分会去掉
然后剩下的这一部分
我们看怎么变一下
因为我们习惯的是 按定义
我们习惯的是f(t)e^(-st) dt
然后0到无穷的这个积分对吧
拉普拉斯变换的定义
所以它这个里面t-t0不是很直观
我们就换一下
我们用这个τ来换
我们用τ等于t-t0
所以这个f(t-t0)就变成f(τ)
然后这个t t就等于τ+t0
然后积分的这个上下限
t0这个位置
因为τ等于t-t0
所以当t取到t0的时候τ就等于0
所以这就换成了0
这个是上面还是无穷
所以看这个形式
已经快接近这个定义的
但是现在多出来一块
多出来这块 多出来t0这一块
所以我们就把这个t0乘过来
因为这e^(-st0)是跟τ没有关系的
所以我们把它
拿到这个积分号外面来
所以这样积分的部分
就是f(t)的这个拉普拉斯变换按定义
所以我们现在得到
就是这样可以证明它
我们刚才学习了这个
拉普拉斯变换的定义
和它的线性性质和时移性质
这两个性质非常重要
我们下面再用两个例子来说明
怎样利用这两个性质
来求函数的拉普拉斯变换
我们来看这样一个例子
这个函数实际上是
脉冲函数的一个平移
时间上的一个平移
我们可以把它画出来
这个τ是在这
然后这个函数这是1
所以这是这样的一个函数
τ往这个无穷走都等于1
然后0到τ之间是0
那我们用这个
拉普拉斯变换的时移的性质
就很容易求出它的拉普拉斯变换
因为脉冲函数的拉普拉斯变换是它
对吧
用时移的性质就乘上这个e^(-sτ)
就得到了这个u(t-τ)的
这个拉普拉斯变换
下面这个例子
也是在这个脉冲函数上的一种变换
它是这样的
是在t-τ之间是1
然后其余的位置是0
所以它是一个矩形的一个脉冲
它的这个拉普拉斯变换怎么求呢
我们既要用它的时移性质
又要用到前面我们讲过的线性性质
所以这个f(t)可以写成
u(t)-u(t-τ)的这样一个函数形式
那这个u(t)和u(t-τ)的
拉普拉斯变换
我们前面已经都知道了
所以很容易的就可以把它算出来
是1/s*(1-e^(-sτ))
前面我们学习了它的时移性质
下面我们来看它的频移性质
这频移性质是这样的
如果f(t)的拉普拉斯变换是F(s)
那对任意的一个常数a
e^(at)f(t)它的拉普拉斯变换
就是这个大的F(s-a)
这个好像不是很直观理解起来
那我们来简单证明一下
我们先按定义
把这个函数的拉普拉斯变换写出来
e^(at)f(t)e^(-st) dt
然后我们把它整理一下
这个指数函数
两个合起来写在一起
那我现在就得到了
这个e^(-(s-a)t)对吧
那你把这个s-a
你把它看成是一个比如说是δ
那这个就变成了
f(t)e^(-δt) dt
这个是什么呀
这不是f(t)的拉普拉斯变换吗对不对
所以它应该是怎么呀
F(δ)
那δ你把它换成s-a
因为我们把它换成δ了嘛
所以换回来的话
就得到这样的一个形式
所以这个频移性质
是这样得到的
这两个性质 时移性质和频移性质
都是我们将来会经常用到的性质
非常重要的两个性质
在这一小节我们学习了
拉普拉斯变换的定义
和它的一些基本性质
如线性性质 时移性质
和频移性质
我们又用一些例子
给大家演示如何利用这些性质
来求解比较复杂的
函数的拉普拉斯变换
这一小节我们先到这
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
