5.2 大数定律（下）在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

今天我们继续学习大数定律

今天我们将给出三个常用的大数定律

第一个切比雪夫大数定律

设X1X2……是独立的随机变量

且满足Xk的期望等于μ

Xk的方差等于σ的平方

则结论是什么呢

对于任意ε＞0

其算术平均

也就是X ̅等于Xk求和除以n

满足X ̅依概率收敛到μ

或者说也就是X ̅减μ的绝对值

小于ε的概率会收敛到1

这个定理就称之为切比雪夫大数定律

说明一下 在定理的条件下

n个随机变量的算术平均值

当n无限增大的时候几乎会变成一个常数

而这个常数呢就是它的期望

这个定理的证明

我们主要是利用切比雪夫不等式来证明的

X ̅的期望等于什么呢

是不是等于Xk的和除以n的期望

根据期望的性质

就等于n分之一Xk的期望的和

而我们在Xk的期望都等于μ

所以代进去显然得到了X ̅期望就μ

我们看X ̅的方差

X ̅的方差等于n分之Xk的和的方差

根据方差的性质

我们就等于n方分之一Xk的方差之和

而X的方差呢

都等于σ方 代入

其实就等于n分之σ方

则由切比雪夫不等式

我们可以得到X ̅减μ的绝对值

小于ε的概率应该大于等于

1减去ε方分之DX ̅

也就相当于1减n倍的ε方分之σ方

注意令n趋于无穷

那么你ε方分之σ方就趋于零

所以X ̅减μ的绝对值

小于ε的概率就大于等于1

而我们知道这个概率是不可能大于1的

概率是小于等于1的

所以我们就得到了X ̅减μ的绝对值

小于ε的概率

其实就趋向于1

这样就得到了切比雪夫大数定律

好我们看一个例题

假如说X1X2……是相互独立的随机变量序列

满足分布律Xn取值是-na 0 na

对应的概率分别是

2倍的n方分之一

1减n方分之一 2倍的n方分之一

我们来验证一下

它是不是满足切比雪夫大数定律的条件

切比雪夫大数定律的条件要求三条

一条是独立

一条是期望都相同

另外一条是方差都相同

所以我们从以下三方面来分析

首先独立显然题目中给了

所以我们接下来验证期望

显然Xn的期望就是离散型的

就等于取值乘概率求和

所以就是-na

乘以2倍的n方分之一

加上0乘以1减n方分之一

加上na乘以2n方分之一

化简得0

所以它们具有相同的期望

接下来我们验证一下它们的方差

我们知道X的平方的期望就等于-na的平方

乘以2n方分之一

再加上0的平方

乘以1-n方分之一

再加上na的平方

乘以2n方分之一

所以方差等于平方的期望减期望的平方

所以就等于a方减0的平方就等于a方

显然它们也具有相同的方差

既然它们是独立的

而且具有相同的期望

相同的方差

所以它满足切比雪夫大数定律

简单点说

也就是X ̅依概率会收敛到期望0

好接下来我们介绍第二个大数定律

贝努里大数定律

设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数

p是事件A在每次试验中出现的概率

则对于任意的ε＞0

有nA除以n依概率收敛的p

或者说nA除以n-p的绝对值

小于ε的概率会收敛到1

那这个定理我们就称为贝努利大数定律

关于贝努利大数定理

我们做如下说明

贝努利大数定律表明事件发生的频率

nA除以n依概率收敛到事件的概率p

所以呢

这个大数定律以严格的数据形式

表达了频率的稳定性

在第一章中我们讲了概率的统计定义

就是用频率的稳定值来表示概率

那原因就在这

因此

当n很大的时候

事件发生的频率与概率的有较大偏差的可能性很小

因此在实际应用中我们经常是怎么做呢

经常就用频率代替概率

这个在实际中会经常用到

接下来我们证明一下贝努里大数定律

为了证明这个呢

我们引入一列随机变量Xk

当第k次试验中A发生我们记Xk=1

当第k次试验中A不发生

我们记Xk=0

k的取值从1到n

那显然nA

其实就是X1+X2……+Xn

注意Xi是独立的

因为每次试验中A发生不发生是独立的

而且Xi它都服从0-1分布

取1的概率都是p

所以Xi的期望等于p

根据切比雪夫大数定律

则X ̅会依概率收敛到p

大家思考一下X ̅是什么呀

所以nA除以n

依概率收敛到p

这个就是贝努里大数定律

接下来我们介绍一下辛钦大数定律

设X1X2……是独立的随机变量且统一分布

而且它们的期望都是μ

则结论是什么呢

对于任意ε＞0取算术平均X ̅

满足X ̅依概率收敛的μ

也就意味着X-μ的绝对值小于ε的概率收敛到1

关于辛钦大数定律

我们做如下说明

第一个 切比雪夫大数定律相比

辛钦大数定律不要求方差

但它的要求是同分布

第二个就是贝努利定理

其实也可以看成是辛钦大数定律的一个特殊情形

然后接下来我们介绍一个例子

设X1X2……是独立同分布的随机变量序列

且Xk的概率0 X的方差σ方

则证明对任意的ε＞0有Xk的平方的平均

减去δ的绝对值小于ε的概率趋向于1

证明

注意X1X2……是相互独立的随机变量

所以X1的平方X2的平方……也是相互独立的

而且呢

Xk的平方的期望就等于Xk的方差

加上Xk的期望的平方

所以也就等于σ方加上0的平方

等于是一个σ方

所以由辛钦大数定律

则Xk的平方的平均减去期望σ方的绝对值

小于ε的概率就会收敛到1

本节小结

这一节我们主要介绍了

一个不等式切比雪夫不等式

还有三个大数定律

切比雪夫大数定律

贝努里大数定律和辛钦大数定律

课后大家可以围绕这两个部分进行复习