8.2 正态总体均值与方差的假设检验在线视频

大家好，

欢迎来到我的课堂！

上次课，我们学习了假设检验的基本内容，

也学习了正态总体均值的假设检验。

今天，我们继续来探讨

正态总体均值和方差的假设检验，

了解更多的结论和应用。

一、正态总体方差的假设检验

问题描述：

X服从正态分布，

其中μ未知，

对方差做双边检验：

H0：σ²=σ0²。

下面，我们来看一下检验的步骤。

由于样本方差S²是总体方差的无偏估计，

故我们用它来构造统计量，

统计量记作χ²。

当H0为真时χ²的取值应该接近n-1，

因此，χ²过大或者过小

我们就应该拒绝H0。

于是，拒绝域的形式为χ²≤k1或者χ²≥k2，

这里的或者表示并集的意思。

当H0为真时，

我们注意到 χ²=(n-1)S²/σ²，

它是自由度为n-1的卡方分布。

根据卡方分布的概率密度图像，

如果我们想设定H0为真时拒绝H0的概率为α，

我们只需要取对称的两个分位点，

即k1取为自由度为n-1的卡方分布的1-α/2分位点，

k2取作自由度为n-1的卡方分布的α/2分位点。

于是得到了这样形式的拒绝域。

代入样本值进行计算，

如果样本值落入拒绝域，

则拒绝H0。

上述检验用到了χ²分布，

我们称这个检验为χ²检验法。

例1，

某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布。

现对工艺进行某些改进，

从中取出5炉铁水测得含碳量如下。

据此，是否可以判定新工艺炼出的铁水含碳量的方差为0.108²？

这里取α=0.05。

由题意，我们做正态总体方差的双边检验，

其中μ未知。

H0：σ²=σ0²，σ0=0.108。

该问题的拒绝域如下，由两部分构成：

即χ²过小、或者χ²过大。

两个临界值点分别是卡方分布的分位点。

代入数据进行计算，

卡方分布分位点查表得到。

我们计算得到，

统计量χ²的值是17.8543，大于11.14，

即落在了拒绝域当中的子集。

所以，观测值落在拒绝域内，

因此拒绝原假设。

下面，我们继续考察这一类问题的右边检验，

即原假设为σ²≤σ0²。

检验步骤如下：

仍然采用χ²统计量。

当H0为真时，

χ²统计量的值应该较小，

因此拒绝域的形式为χ²≥k。

H0为真时，χ²的分布并不知道，

但是χ²≤一个卡方分布。

下面我们考察H0为真时，χ²≥k的概率。

这个概率并不能直接计算，

但是，利用前面的信息

我们知道若χ²≥k，

那么(n-1)S²/σ²≥k，

因此，这两个事件之间存在这样的包含关系。

所以概率之间有相应的大小关系。

所以，如果我们希望第一类错误的概率小于等于α，

我们只需要让(n-1)S²/σ²≥k的条件概率等于α。

由卡方分布的概率密度图，

我们知道临界值点k取作上α分位点即可。

第三步，

根据实际样本进行计算，

如果落入拒绝域我们就拒绝H0。

下面，我们考察两个正态总体均值的假设检验。

问题描述：

X1,…,Xn1和Y1,…,Yn2分别取自总体X,Y，

它们分别是正态总体，方差相等且未知，

两样本相互独立。

X¯, Y¯是样本均值，

S1²,S2²是样本方差。

我们考察下列双边检验

H0：μ1=μ2。

考察检验的步骤。

构造统计量：

由于X¯和Y¯分别是μ1,μ2的无偏估计，

因此，当H0为真时

X¯-Y¯的取值应该接近0，

也就是T统计量的值较小。

反之，T统计量的值较大，

我们应拒绝原假设。

所以，原假设的拒绝域形式为|T|≥k。

在H0为真时，

根据正态总体抽样分布的结论，

我们知道T统计量刚好服从一个t分布。

下面，我们控制第一类错误的概率。

由t分布的概率密度图，

我们得到临界值点

可以取作α/2分位点，

由此得到拒绝域的形式。

这个检验当中

我们用到了t统计量，

这个方法称为t检验法。

例2，

有两种灯泡，

一种用A型灯丝，

一种用B型灯丝。

随机抽取两种灯泡各10只做实验，

测得他们的寿命如下表。

设两种灯泡的寿命均服从正态分布

且方差相等。

试检验两种灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异。

α=0.05。

记两总体分别为X和Y，

这里方差相等但未知。

H0：μ1=μ2。

根据上页的推导，

我们知道这类检验的拒绝域为

|t|≥t_α/2(n1+n2-2)。

代入数据进行计算，

t分布分位点查表可以得到。

最后，我们发现 |t|>t_α/2(n1+n2-2)。

因此，样本落入拒绝域，

我们应该拒绝原假设，

即认为寿命有显著差异。

下面，我们再来看两正态总体方差的假设检验。

这里，假定两组样本相互独立，

取自两个正态总体，

μ1和μ2未知。

我们考察双边检验

H0：σ1²=σ2²。

首先，我们构造统计量。

这个统计量是由样本方差作商得到的。

当原假设为真时，

显然F的取值应该在1的附近。

所以当F过大或者过小，

我们有理由拒绝H0。

因此拒绝域的形式为F≤k1或者F≥k2，

这里的或者表示并集的意思。

当H0为真时，

注意到F还可以写作这一形式。

根据正态总体抽样分布的结论，

F此时服从F分布。

那么，为了控制第一类错误的概率，

结合F分布的概率密度图像，

我们只需取临界值点k1和k2为

F分布的两个对称分位点。

即k1取成上1-α/2分位点，

k2取成上α/2分位点。

在这个检验过程当中

我们用到了F统计量，

我们称这个方法为F检验法。

例3，

测得两批电子器材样本的电阻如下。

设这两批器材的电阻均服从正态分布，

试对H0做检验，

其中H0：σ1²=σ2²，这里取α=0.05。

这个检验的拒绝域由上页给出。

下面我们代入数据，

计算得到F统计量的值是1.108，

而两个分位点经查表或计算得到这样的结果。

经过对比，

我们发现观测值落在了接受域。

因此应该接受原假设，

认为两批器材方差相等。

下面，我们再考虑这个问题的右边检验

H0：σ1²≤σ2²。

统计量构造和前面相同，

拒绝域的形式：F≥k。

当H0为真时，F统计量小于等于一个服从F分布的量。

下面，我们控制第一类错误的概率。

这个概率并不能直接计算，

但仿照前面的推导，

我们知道它小于等于后者的概率。

而后面这个量服从F分布，

结合F分布概率密度图，

我们知道临界值点k可以取作

F分布的上α分位点。

例4，

为比较不同季节出生的新生儿体重的方差，

从1975年12月及6月的新生儿中

分别随机抽取了6名及10名，测得其体重如下表。

假定新生儿体重服从正态分布，

问新生儿体重的方差是否冬季的比夏季的小？

这里α取作0.05。

记冬季和夏季新生儿体重分别为总体X和Y。

作右边检验 H0：σ1²≤σ2²。

这个右边检验的拒绝域上页已经推导，公式如下。

下面代入数据进行计算，

其中F分布上分位点查表可得。

计算得到F统计量的值是5.382，

而分位数是3.48。

因此样本落在拒绝域内，应该拒绝原假设，

即不认为冬季的新生儿体重小于夏季新生儿体重。

今天，我们学习了正态总体均值与方差的假设检验，

包括单正态总体均值的检验、

单正态总体方差的检验、

两正态总体均值差的检验、

两正态总体方差比的检验，

包括双边检验和单边检验，

汇总成下面的两个表格。

今天的内容就到这儿。

谢谢大家！