2.8 常见的连续型随机变量（下）在线视频

同学们 大家好

今天我们接着介绍概率论第二章

随机变量及其分布

今天来介绍一下标准正态分布的计算

我们来看一下

如果一个随机变量X服从标准正态分布

那么它的密度函数φ(x)等于根号下1/2π

乘以 e 的-x²/2

x的范围是属于所有的实数

那么它的分布函数也可以表示出来

这个时候标准正态分布的分布函数

我们记为Φ(x)

它等于-∞到x φ(t)dt的积分

那么把它写出来就是下面这个形式

根号下1/2π

乘以-∞到x e的-t²/2 dt

那么教科书上429页

列出了标准正态分布的分布表

我们可以通过查表得到

标准正态分布的分布函数

在某些X处的取值

对于x≥0

我们可以直接查表求出

Φ(x)=P｛X≤x｝

如果x＜0

我们可以由公式Φ(-x)等于-∞到-x

φ(t) dt 这样一个积分

这个时候我们做变量替换

令t=-u dt=-du

那么这个时候

Φ(-x)等于负的根号下1/2π

正无穷到x

e的-u²/2 du

经过计算

这个积分恰好可以写成

1减去根号下1/2π

乘以负无穷到x

e的-u²/2 du

也就是说

这个式子就等于1-Φ(x)

这样一来

我们就得到了Φ(-x)和 Φ(x) 的关系

Φ(-x)=1- Φ(x)

换句话说Φ(-x)+Φ(x) =1

下面来看一般正态分布

假设X服从参数为(μ,σ²)的正态分布

这个时候我们令Y=X-μ/σ

那么 Y就一定服从标准正态分布

那么这个时候标准正态分布的分布函数

FY(y) 等于 Y≤y 的概率

也就是 X-μ/σ≤y 的概率

我们把它转化成X的分布函数

那么它和X的分布函数的关系

我们就找到了

就是这个

这个时候我们做变量替换

令u=t-μ/σ 则du=dt/σ

我们把这个式子

代入到上面这个式子当中

我们就会发现

Y的分布函数等于根号下1/2π

乘以一个积分

这个积分是负无穷到y

e的-u²/2 du

是个标准正态分布的密度函数

那么FX(x)也就是X的分布函数

就等于 X≤x 的概率

等于X-μ/σ≤x-μ/σ

等于什么呢

刚好等于标准正态分布的分布函数

在 x-μ/σ 处的函数值

这样一来

我们就将一般正态分布的分布函数

和标准正态分布的分布函数

建立了一个关系

从而一般正态分布的计算问题

就可以转化为

标准正态分布的计算问题

其中

Φ(x)是标准正态分布的分布函数

那么这里 FX(x)等于什么

等于 Φ(x-μ/σ)

这个公式

给出了一般正态分布分布函数值的

计算方法

因此

对于任意的a b

我们来看

如果X服从一般的正态分布

那么 a＜X＜b的概率

就等于 Φ(b-μ/σ) - Φ(a-μ/σ)

下面看一个例子

假设有一个随机变量X服从标准正态分布

让我们求 1≤X＜2 的概率

以及 -1＜X＜2 的概率

这一点我们可以根据

概率和分布函数的性质把它写出来

由于X服从的是标准正态分布

所以 1≤X＜2 的概率

就等于Φ(2)-Φ(1)

那么我们可以查表得到

Φ(2)=0.97725

Φ(1)=0.84134

经过计算

它就等于0.13591

第二个

让我们来计算 -1≤X＜2 的概率

同样它等于什么呢

也是等于Φ(2)-Φ(-1)

这个时候

Φ(-1)没有办法查表

我们利用Φ(-1)和Φ(1)的关系

把Φ(-1)写成1-Φ(1)

然后化简

我们查表

就可以算出最后的结果是0.81859

这是标准正态分布

那么如果随机变量不是标准正态分布呢

我们再看一个例子

假设随机变量X服从

参数为2和9的正态分布

我们来求 1≤X＜5 的概率

以及 |X-2|＞6 的概率

还有 X＞0 的概率

我们来看一下

第一个

首先我们来计算 1≤X＜5 的概率

根据定义

它等于F(5)-F(1)

这个时候 我们需要利用

一般正态分布的分布函数

和标准正态分布分布函数的关系

做一个转化

F(5)等于什么

等于 Φ(5-2/3) 减去F(1)

F(1) = Φ(1-2/3)

因此它就等于Φ(1) - Φ(-1/3)

而Φ(-1/3)

再利用Φ(-1/3)和Φ(1/3)的关系

把Φ(-1/3)写成1-Φ(1/3)

我们就可以得到最后的结果

这是第一个

第二个也是一样

我们来看

|X-2|＞6 的概率

等于1减去|X-2|≤6 的概率

然后我们把绝对值去掉

也就是1减去 -6≤X-2≤6 的概率

把它化简一下

写出来是1减去 -4≤X≤8 的概率

密度分布函数把它写成

1减去Φ(8-2/3) 减去Φ(-4-2/3)

注意这个2是我们那个参数μ

3是我们的参数性能σ

那么这个时候

把它化简一下就是这个式子

Φ(2) - Φ(-2)

那么Φ(-2) =1-Φ(2)

把它写一下

最后就可以算出最后的结果是0.0455

其中Φ(2)

我们是可以查表得到的

第三个也是一样

X＞0的概率

这个时候我们考虑对立事件

写成1减去 X≤0 的概率

那么 X≤0 的概率

也就是 1-Φ(0-2/3) 的概率

把它化简一下

就是 1-Φ(-2/3) 的概率

而Φ(-2/3)=1-Φ(2/3)

整理一下最后的结果是0.7486

那么Φ(2/3)

我们这个值是可以查表

得到一个近似值的

好 我们下面来看

假设X服从标准正态分布

如果一个Zα满足

X＞Zα的概率等于α

当然这个0＜α＜1

那么这个时候

我们就Zα为这个随机变量的分位数

也就是Zα为标准正态分布的

上α分位数

查表我们还可以算出

Z 0.05=1.645

Z 0.005=2.575

注意 Z 1-α=-Zα

这一点是比较好理解的

大家看那个图像

那么Zα什么意思呢

当 X＞Zα 的时候

也就是我们这个阴影部分的面积

是多少 是α

那么这个时候

你看一下 Z 1-α 是左边

左边 Z 1-α

这个时候 X＜Z 1-α 的概率

也是这个数

所以我们就可以得到

Z 0.95的概率是-1.645

Z 0.995的概率是-2.575

下面我们来看Γ-分布

如果一个连续型随机变量X

它的密度函数具有这个形式

大家来看

f(x)当 x＞0 的时候

它是Γ(r)分之λ的r次方

乘以x的r-1

乘以e的-λx次方

x≤0 的时候 它是0

其中r＞0 λ＞0是参数

那么这个时候我们就称随机变量X

服从两个参数

一个参数是r

一个参数是λ的

这样一个Γ-分布

把它记作X~Γ(r,λ)

这里密度函数当中

Γ r是我们的Γ-函数

大家来看一下Γ-函数的定义

回忆一下

这个函数的在高等数学里面已经学过

F(r)等于0到正无穷

x的r-1乘以e的-x次方dx

那么 Γ-函数的定义域是（0，+∞）

而且 Γ-函数一个比较常用的性质是

Γ(r+1) = rΓ(r)

而且很容易计算

Γ(1)=1

F(1/2)等于根号π

如果n是自然数 那么Γ(n)呢

恰好等于n-1的阶层

下面做一个说明

如果r=1

那么这个时候Γ(1)=1

那么这个时候我们得到什么呢

当 x＞0 的时候

f(x)等于λ乘以e的-λx

x≤0的时候 f(x)=0

那么这个函数形式大家可以看出来

恰好是我们前面学习的

指数分布的密度函数

换句话说

如果r=1

那么Γ-分布就是指数分布

也就是

指数分布是Γ-分布的一种特殊情况

如果r=n

那么Γ(n)等于n-1的阶层

这个时候它的密度函数变成这个形式

这个形式呢

我们把它的分布称为Erlang分布

那么Erlang分布在排队论当中

是非常重要的一种分布

而且在以后的随机过程课程当中

还要会碰到

另外

如果r=n/2 λ=1/2

并且n是自然数

那么这个时候密度函数

就变成了这个形式

当 x＞0 的时候

是2的二分之n次方 乘以Γ(n/2)分之一

然后乘以x的二分之n减1

e的负二分之x

x≤0 的时候 是0

那么这个密度函数我们把它称为什么呢

这个密度函数我们称为

自由度为n的X²-分布

而X²-分布

是我们统计学当中重要的分布之一

所以说在数理统计部分

我们还会碰到这个分布

总结一下

本节我们要求大家重点掌握

连续型随机变量的密度函数的定义和性质

特别是X落在某个区间的概率

恰好就是密度函数

在这个区间上的积分

当然这个区间可以是

没有连在一起的

比如说两个区间的并

也是可以的

那么这个积分

就写成两个积分的和就行了

第二点 均匀分布的定义和性质

指数分布的定义

正态分布的密度函数以及几何性质

还有一般正态分布函数

和标准正态分布函数的关系

会利用正态分布密度函数的性质

计算一些积分

今天的课就讲到这里

下一节课我们来学习

随机变量函数的分布