当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > 脉冲采样与理想采样 > 视频
同学们好
现在我们来学习脉冲采样和理想采样
首先我们看一下
一个采样器具体是怎么工作的
假如现在系统有这样一个
连续时间信号x(t)
我们希望通过一个采样装置
把它变成一个离散的时间信号
那么在数学上
这个离散时间信号xp*(t)
就等于这个连续时间信号
再叠加上一个
这个采样装置所代表的一个时间函数
那么这个p(t)是什么
我们首先看一下
采样器工作的方式
这个采样器是在某个采样时刻tk
等于kT
其中这个T是这个采样装置的周期
在这些周期性的时刻
我们把这个采样装置打开
而每次打开这个采样装置的时间是γ
也就是说在tk到tk+γ期间
这个时候采样装置的输出信号
和输入信号是相同的
当然这里面我们假设
这个打开采样装置的时间
是非常短的一个时间
它比这个采样周期要小的多
所以说这个采样器的这个形式
应该是个周期性的开关形式
也就是说它应该是这个样子
在每一个采样时刻开始
打开某一个比较短的时间γ
在哪个周期都是这样的
所以这就是一个采样器的
一个单位的阶跃响应
所以采样操作是一种幅值调节
也就是说它输出的信号
可以看到在不同的时间区间内
它的幅值是会变化的
而这个变化是跟对象信号
以及采样区间有关的
它有些时候是零
有些时候是跟着
这个输入信号而变化的
那么还有一种采样装置
它可以不是幅值调节
而是脉冲宽度调节
也就是说这个时候这个系统的输出信号
它的幅值是可以是保持恒定
而为了保持输出信号
和输入信号的一致性
它是变化每一个脉冲
这里面我们看到呢
输出信号它实际上是一些
脉冲信号的形式出现的
每一个脉冲信号的宽度进行变化
那么这样如果这个宽度设计合理的话
它这个输出信号和输入信号呢
它可以达到一定的一致性
我们具体看一下对于这种采样方式
采样信号是怎么计算的
现在我们知道采样周期是T
那么相应的采样频率
就是ωs=2π/T
这样我们对这个p(t)这个信号
就是这个采样开关这个信号
我们就可以做一个傅里叶分解
而这个傅里叶分解
假设这个傅里叶分解的系数是Ck
也就是e^(jkωst)
这一项前面的傅里叶系数是Ck
而这个Ck
我们根据这个采样周期的长度
以及每一个这个开放区间的
这个时间的宽度γ
我们可以计算出这个傅里叶系数Ck
它是这样一个相对比较复杂的函数
那么这时候我们就可以去计算采样信号
因为我们根据前面的定义xp*(t)
等于x(t)乘以p(t)
我们把p(t)这个表达形式
代进来以后就可以计算
这个时候xp*(t)
就等于Ck乘以x(t)乘e^(jkωxt)
我们看一下这个信号
它本身是若干个时间信号的叠加
而每一个时间信号分量的叠加呢
这个信号我们可以看一下
它都等于这个信号本身
乘一个e^(jkωst)
而这个信号的频谱是什么呢
我们对它如果做一个拉普拉斯变换的话
我们知道这个信号实际上
相当于做了这样一个j倍的kωs倍的平移
一个平移
所以说我们反映到这里面
如果我们看这个信号频谱
也就是让s等于jω的时候
这一项如果做拉普拉斯变换
就是X的jω
然后再做一个k倍的ωs
这么多频率的这样一个平移
所以如果对这个信号
去求它的频域特性
就是x的jω-jkωs
当然前面的系数呢
也要顺次地放在这个前面
所以我们可以看到
一个连续的时间信号
在进行采样以后呢
这个表达形式实际上是非常复杂的
因为这个Ck的表达形式
是一个比较繁杂的表达形式
那么有没有什么方式
能够简化一个采样信号的计算
我们首先来简单地分析一下
我们看到造成这种计算
比较复杂的原因
实际上是由于这个脉冲宽度γ
是一个有限值而导致的
我们知道如果这个γ有限的话
我们可以看到
这个采样以后的这个信号
在这个区间内
它实际上本质上
还是一个连续时间信号
它还是一个随着输入变化的
一个时间信号
而对这个信号的分析
我们知道一个从实用的角度上来讲
它还是本质上是没有办法
在有限的这个存储空间的
这个条件下进行采集的
实际上本质上它是没有办法
采集这样一个连续时间信号的
我们采集的只能是在一些
离散的时刻的信号
那另外一个角度
就是这个有限宽度我们可以看到
因为这个表达式是跟γ有关系的
所以如果γ是有限的话呢
这个表达式势必变得非常复杂
所以说如果我们希望对它简化一下
我们可以这样考虑
就是让这个脉冲
在每个周期的这个脉冲的宽度
我让它无限趋近于零
当它趋近于零的时候
在这个周期内的采样
实际上只跟这个采样时刻
开始的这个时刻的取值有关系了
如果当这个宽度趋于0的时候
但是趋于0的时候
我们又不能单纯地让区间趋于0
我们还要保持这个
在这个采样区间里面呢
实际上所代表的这个脉冲的能量
我们还要保持它是足够的能量
也就是说我们希望这个脉冲的
这个整个的面积
要保持不变
所以说如果我们让宽度趋于0
但是高度同时又等比例地增加
也就是说高度以1/γ的
这个规律去增加
那这个时候的脉冲面积
就可以保持不变
那在γ趋于0的这个极限下
这个形成了我们所谓的
这个Dirac的δ函数
而这个δ函数
它实际上严格意义上
并不是一个实际存在的函数
它是一个数学上的理想
那这个理想函数它满足下面几个条件
第一个在当γ趋于0的时候
我们首先可以看到
1/γ是趋于0的
也就是说这个脉冲高度是趋于无穷
所以在0时刻这个取值δ(0)是等于无穷的
而由于这个宽度是趋于0的
所以在0时刻以外呢
这个δ函数的任何取值
在0时刻以外的任何时刻的取值
都是等于0的
而脉冲的强度我们说等于1
也就是说因为我们刚才
在选取的这个准则下面
这个面积总是等于1的
那面积是什么呢
也就是这个函数在0到γ
这个区间的这个积分
所以说这个积分实际上是等于1的
那么在这些条件下边
我们很容易可以推出一个
我们后面会经常用得到的结论
就是说如果有任意一个连续时间函数
这个时间函数乘以一个Dirac的δ函数
然后再对它做积分的话
那这个出来以后
其实就是这个连续时间函数的φ(t)
在0时刻的取值
好 我们看一下
如果我们的这个采样的这个脉冲
是取成这样的形式
这就形成了一个
所谓的理想采样器
而这个理想采样器表达形式就是说
原来我们的p(t)
它每一个采样区间
在每一个采样周期范围内
它这个时间的宽度是有限的
现在我们都把它变成一个宽度为0
但是高度无穷大的这样一个脉冲
而所以这样一个采样器
就对应这样一个脉冲序列
这个脉冲序列
在数学表达式上
就可以表示成这样一些
δ函数的叠加
而其中这个δ函数在0时刻就是δ(t)
那在这个 在T时刻
就相当于这个δ(t)函数
做一个T时刻的平移
依此类推在一些整数周期的时刻
它都是这个δ(t)函数的
整数周期的平移
所以这个采样器就是这样一个脉冲序列
我们看一下在这样一个
理想采样器作用下
这个采样信号输出它是怎么计算的
如果我们有这样一个连续时间信号
那么这个连续时间信号
进入一个理想采样装置以后
它的输出信号就应该是这个样子
而这个输出信号
只在这些整数的周期时刻
是有取值的
而在这些离散的时刻之外呢
它的取值都是0
而在这些有取值的时刻呢
它的幅值都是无穷大
但是它们的高度互相之间
还是有区别的
而这个值是和在这个时刻
这个信号本身的取值有关系的
具体怎么去表示
采样以后的这个采样信号呢
我们来看一下
我们根据前面的定义
那么采样信号的输出
就等于x(t)乘以这个采样装置
本身的这个采样器的信号这个δT
那我们把δT的表达式代进去
因为我们知道δT
它是无穷多个δ函数的叠加
代进去以后我们可以看到
它就等于x(t)乘以δ(t-nT)
然后n从负无穷到正无穷
那这里面这个t我们可以看一下
由于这个函数
我们比如说看一个具体的小n
固定一个小n
我们看到那么这个时候δ(t-nT)
这个函数的取值
它实际上只在这个时刻
只在nT这个时刻取值是非零的
而在所有的其他时刻取值都是等于零
因此我们如果看这一项的话
大家就可以知道
由于在其他时刻取值都等于零
所以它跟x(t)
在其他时刻取值实际上是没有关系的
因为在其他时刻
因为后面等于0
所以它的乘积都是等于0
所以只有在t等于nT的时候
x(t)才对这个采样信号的输出
是有作用的
所以说我们可以把这个t
对应地换成在δ函数不等于零的这个时刻
也就是NT
因此这个最后的采样时间信号的输出
它就等于这些δ函数
前面对应不同的权重系数
而这个权重系数
就对应于我们对象的这个输入信号
它的这些周期
在这些采样时刻的取值
好 那么我们知道了一个采样装置
怎么去计算它的输出信号以后
我们可以看一下
实际上是当这个采样装置
用到一个实际的控制系统中
我们还可以计算传递函数的
因为这个采样装置
虽然不同于我们前面学习过的
这些由有理分式所表达的
这些典型环节
它本质上实际上还是一个
线性的控制系统
也就是它的输入和输出的关系
还是一个线性的关系
因此本质上
我们还可以用传递函数来进行表达
我们来看一下具体的一个例子
首先我们来看这样一个系统
这个控制对象本身
是一个连续的一阶系统
而在控制对象输入前面
我们加了这样一个采样开关
周期为T的一个理想采样器
那么经过采样以后呢输出呢
这个函数就进入到
这个系统的这个信号
就变成一个采样的信号
而这个采样信号输出以后
就又变成一个连续时间信号
而这个连续时间信号
我们又经过一个采样装置
就形成一个采样的输出信号
我们现在希望知道
从这个采样后的输入信号
到这个采样后的输出信号
它们之间是否有一个传递函数
那为了方便求解呢
我们假设这个信号就是δ(t)
因为δ(t)的这个拉普拉斯变换最简单
它的拉普拉斯变换就等于1
我们看一下
在这样一个输入信号的作用下
这个输出信号y*(t)是多少
我们知道如果这个连续时间系统
它的输入是一个δ函数的话
它的输出我们很容易可以算出来
对于这样一个系统
它的输出就是e^(-t)
这实际上是它的单位的脉冲响应
那这个e^(-t)我们可以看到
如果这个信号是e^(-t)
那它经过采样输出以后是什么呢
我们根据前面学过的
那么这个采样输出信号
就等于y(t)乘上一个δT(t)
而δT(t)
也就是这个采样器的这个表达形式
是这些脉冲函数的叠加
所以最后表达出来
就是在这些不同的采样时刻
所对应的y(t)的取值
然后乘以相应的δ函数
它是这样一个序列
这样我们就得到了这个y*(t)的
一个时间函数
而这个时间函数呢
我们可以对它做一个拉普拉斯变换
那对它做拉普拉斯变换以后
我们会发现
最后这个因为δ(t-T)
这个信号它实际上对应一个平移
对应一个时延
而这个时延实际上
最后都以e^(-Ts)或e^(-2Ts)等等
这样一些非有理函数的形式表达出来
因此我们对这些信号
把对这个y(t)两边
做拉普拉斯变换以后
我们得到这样一个
这个y(t)的拉普拉斯函数以后
而这个函数它实际上是一个等比序列
我们可以看到是一个等比序列
那这个等比序列
我们最后可以对这个无穷级数进行求和
得到这样1/(1-e^(-T(s+1)))
那因此我们知道了Y*(s)
也知道U*(s)
这样就可以求出
从U*到Y*的一个传递函数
它最后就等于1/(1-e^(-T(s+1)))
所以我们从这个计算的过程中可以看到
对于这样一个典型的采样控制系统
如果有了采样装置
那么这个传递函数一般来讲
它都会包含这样一个
由于采样造成的时延
而带来了一个e的Ts这样一些项
而这样的传递函数
它实际上是s的超越函数
而这样的例子我们在前面
实际上也碰到过
因为我们前面在学习奈奎斯特判据
学习根轨迹的时候
我们有过这样的经验
就是说当这个系统中
一旦有类似这样的时延项出现的时候
那么相应的分析就变得非常得复杂
所以如果这个传输函数
有这样一些超越函数项出现的话
系统分析就变得复杂 非常复杂
但是我们后面的分析中
实际上我们是有办法
去把这个超越函数去避开的
那我们在后面的学习中
将会学习怎么样去处理这个问题
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
