2.6 常见的连续型随机变量（上）在线视频

同学们好

今天我们接着介绍

概率统计这门课程的第二章

随机变量及其分布

今天介绍一些

常用的连续性随机变量

首先看第一个均匀分布

如果随机变量X的密度函数

是这个形式

当 a≤x≤b 的时候

f(x)等于b减a分之一

其他地方等于0

则称随机变量X

服从区间a到b上的均匀分布

记作X~U[a,b]

那么 我们说这个

密度函数是不是密度函数呢

满不满足密度函数的性质呢

我们下面来验证一下

第一点 非负性

这一点显然成立

因为这个时候

密度函数的具体形势是已知的

a＜x＜b 的时候是 b减a分之一

是正的

其他地方是0

所以 f(x)≥0

第二点

负无穷到正无穷上f(x)的积分

把它写成负无穷到a上的积分

加上a到b上的积分

再加上b到无穷上的积分

那么 这个时候

负无穷到a上的积分显然是0

b到正无穷上的积分也是0

那就只剩下中间这个

a到b上 b减a分之一的积分

那这个积分 显然等于1

所以 它满足规范性

因此

均匀分布的密度函数

确实是密度函数

需要做一个说明

类似的我们可以定义

在开区间(a,b)上的均匀分布

在前闭后开区间上的均匀分布

以及前开后闭区间上的均匀分布

由于连续型随机变量

在一点处的取值概率是0

它不重要

所以它的密度函数具有相同的形式

都称为均匀分布

我们不加区别

下面来看一下均匀分布的概率背景

如果随机变量X

服从区间[a,b]上的均匀分布

那么 这个时候

随机变量X在区间[a,b]上

任意子区间上的概率取值

与该此区间的长度成正比

而与该子区间的位置是没有任何关系

这是我们均匀分布的实际意义

这时我们可以认为

随机变量X在区间[a,b]上取值是等可能的

因此均匀分布可以看作是

连续版本的等可能概率

而 c＜X≤c+l 的概率

等于 c 到 c+l 上 f(x)dx 的积分

我们可以验证这个积分值

恰好等于0到l上的积分

也就是说它与这个c是无关的

只与l有关

等于b-a分之l

这也说明了我们这个等可能性

那么均匀分布的分布函数是什么样的

我们来看一下 这点非常容易算

当 x＜a 的时候

它的取值是0

当 a≤x≤b 的时候

它的取值是 b-a 分之 x-a

当 b＜x 的时候

它的取值是1

它是这样一个中间有个斜坡

最后是平的

是这样一个函数

下面看一个例子

假设公共汽车站从上午7点

每隔15分钟来一班车

如果某个乘客到达此站的时间是

7：00到7：30之间的均匀随机变量

求该乘客的候车时间

不超过5分钟的概率

我们来看一下

假设该乘客于7时X分到站

那么 这个X就服从的是

[0,30]上的均匀分布

密度函数我们可以写出来

当 0≤x≤30 时

密度函数的值为三十分之一

其他地方是0

这个时候

我们令B表示候车时间不超过5分钟

也就是P(B)

那么 P(B) 等于 10≤X≤15 的概率

加上 25≤X≤30 的概率

因为15分钟一班

从7时起 每隔15分钟一班

所以它不超过5分钟

它只能在10分到15分钟这个段来

或者是在20到30这段时间来

因此这个概率是很容易算的

就是两个积分

经过计算

这两个积分的和等于三分之一

所以

该乘客候车时间

不超过5分钟的概率是三分之一

下面看第二个分布

指数分布

如果一个随机变量

它的密度函数具有这种形式

大家来看

f(x)等于1/θ乘以e的-x/θ

x＞0

x≤0 时 f(x)=0

其中 θ＞0 是个常数

我们称这个随机变量

服从参数为θ的指数分布

当然 在有些教材上

将我们这里的1/θ令成λ

也就是密度函数写成 λ 乘以 e 的 -x/λ

这个时候

它仍然是指数分布

那么 这个参数就是λ

那么 λ 和 1/θ 是互为倒数

如果随机变量X服从参数为θ的指数分布

那么 它的分布函数

也可以写出来 非常简单

x≤0 时 F(x)=0

x＞0 时

F(x)等于 e 减去 e 的 -x/θ

如果由 λ 表示就是

x＞0 的时候 就是 e 减去 e 的 -x/λ

那么 指数分布通常表示各种寿命的分布

比如说无线电元件的寿命

动物的寿命

电话问题中的通话时间

随机服务系统中的服务时间

经常利用指数分布来描述

那指数分布还有一个非常重要的性质

叫做无记忆性

我们来看

对于任意的 s,t＞0

我们来看一下

X＞s 的条件下

X＞s+t 的概率等于什么

这个时候我们会发现

这是一个条件概率

根据条件概率的定义

它就等于

乘积事件的概率除以这个条件的概率

那么 这个乘积事件

X＞s+t 和 X＞s

这两个事件的乘积事件是什么呢

刚好是 X＞s+t 的概率

那么 根据分布函数的性质

这个分子和分母都相当于什么

大家可以考虑一下

分母恰好是 1-F(s)

分子是 1-F(s+t)

那这个时候

我们就可以把它写出来

由于指数分布的分布函数是已知的

把它代进去

代进去得到分子上是 e 的- s+t /θ

分母上是 e 的 -s/θ

约分之后

我们就会发现

它恰好等于 e 的 -t/θ

这个概率恰好等于 X＞t 的概率

这个式子说明

如果已知寿命长于s

再活 t 年的概率与年龄 s 是没有关系的

这个式子就显示了一种无记忆性

下面看一个例子

假设打一次电话所用的时间X

这时候单位是分钟

是参数 θ=10 的指数分布

如果某人刚好在你前面走进电话间

求你需要等待10分到20分钟的概率

我们来看一下

那么这个时候X的密度函数是已知的

1/10乘以 e 的 -x/10

x＞0

x≤0时 f(x)=0

那么 这个时候

令B表示

等待时间为10~20分钟这样一个事件

让我们求的是B事件的概率

那B事件的概率就等于

10≤X≤20 的概率

那这个概率

就是密度函数在10到20上的积分

我们把它写出来

这个积分是非常好算的

算出来

最后结果是e-¹减去e-²

最后等于0.2325

今天我们主要介绍了均匀分布和指数分布

下一节课我们重点介绍

正态分布和λ分布