1.5 等可能概型在线视频

同学们 好

欢迎来到我的课堂

我们继续学习等可能概型

也叫做古典概型

先看什么是古典概型

如果一个随机试验满足这样的条件

那就是

样本空间里面只含有有限个元素

也就是说

你这个随机实验

所有的结果是有限种情况

第二 每一个样本点

也叫做每一个基本事件

发生的可能性是相同的

叫做等可能性

这样的随机实验

我们给它取个名字

叫古典概型

也叫等可能概型

因为是数学家们

研究得最早的一种模型

好

那么对于古典概型来说

说的更严谨一点的话

那就是样本空间

里面只有有限个元素

e1 e2一直到en

等可能性

数学式子表示的是什么样子啊

那就是

每一个样本点

基本事件发生的概率

都相等

等于n分之一

n分之一

当然

我们关心的是

怎么来计算古典概型中

事件发生的概率

我们来看一个例子

一个袋子当中

装有十个大小形状完全相同的球

将球编我们给他一个编号

为了区分他一到十号

然后把球

搅匀

我们不去看他啊

从中任取一个球

任取一个球

好

用A来表示啊

摸到二号球

那这个概率是多少呢

很显然

十个球里面只有一个球是二号球

那就是十分之一

用B表示

摸到红色的球

红色的球

好

里面一共有六个红球

所以这个概率很显然

十分之六

十分之六

好

下面我们来给出啊

古典概型

里面概率是这么定义的

假设随机实验一

古典概型样本空间

S当中

有N个样本点

A里面有k个

那么这个时候

A发生的概率就这么简单的

那就是

整个样本空间里面元素的个数

做分母n

而这个事件A里面

所包含的元素的个数

就是样本点的个数做分子

n分之k

就是A里面包含的基本事件数

和样本空间中包含基本事件数的

比值

我们把分子

习惯与叫做有利事件数

把分母叫基本事件整数

这就是古典概型的概率

我们也把它叫做

确定概率的古典方法

古典方法

好

我们再来看一个具体例子

假设我们将一枚均匀的硬币

抛掷两次

实验

恰好有一次正面

向上的概率

如何计算

我们用1表示

出现正面

以0表示出现反面

那这个时候同学们想一想样本空间

是什么样子

有多少个元素

抛两次都出现正面

或者是

第一次正面

第二次反面或者反过来

当然也可能都是反面

所以样本空间呢

要写出来就是这个样子

都是正面

正面

反面

反面 正面

都是反面

好 那事件A呢

恰好有一次出现正面

那就是这样的两个不同的机构

正面 反面 反面 正面

好 算这个概率啊

那不就是手速吗

S里面有四个样本点

A里面两个样本点

所以这个概率非常简单

那就是四分之二

就是二分之一

好

当然这个是最简单的

我们再来看一些稍微复杂一点的

将这几个字母

七个字母了

两个C

两个E

I还有N S

我们随机的排成一行

那么恰好能够排成

SCIENCE 科学

这个单词的概率有多大呀

这个就比刚才的问题

要复杂多了

这个样本空间里面

元素的个数还得像刚才一样

把它一个一个的写出来嘛

这个就不方便

一个一个写出来了

我们只需要

把这个样本空间里面

到底有多少个元素

把他数清楚就可以了

好

我们来求解一下

七个字母排列的所有的整数

用一下

我们中学里面学过得

排列组合七个元素

所有不同的排列

那就是七的阶乘

注意

这里不是组合数了

是排列数

因为字母在不同的位置啊

这个单词会不一样的

所以这个时候

是排列而不是组合

所以基本事件整数

那就是7的阶层

好要拼出英文单词SCIENCE的话

那这个时候啊

S只有一种取法

一种取法

但是C这个字母啊

里面有两个

有两种取法

因乘法原理

1乘2

类似的

I只有一种选取方法

E又有两种

所以排成SCIENCE这个单词的

所有的情况数啊

那就是等于四

等于四

根据我们刚刚讲的古典概率的计算公式

那就是等于

4比上7的阶层

一千二百六十分之一

结果就出来了

再看一个例题四

假设有大N件产品

其中有D件是次品

现在从这个N件中任取小n件

注意 任取小n件

让你求

其中恰好有

K件次品的概率

好

关于事件A

来表示恰好有K件次品

那我们先来分析

基本事件整数

那就是

从大N进里面取小n件的组合数

因为拉出来的小n件产品

与排列次序没有关系

没有关系

所以是C大N小n

那有利事件数呢

就是A发生有多少种情况呢

哦

A发生是指的什么

必须有K件次品

就是小n件里面必须有K件次品

所以K件

必须在D件里面选取

因为D件是次品的数目

所以第一步

C D K从D件里面取K件

的次品数目

的不同的选法

然后这个事情没有做完

乘法原理

余下的小n件减去k件

那必须在正品里面选取

正品有多少件啊

大N减去大D

大D

所以这就是有利事件数

然后根据我们刚刚学习的

古典概型的概率公式

那就是这么一个比值

这个比值

好我们组合数目有两种

表示

一个是英文字母

第一个字母

也可以写成下面这个形式

圆括号来表示

这个组合数

那么

K大于等于0

小于等于D

K是次品的数目

次品的数目当然不会超过

总的次品数D件

D件

当然 我们这个地方的话

小n件

这个小n件的话

不会超过

我们一般这里就不超过大N减去D

也就是说他的正品的数目

如果超过正品的数目的话

K的取值

那还不是从零开始

对不对

同学们可以自己想一想

那应该是从多少开始

好 再看一个例子

一个袋子里面

装有a个白球

b个红球

每次从中任取一球

根据K次

第一作放回的抽样

只说我拿出来这个球以后

我要放回去了

再来拿第二次

第二种作法 作不放回抽样

也就是说

拿出来以后的球是不放回去了

那么

要你求第i次取到白球的概率

第i次可以是第一次

可以第二次也可以第k次

好

我们来求解一下

用A表示

第i次取到白球放回抽样

每次取球的时候啊

这个时候袋子里面

一共有a加b个球

白球有多少个啊

A个

最简单的古典概率模型

那就是a加b分之a

好 不放回抽样

会要复杂一点啦

基本事件整数

那应该是多少

排列数

P表示排列

也可以A表示

我们不同的参考书

教材里面

排列有两种表示方法

一个是P

一个是A

他们都是排列的首写字母

首写字母

好

由于我们这个与次序有关

所以说第一次取的时候

有a加b种取法

一共有a加b个球

第二次再取的时候

只有a加b减一种取法了

拿出去了一个球嘛

不放回呀

类似的

所以那就是a加b乘a加b减一

一直乘到a加b减去

k减一

所以是

A加B里面取K的排列数

基本事件整数

好 来看看

有利事件数

第I次取到白球啊

第I次取到白球啊

那就表示第i次

取到的白球可以是

n个白球里面

任何一个都可以

有a种取法

其他的各自需求

在剩下的a加b减一个球里面

任何选取

一个球都满足我的要求

所以根据乘法原理有利事件数

那就是Ca1

就是A

乘以

a加b减一个里面

去k减一的排列数

根据古典概率的计算公式

哎

也是等于a加b分之a

同学们可能有点疑问呢

怎么有放回的抽样

有放回的时候

拿到白球的概率

a加b分之a

不放回还是a加b分之a啊

这个问题

请同学们还要好好思考一下

实际上

我们这个数

第i次

拿到白球的数目

不管是有放回去还是不放回去啊

与次序是没有关系的

第一次和最后一次这个概率是不变的

就是我们日常生活当中抽签的概率

这个不放回就是抽签的概率

就是抽签的时候

与你排在第几个

是没有关系的

当然

他们不同在什么地方

概率是放回和不放回是一样的

但是他们中间还有本质的不同

这个涉及到我们后面的独立性

我们暂时放一放

好

接着来看几何概型

如果这个样本空间

不是有限个元素所构成的

他如果是无穷多个

比方说一条线段

比方说一个平面区域

或者空间区域

这种样本空间

那古典概型

就不能够用来解决我们的问题了

好

几何概率定义是这么说的

如果随机试验E的样本空间

是一个欧氏空间的

一个有界的区域

且每个样本点的出现的可能性

相同相等

那么这种随机试验

我们叫做集合概述

他有几何形状吗

那么对于事件A来说

怎么算他的概率呢

那就是

这么来计算

你数点的数目已经没有意义

都是无穷多个点

只有我们这个时候就是这么公式

那就是A的度量

如果是一位叫长度

平面区

有面积的度量

空间

因体积

那就是A的度量

和S度量的B

来定义为这个事件发生的概率

我们来看个例子

甲和乙两人相约在七点到八点之间

在某一个地方会面

比方说图书馆一起学习

先到达的人

等待

另外一个二十分钟

如果没到就不等了

好

每个人可以在指定的这一个小时里面

七点到八点啊

任何一个时刻到达

问

这两个人能够会面上的可能性有多大呀

这是个很实际的问题吧

好

下面我们来计算一下

我们以七点为十点

就是说计算十个的零时

作为坐标的原点

这样方便我们计算

以分钟作为单位

X Y分别表示

甲和已到达指定地点的时刻

那么样本空间呢

竟然可以变成这么一个正方形

X Y都大于等于零

小于等于六十

两人能够会面要满足什么条件啊

都是等对方最多二十分钟

所以X减Y

他们的差的绝对值

小于等于二十

那下面

我们把这两个集合

所对应的区域图形

给画出来

S既是边长为六十的这个正方形

那事件A呢

他小于等于二十

那就是这两条直线

红色的

他们中间的部分

就是A

然后算概率

根据刚才几何概型的概率的定义

那不就是算他们的面积吗

A的面积 S面积之比

好

A的面积怎么算呢

正方形的面积

减去两个等腰直角三角形的面积

那就是

六四的平方

减去两个等腰直角三角形

那么它们拼起来

是不是很就是一个边长为四十的

正方形的面积

所以是四十平方

整个正方形的面积

六十的平方

那很快就可以算出来

九分之五

这就说明的话

两个人能够见上面的可能性

是九分之五

好的

我们这节课讲到这里