4.2 数学期望（下）在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

上节课我们讲了数学期望的定义

这节课我们继续学习

数学期望的相关知识

首先我们看一下

随机变量函数的数学期望

的问题

假设已知离散型随机变量X的分布率

怎么样求X的函数g(X)的期望

我们的想法很简单

既然Y=g(X)

它也是一个离散型随机变量

它也自然具有自己的分布率

而且这个分布率

我们可以通过X的分布率得到

这在第2章我们已经讲过了

所以求得Y的分布率

根据期望的定义

我们就可以看出

Y的取值乘以Y的概率求和

正好就是Y的期望

好 我们拿一个例子来看看

设X的分布率是X的取值1 2 3

对应的概率0.2 0.5 0.3

我们考虑的函数Y=X²

通过第2章知识

我们容易算到Y的分布率

其实就等于Y的取值是1 4 9

对应的概率分别是0.2 0.5 0.3

所以根据期望的定义

期望等于取值乘概率求和

所以Y的期望就等于Y的取值1 4 9

乘以对应的概率0.2 0.5 0.3

这样加起来我们就得到了Y的期望

好 大家来看

对于Y的期望中

1是不是正好是X取1²

Y=4 正好是X取2²

Y=9 正好是X取3²

所以Y的期望我们就可以看成什么

1² x 0.2 + 2² x 0.5 + 3² x 0.3

这个式子中大家会发现

其实1 2 3都是X的取值

而对应的概率0.2 0.5 0.3

是不是就是X分别取1 2 3对应的概率

所以Y的期望我们就可以看成什么

就可以看成xi的平方

乘以X取xi的概率

好 把这一结果我们进行一般化

就得到了

随机变量函数的数学期望

设Y=g(X)

g(X)是一个连续函数

若X的分布率为

X等于xk的概率是pk

且我们要求g(xk)*pk这个级数

是绝对收敛的

我们就可以得到

Y的期望就等于g(xk)*pk求和

好 注意大家看这个

公式中的右边

g(xk)相当于是xk的函数

pk是xk的分布率

所以我们要求Y的期望

并不需要Y的分布率

我们只需要什么

只需要X的函数的取值

还有X的分布率就行

这就是这个定理的好处

我们不需要求Y

我们直接通过X就可以得到

好 离散型可以这样得到

那连续型呢

连续型随机变量

同样的可以得到类似的结论

设X的概率密度f(x)

且g(x)*f(x)的积分绝对收敛

我们得到的结论是

Y的期望就等于g(x)乘以f(x)

从负无穷到正无穷的积分

对于离散型

我们的例子已经给出了证明

下面我们针对g(x)是单调函数的情形

给出证明

由第2章的定理我们可以知道

Y=g(X)的概率密度等于什么

f(y) 当y处于α到β之间

它应该等于f(x)在h(y)处的值

乘以h(y)的导数的绝对值

在其他位置是0

既然我们已经有了Y的密度

根据期望的定义

Y的期望是不是就是

取值乘密度求积分

所以Y的期望就等于y乘以Y的密度

从负无穷到正无穷的积分

把Y的密度带入

则等于

yfy（h(y)）乘以h(y)的导数的绝对值

在α到β的积分

好 接下来我们分类讨论

当g(x)单调递增的时候

显然h(y)也是单调递增的

所以它的导数是大于0的

把导数大于0代进去

我们的绝对值就可以直接脱掉

大家注意h(y)的导数*dy

其实正好等于dx

而且当y取α的时候

正好相当于x取负无穷

y取β的时候

正相当于x取正无穷

所以这个积分通过换元x=h(y)

我们就可以变成g(x)乘以f（x）

从负无穷到正无穷的积分

同样的当g(x)是单调递减的时候

我们知道h(y)是单调递减的

所以它的导数也小于0

这样我们把绝对值脱掉

前面加一个负号

注意h(y)的导数乘以dy

它相当于就是dx

而且y取α的时候

相当于x取正无穷

y取β的时候

相当于x取负无穷

所以这个积分就可以变成

从负无穷到正无穷g(x)*fx(x)的积分

所以大家会发现

无论g(x)是单调递增还是单调递减

Y的期望都可以表示成

g(x)乘以X的密度fx(x)

从负无穷到正无穷的积分

或者简单点说Y的期望就等于

函数值乘以X的密度的积分

这样我们就证明了结论

好 接下来我们看一个例题

设X是服从(0,1]上的均匀分布

求e^X的期望

既然X是(0,1]上的均匀分布

那很容易把它的密度写出来

f(x)当x属于(0,1]的时候 它是1

其他地方是0

所以根据函数的期望的计算公式

这是连续型的

所以函数的期望就等于

函数值e^x乘以密度f(x)

从负无穷到正无穷的积分

当然针对这道题

我们只需要从(0,1]上积分

被积函数是e^x乘1

很容易算出来

这个结论是e-1

好 刚才我们考虑了

一维随机变量函数的期望

同样的我们也可以考虑

二维随机变量函数的期望

设(X,Y)是二维随机变量

g(x,y)是二元函数

Z定义为g(X,Y)

若(X,Y)是离散型的

它们的联合分布率

X=xi Y=yj的概率

如果是pij的话

而且满足g(xi,yj)乘以pij的和

关于i j同时求和

是绝对收敛的

则我们得到Z的期望就等于g(xi,yj)*pij

同时对i j求和

它如果是连续型

如果(X,Y)的联合概率密度f(x,y)

而且满足g(x,y)乘以f(x,y)的二重积分

绝对收敛

则Z的期望就等于

g(x,y)乘以f(x,y)的二重积分

好 这个定理我们不给证明

大家可以直接应用

接下来我们介绍一下

数学期望的性质

数学期望的性质

主要我们介绍4条

第一 常数c的期望等于本身

第2条 cX的期望等于c倍的X期望

也就是一个常数可以提出来

第3条

X+Y的期望等于X期望加Y的期望

也就这个和可以分开

把第2条第3条结合

我们就可以得到一个常用的公式

ai*Xi和的期望

就等于ai*E Xi之和

也就是期望满足线性关系

第四条

若X Y独立

则X乘Y的期望

等于X期望乘Y的期望

也就是独立的情形

乘积的期望等于期望的乘积

好 接下来我们对这4条分别进行证明

第1条

c的期望等于c

显然c是常数的话

那也就意味着X就取值为c

而且取c的概率就是1

所以对离散型随机变量

我们取期望

c的期望就等于取值c乘以概率1

当然等于c了

好 对于第2条 第3条

我们都以连续型随机变量为例

好 cX的期望

即cX就是X的函数

所以cX的期望其实就是求函数的期望

所以根据我们

刚才刚讲的函数的期望的定义

所以cX期望就等于cX乘以X的密度

取积分

根据积分的性质

常数c是可以提出去的

所以提出去c以后

剩下了xf(x)的积分

而xf(x)的积分正好就等于X的期望

这是连续型随机变量期望的定义

所以我们得到了cX期望

就等于X期望的c倍

同理

X+Y的期望就等于

x+y乘以联合密度f(x,y)的积分

根据积分的性质

x+y乘以f(x,y)的积分

就可以写成x乘f(x,y)的积分

加上y乘f(x,y)的积分

大家会发现

第1个积分

x*f(x,y)的积分其实就是X的期望

第2个积分

y*f(x,y)的积分其实就是Y的期望

所以我们发现

X加Y的期望是不是也等于

X期望加Y的期望

第3条证明

好 接下来我们证明第4条

第4条 同样以连续型为例来证明

好 我们知道X乘Y的期望

XY是函数

所以函数的期望就等于xy这个函数值

乘以联合密度f(x,y)取积分

好 注意题目中有个条件

X Y是独立的

根据第3章所讲

独立的随机变量

联合密度就等于边缘密度的乘积

所以联合密度f(x,y)其实就等于

边缘密度fx和fy的乘积

所以这个积分我们就可以写成

x y乘以fx在x处的值

乘以fy在y处的值

然后再取积分

好 通过分离变量

我们把这个积分可以分成两个

x*fx在x值的积分

乘以上y*fy在y处的值的积分

好 大家注意第1个积分

x*fx（x）的积分是不是正好是

连续型随机变量X的期望

第2个积分

正好是连续随机变量Y的期望

所以这个式子就等于X期望乘Y的期望

所以我们就证明了

乘积的期望等于期望的乘积

但是注意

这个性质中一定要加一个条件

X Y独立才成立

好 接下来我们看一个具体的例子

设一民航送客

载有20位旅客自机场开出

旅客有10个车站可以下车

到达一个车站

如果没有旅客下车

那就不停车

以X表示停车的次数

我们求X的期望

好 我们假设

每个旅客在各个车站下车是等可能的

并且假设各个旅客下车与否

也是相互独立的

好 为了求X期望

我们引入一列随机变量Xi

Xi表示什么意思

Xi表示的是

如果第i站没有人下车

我就记Xi是0

Xi=1 如果当第i站有人下车

其中i从1一直取到10

我们可以通过分析很容易得到

X其实是不是就等于

X₁加X₂一直加到X10

所以要求X期望

其实就是相当于求X₁加到X10的期望

根据期望的性质

和的期望是不是等于期望之和

所以X的期望其实就等于

Xi的期望之和

所以要求X期望

我们只要把Xi的期望算出来

代入就可以了

好 接下来我们算一下Xi的期望

注意Xi的取值只有0和1

所以它是一个离散型随机变量

所以Xi的期望

根据离散型随机变量的期望

它应该等于什么

是不是取值0乘以取0的概率

加上1乘以取1的概率

所以化简一下

Xi的期望就等于Xi取1的概率

根据概率的性质

Xi取1的概率

又等于1减去Xi取0的概率

好 接下来我们来算一下

Xi取0的概率是几

好 Xi取0是什么意思

也就是第i站没人下车

或者说

所有的人都不在i站下车

也就意味着所有的人

都只能在其他9站下车

所以Xi=0的概率 等于多少呢

每个人不在自己在下车的概率是9/10

所有的人都不在

是不是9/10的20次就可以了

所以 Xi的期望就等于

1减去9/10的20次

好 根据刚才我们说的

X的期望等于Xi的期望之和

是不是也就是1减去9/10的20次

连续求10次和

所以就10倍

答案约等于8.74次

好

这个问题解决完了

大家可以课后思考一下

这个Xi是否独立同分布

好

这一节我们就讲完了

这一节我们主要讲了数学期望的定义

随机变量函数的数学期望

数学期望的性质

课后大家可以围绕这三个方面

进行复习总结