当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第九周 系统校正（二） > 基于Bode 图设计滞后校正装置 > Video
同学们好
现在我们来研究一下
怎么样利用Bode图
来设计滞后校正装置
首先我们看一下
从Bode图上怎么看滞后校正的作用
假如说原来我们的控制对象
它的增益已经比较高了
如果我在这个基础上
去加上一个滞后校正装置
它校正以后的系统的幅频特性
和相频特性就会变成这个样子
大家可以看到
从这个曲线上可以看到
由于滞后校正装置会带来一个负的相角
也就是滞后的相角
它会使得整个系统的
相频特性曲线向下方移动
使得向下方移动
那么这个时候整个来讲
作为的相角都会比原来减小
而减小最大的部分
是看我们的滞后校正装置加在什么地方
在这里面大家可以看到
在这个地方影响是最大的
所以滞后校正装置大概是加在这个位置
但是虽然整个相频特性下移
但是它的动态性能并不一定会变差
为什么呢 因为这时候整个系统的
幅频特性曲线也会相应的下来
下来以后它的系统截止频率
就是穿越频率也会左移
左移的时候
由于整个相频特性曲线的相角
是往左相角是增加的
所以虽然下移又由于往左增加了这个
左移增加的这个趋势相角裕量会增加
大家可以看到这是原来的我们相角裕量
但是左移以后我们有一个整体的下降
但是我们沿着这个相频曲线它又会上升
所以这个相角裕量
可能并不会受到太大影响
甚至反而有可能会上升
所以我们总结一下
如果对象本身的增益比较高
我们加入滞后校正装置以后
可以不影响系统的稳态性能
或者说稍微的牺牲一些稳态性能
这个时候我们可以得到
一个系统的相对稳定性的提高
这个相对稳定性的提高
就表现在这里面的相角裕量会提高
而且在这个里面大家可以看到
由于这个曲线下来了
它带来的这个增益裕量
和原来我们的增益裕量比较它也会提高
但这里面一个不利的因素
就是滞后作用会让系统变慢
这个变慢就表现在系统的穿越频率
或者系统的带宽
由原来的这么多减小这么多
系统变慢
好 那我们看一下
就是说如果我们在这个校正的基础上
再配合一个增益
就是我们这个系统的相频特性基本不变
但是再加上一个增益
就可以把这个整个系统
校正以后的幅频特性整个抬上去
抬上去以后大家可以看到
在抬上去以后我们可以使得
系统的幅频特性和原来比较
在中频段变化不大
也就是说使得我们的穿越频率
和原来的变化 变化不大
只是稍微的移动一点
这时候相频特性变化也不是很大
因为当我们的这个校正环节
滞后校正环节设计的
离中频段比较远的时候
在这个地方滞后校正装置的滞后角
在这边已经近似等于零了
所以在这段的相频特性变化不大
所以中频特性基本上是可以得到保留
中频和高频特性基本上得到保留
它影响比较大的只是低频特性
但低频特性会得到一个比较大的负相角
但是这个负相角
对我们的系统的动态性能影响不大
一个比较好的事情就是在低频段
我们可以把低频段有一个比较大的提升
这个提升可以帮助我们改善
系统的静态误差
所以当对项系统稳定性比较高的时候
因为我们知道可以通过校正
提高系统的误差系数
因为这时候前提是指系统已经有稳定性了
下面我们来看一下
基于Bode图来设计滞后校正装置的
一个最基本的思路
我们来看一下第一步
我们要根据稳态误差指标
要求来确定期望开环增益
因为这个指标是死的
因为如果我们校正装置写成这个形式的话
那么影响稳态误差的只是跟Kc有关
所以根据我们期望的稳态误差指标
我们可以把所需要的Kc首先确定下来
那么确定下来以后我们就可以去画
这个Kc确定以后这个系统的Bode图
也就是说还不考虑Ts加1
βTs加上1这部分的时候
这系统Bode图是什么
那在这个增益下面系统的稳态误差指标
就已经能够满足了
但是因为我们知道如果在这个时候
给系统的对象加上这样一个增益
会对系统的中频段和高频段的性能
会带来比较大的影响
所以我们后面设计
就是在选择β和T的时候
要保证中频和高频的部分
要不受到太大的影响
所以这是我们下面的设计任务
因此我们确定了Kc以后
把在这个增益下面的Bode图画出来
然后看一下这个时候的
增益裕度和相角裕度是多少
如果不满足
那么我们就要根据期望的相角裕量
这个期望的相角裕量
可以是我们设计任务给出来的
那如果设计任务没有给出来
我们可以选择
就是说如果原来我们对象的
稳定性已经比较好了
我们可以选择
在原来这个相角裕量附近去进行设计
好 假如说现在我们有了一个
期望的相角裕量
那怎么样去选择参数β和参数T呢
由于我们已经知道Ts加上1 βTs
除以βTs加上1这个环节
它对校正以后系统的这个相频特性
已经基本上没有贡献了
所以这个时候校正以后的相频特性
只是由对象来决定
所以我如果希望这个相角裕量校正以后
是40度或者50度
那这个时候我只能看对象的相频特性
在什么地方是40度或者50度
所以在选择这个
如果相角裕量给定以后
我们只能看对象在什么地方它的相角
是满足这个相角裕量要求的
所以根据这个指标
我们就可以确定这个期望的
这个穿越频率ωgc
也就是说确定了这个相角裕量
我们就可以确定ωgc在什么地方了
ωgc在什么地方了
那么确定了这个ωgc这个地方
因为我们知道相角裕量
是对于幅频特性曲线
穿越零分贝轴的这个地方
那这个时候如果我们不加上这个装置的话
如果没有后面这个装置只有Kc的时候
整个系统的幅频特性
实际上是往上移动的
这时候幅频特性是不会在ωgc
一般来讲不会在ωgc这个地方穿过了
而是在零分贝轴的上面
所以我们在设计滞后校正装置
Ts加上1除以βTs加上1这部分的时候
我们需要在选定了ωgc这个地方
把幅频特性给拉下来
也就是说在这个地方
提供一个小于1的增益
所以这是我们的一个设计原则
那么在设计这个原则的时候
我们首先一看T怎么选
因为我们前面知道这时候相频特性
在中频段相频特性主要由对象来决定
校正装置在这段的相频特性贡献几乎为零
所以我们选T的时候
要使得校正装置在这个地方
相角影响可以忽略
那什么时候可以忽略呢
就是T的导数要比ωgc要远远小的时候
比如说等于ωgc的十分之一的时候
它产生的相角是小于5度的
是基本上是基于这样一个原则
那么T选择以后
就是如果T选择足够
T分之一足够小了以后
T定了以后就剩下一个参数β
那这个β怎么选呢
后面我们可以看到
实际上β是决定了
我们在ωgc的这个地方的幅频特性
它能够把幅频特性拉下来多少
所以我如果要把这个时候
幅频特性要拉到穿越零分贝轴
我们就可以知道需要补偿多少β
后面我们可以通过例子来看
怎么样去计算这个β
然后把所有的β T 和Kc确定完以后
我们最后来校验一下
设计是不是能够满足要求
我们来看一个例子
如果我们的控制对象是这样一个三阶系统
我们希望串联校正装置
满足稳态的速度误差系数等于5
相角裕量不小于40度
增益裕量要大于10分贝
我们看这样一个系统怎么来设计
首先因为这里面有一个不确定的参数
所以说我们在这里面
去设计这个K的时候
我们首先要选择一个K
当然这里面这个K
实际上是已经包含了对象的增益
和校正装置的增益
所以由于Kv是要大于等于5
Kv如果把校正装置加进去以后
这个K应该是等于Kv
所以K要大于等于5呢
我不妨就取K等于5
然后我确定了K以后
我们就可以把K等于5的时候
这个时候的控制对象Bode图画出来
就是我们这个样子
通过Bode图的计算
通过这个折线近似计算
我们可以计算出来
这时候系统的穿越频率ωgc是2.15
在这个地方
它对应的相角裕量是负22度
那它对应的穿越180度的这个频率
相频特性穿越180度的这个频率是1.5
它对应的这个增益裕量大概是负的6个dB
所以我们可以看到
这时候闭环系统是不稳定的
闭环系统是不稳定的
那我们来看一下
怎么样来采用滞后校正装置呢
让这个系统变得稳定
而且能够满足我们的控制要求
我们在设计的时候我们根据刚才的原则
第一个我们这个校正装置
要选择的离我们的这个中频特性比较远
第二个我们要使得
它的这个相角裕量能满足我们的要求
因为原来这个系统
在没有校正以前相角裕量是负的
相角裕量是负的
所以这时候系统一定是不稳定的
我们要使这个系统校正以后
相角裕量要大于等于40度
而我们这个时候校正装置本身
对这个校正以后的相频特性
基本上没有贡献
也就是说在中频段基本上没有贡献
那我们就看这个对象本身在什么地方
它的相角 这个相角裕量
它能够提供的相角裕量
是大于等于40度的
也就是说我们看什么时候
这个相频特性在180度上面 40度
在这个位置我们看在这个地方
什么时候这会有40度
所以我们通过这个地方
通过这个位置就可以确定
我校正以后这个相频特性
要在这个地方要穿过零分贝轴
好 我们来算一下
首先我们算一下
它要提供多少的相角
因为我们知道我们希望校正以后
这个它的相角裕量
是要大于等于γ40度
要大于等于γ40度
所以这个相角
我们如果算这个相频特性
那这个相频在这个地方
相角应该等于负180度
再加上γ等于40度
所以我们去算一下Gpj的ωgc
就是这个我们期望的穿越频率
它的相角应该等于负180度加上γ
但是我们在实际设计的时候
并不是正好去取这个位置
而是取的什么
我们再把这个控制的这个范围再加宽一下
因为实际上大家可以想象一下
我们希望这个系统的穿越频率
是在这个地方
它对应的相角的这个裕量
是正好是我们期望的这个γ
但是我们真正加上去这个校正装置以后
它在这个地方的相频特性和幅频特性
实际上都还是有一定影响的
它会使得我们的剪切频率会发生变化
使得我们的相频特性也会发生变化
所以这个时候我真正加上去校正装置以后
它是不是真正能够提供
γ这么大的相角裕量
实际上是不可预知的
所以说我不妨在设计的时候
在选取的时候 在估计的时候
我不妨把这γ取的比我的要求要大一些
那这个范围到底取多大
一般来讲根据我们的经验来定
一般来讲我们是选择5到12度之间
这里面为了稳妥起见
我们比如说就选12度
我们比原来的这个最低要求
γ我们再多12度
这样我们就可以计算出来
这个对象在这个地方的相频特性的相角
大概应该在负128度
这里面γ是我们的设计要求40度
所以这个地方我们算出来以后
应该等于负128度
那这个角度确定以后
我们再把这个Gp(jωgc)的
它计算它的相角的解析表达式算出来
因为这个它跟它的这个ωgc有关系
是和它的这个反正切函数有关系的
我们解这个方程就可以把ωgc解出来
大概是在0.5弧度每秒左右
所以我们根据这个相频特性曲线
我们要把期望的频率特性就算出来了
那到现在以后我们知道
现在我们这个K已经选好了
K已经选好了
因为我们在现在的这个K的选取下
稳态误差指标已经能够满足我们要求
现在我们需要是系统的这个相角裕量
和弧度裕量满足我们的要求
相角裕量我们选择的
我们希望在这个地方能够提供
γ40度加12度等于52度的相角
我们希望在这个地方能够提供52度相角
但实际上我们幅频特性
并不一定能够在这个地方穿越零分贝轴
所以我们下面的设计的任务
我们在选择β和T的时候
我们的任务就是要使这个幅频特性
它的中频段要能够下来
在这个地方 正好在这个地方
或者在这个地方附近穿越零分贝轴
我们来看一下怎么设计
我们的设计目标第一个
我们希望幅频特性在0.5
就我们选好了目标的穿越频率
在这个地方穿越零分贝轴
而且我们还需要
因为我们 原来我们估计在这个地方
要提供52度的相角裕量
所以我们希望校正环节
它对它的相频特性影响不是太大
这是两个原则
好 我们来看一下我们知道
为了满足第二条原则
我们可以选取让这个T分之一也小于ωgc
也就是说我让ωgc乘以T远大于1的时候
我可以满足第二个要求
首先我们知道ωgc是0.5
我们把这个代进去算一下
我们就大概选这个五分之一的ωgc的导数
我们选T等于10
那T选定以后就剩下β了
那么接下来就是怎么样来选取β
因为我们知道β的任务
实际上就是为了让幅频特性把它拉下来
因为我们确定了目标的这个相角裕量以后
它要对应于校正以后的幅频特性
要正好在这个地方去穿越零分贝轴
而我们校正以前它实际上在它的上面
所以我们要提供一个小于1的增益
让它在一个地方
或者在这个地方附近正好穿越
那要提供多少个增益呢
我们可以根据校正以后
这个系统的频率特性
它所应该满足条件来决定
那么校正以后就是对象的传递函数
乘以校正装置的传递函数
它整个这个传递函数jωgc
也就是目标的穿越频率这个地方
它应该是零分贝
也就是说这个增益应该是约等于1的
这是我们要应该满足要求
我们代进去以后可以算出来
那么对象本身在这个地方是有一定的增益
就是对应我们这个高度
就对应这个高度
而我们校正装置提供多少增益呢
校正装置大家从这个图上可以看
因为我们这个时候
T是选择的是比较大的一个数
ωgcT选择的是比较大的一个数
所以我们从这个式子上来看βTs
也就是说让s等于jωgc的时候
βTjωgc这项应该是远大于1的
上面的jωg乘以T这项也是远大于1的
所以上下我们可以把1这项给忽略掉
忽略掉以后Ts再一消掉
这个时候Gcs就应该约等于β分之一
所以我们再算Gc
就是校正装置这一项提供的增益的时候
我们可以把它约等于β分之一
这样我们就可以得到一个
估计β的一个很方便的计算公式
比如说这时候β
应该是约等于Gp(jωgc)
约等于10
我们可以算一下
把这个ωgc等于0.5
代到控制对象的传递函数里面
我们可以算一下
所以这时候β应该是提供这么大的一个
就是说如果我β等于10的时候
它应该能够近似的
把这个幅频特性拉下来
好 那这时候我们按照这个原则去设计
去选择好这些参数
那选择完这些参数以后
这个T和βT都已经确定好了
然后原来的我们这个增益系数
K也在第一步就已经定好是5
所以校正后的系统
就是我们现在的这个传递函数
我们看一下它对系统的
性能的改善是什么样子的
我们看一下原来系统的
这个幅频特性是这个样子
是这个蓝线所示的
在校正以后它的相频特性
我从这个相频特性
从这个幅频特性看
校正装置它在中频段
在低频段它提供的是这样一个增益
在中频段它提供了一个比较稳定的
一个恒定的增益
这个增益就是20倍的logβ
然后它在这个地方
它能够把它的中频段整个给拉下来
拉下来使得它在0.5分贝这个地方
正好穿越零分贝轴
穿越零分贝轴以后大家也可以看一下
在校正以后相频特性的改变
相频特性的改变
因为我们把这个穿越频率设计在0.5这
它原来这个对象的频率
原来对象在这个地方的相角
就是我们设计的大概是52度左右
但是由于校正环节
本身有一定的负相角
所以这个相角的裕量
比预期的52度会稍微小一点
会稍微小一点 但没关系
因为我们在设计的时候
已经留出来足够裕量
留出了12度的裕量
所以它即使会有一些损失
它应该还能够满足我们的要求
我们具体来计算一下
因为我们在去计算
这个目标的这个穿越频率的时候
我们是根据的是折线近似
所以这是一个近似的计算 它是0.5
但是我们真正去画出Bode图以后
用计算机仿真画出Bode图以后
我们可以计算出来
它实际上是在0.5附近 在0.454
其实还是靠的很近的
相角裕量我们通过近似计算
由于我们这个虽然提供了一定的裕度
但是由于这个滞后校正环节提供了负相角
它这个相角还是会下来一点
我们通过近似计算算出来是在39度
比我们的目标40度稍微小了1度
但实际上我们通过精确计算
我们会发现实际上它这个相角裕量
实际上并不是在40度以下
而是41.6度
实际上是满足我们的要求的
那么相频特性
穿越180度轴的这个地方的频率
是对应于1.32
我们在精确计算算出来的也是1.32
我们算出来这个增益裕量
我们通过近似计算是11分贝
经过精确计算是14.3分贝
实际上也是满足我们的设计要求10分贝的
那最后的误差系数
因为这个实际上是准确的
因为它是唯一的
由我们的K来决定
所以我们K设计准确
误差系数也是准确的
所以它是满足我们要求
所以从这几个方面来讲
我们这个设计实际上是满足要求的
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
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-复杂频率特性的绘制（二）
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
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-相轨迹的绘制方法--作业
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
