1.9 独立性（上）在线视频

同学们好

我们继续学习事件的独立性

我们来看一个例子

将一颗均匀的骰子连续掷两次

A表示

第一次抛出六点

B表示第二次抛出六点

那显然

A发生条件下B发生的概率还是六分之一

第一次抛出了六点以后

第二次抛六点的概率

当然

与第一次没有影响

所以是6分之1

它等于B发生的概率

即是说一个事件的发生

没有影响另一个事件发生的概率

请大家一定要注意

不是说这两个事件没什么关系

而是指的一个事件的发生

不影响另外一个事件发生的概率的时候

我们叫做这两个事件独立

由此

我们能给出它的严格的定义

假设A

B是两个随机事件

如果A

B积事件的概率等于A的概率乘以B的概率

我们就说AB是相互独立的

简称AB独立

有的同学可能想

刚才你那个例子不是说一个事件的发生

不影响另一个事件发生的概率吗

A发生的条件下

B发生的概率等于B发生的概率

怎么这个定义条件概率都没有出现

实际上它们是等价的

看性质就知道了

如果A的概率大于零

那AB独立

按照这个定义给出的独立

它就等价于

A发生条件下B发生的概率等于B发生的概率

想想这个等式的左边

它会等于根据条件概率的定义

PAB除以PN去分母不就是PAB等于PA乘上PB

所以它们是等价的

如果PB大于0

那AB独立又可以用它来描述

就是B的发生

没有影响A发生的概率

那还有这个特殊的情况是必然事件

要注意它会与任何事件是独立的

不可能事件

也和任何事件是独立的

同学们只要把S或者Φ带到定义里面去

你比方说事件B是S

那A和S的交不还是A吗

那不就是左边

就是PA的概率

右边当B是S

实际上他的概率是一样

所以这是个恒等式PA=PN类似的饭带进去它也是成立的

类似的Φ带进去它也是成立的

进一步概率为一或者零的事件

也是与任何事件独立

下面括号可以参考上面去推导一下

加深印象

第三A和B独立啊

我们就可以推出A和B拔

A拔和B

A拔B拔也是相互独立的

好我们来推导一下推导一部分

AB独立

那不就是

成立

PAB=PA乘PB

于是

AB拔的概率那就是A减B的概率

就是A发生B不发生的概率

根据减法公式

那就是PA减去PAB

然后A

B是独立的

马上可以写成PA乘PB

把P也提出来

就会等于它

1减去PB

我们知道就是B拔的概率

所以很快就推出了A

B拔是独立的

其它完全类似的可以推出来

实际上

如果把A和B和后面这一三对事件放在一起的话

那就是四对事件

同学们根据这些事件的对称性的话

实际上我们可以得到这一

四对事件里面只要有一对独立

另外的三对肯定独立

下面我们来讨论多个事件的独立性

第一三个事件的独立性

ABC是三个随机事件

如果满足任何两个的积事件的概率等于概率的乘积

而且还必须有第三个等式

ABC积事件的概率也等于概率的乘积的时候

我们才叫做这三个事件是相互独立的

只有前面三个等式

我们只能说这三个事件

两两独立就是任何两个是独立的

所以从这里可以看出来

相互独立

要强于两两独立

当然

如果本身这两个事件

那就没有区别

n个事件的相互独立性怎么定义呢

好

如果这是n个随机事件

它们任意K个

K可以是两个三个

最多n个

它们的积事件的概率都要等于各个事件概率的乘积

我们才叫做相互独立

在另一个事件才是相互独立的

也就是说

n个事件相互独立

需要这么多等式成立

那同学们想一想

第一行AiAj这个积事件的概率等于概率的乘积

这种等式你能数清楚有多少个吗

Cn2个类似的Cn3一直到最后

Cnn就是一个

就是一个

所以

n个事件相互独立的话

这些等式的个数是很多的

同学们草稿纸上面可以练习一下

加起来看看Cn2

加Cn3一直加到Cnn

会等于多少吧

我把结果告诉大家

你们去验证一下

那就是2的N次方减去n减去1

一共有这么多个等式

好再来看看多个事件

独立性的性质

如果它们是相互独立的n个事件

那么把它从这个n个里面任意挑选K一个事件出来

那也是相互独立的

如果把这n个事件中任意多个事件不管换几个

换成它们的多余的事件

也换一个或者两个或者都换掉

也可以还是相互独立的

第三

它们当中至少有一个发生的概率

我们可以这么来计算

一减去它们对立事件积事件的概率

由于多余的事件也是相互独立的

所以n个积事件概率可以形成概率的乘积

下面来看一个例子

甲和乙两个人同时向一个地区进行炮击

甲击中的概率为零点六

乙击中的概率为零点五

求敌机被击中的概率

好

A表示甲击中

B表示乙击中

C表示敌机被打中了

那么A和B是独立的

而且敌机被打中的话

甲打中或者乙打中

所以这是一个和事集

那么好

那C发生的概率就是A并B的概率

等于PA加PB减去了PA和PB的乘积

好把题设条件带进来就会等于零点八

当然

我们也可以这么做C发生的概率

A并B的概率可以一减去A并B的对立事件

那就是A拔和B拔的积事件

B独立A拔B拔也独立

所以也可以这么算出来

也是零点八

这节课讲到这里