2.3 常见的离散型随机变量（下）在线视频

同学们大家好

今天我们接着介绍概率统计的第二章内容

随机变量及其分布中的第二节泊松分布

如果一个随机变量X的分布律为

X等于k的概率

等于k的阶层分之λ的k次方乘以e的负λ次方

这里k的取值是所有的自然数0 1 2

那么这个时候我们就称随机变量X服从参数为λ的泊松分布

这里参数λ大于零是一个常数

下面

我们来验证泊松分布的分布律确实是一个分布律

也就是要验证两点

第一点分布律的非负性

第二点分布律的规范性

首先来看非负性

由于λ大于零

所以对于所有的自然数k

我们有k的阶层分之λ的k次方乘以一的负λ次方

一定是严格大于零的

所以它满足非负性

第二条加和性质

我们来看一下

Σk从零到无穷k的阶层分之λ的k次方乘以e的负λ次方

从这里面我们可以看出来

e的负λ次方与k无关

所以它可以提到加和符号的外边

那么剩下的加和符号里边的是k的阶层分之

λ的k次方k从零到无穷加和

这一项

恰好表示的是e的λ次方

这个函数在λ等于零处的泰勒展开

因此它恰好是e的λ次方

因此我们就得到了e的负λ次方乘以e的λ次方等于一

由这两点

我们可以看出泊松分布的这个分布律确实是一个分布律

下面我们来看一下泊松分布的应用

那么泊松分布是概率论中非常重要的一种分布之一

在自然界以及工程技术中的许多随机指标都服从泊松分布

比如说电话总机在某一个时间间隔内收到的呼叫次数

某个放射物在某一个时间间隔内发射的粒子数

容器在某一个时间间隔内产生的细菌数

以及某一时间间隔内来到某个服务台的服务人数等等

这些随机变量在一定条件下都可以看做

服从泊松分布或者是近似服从泊松分布

下面看两个例子

首先看第一个例子

如果随机变量X的分布律是这种形式

大家来看X等于k的概率是C乘以k的阶层分之λ的k次方

大家注意这个形式上来看和泊松分布很像

但是这里k的取值不同k只取1 2

也就是说可以只取1 2

一直到无穷

换句话说

k取的是非零的自然数

那么这个时候让我们求这个参数C

我们来看

那么要求参数C怎么办

我们同样利用分布律的规范性

这个方程来求

那么我们将PX=k关于k

从一到无穷加和令它等于一

这个时候我们会发现C乘以Σk

从一到无穷k的阶层分之λ的k次方等于一

那么这个加和项当中与e的λ次方

这个泰勒展开刚好差一项

只差第一项k等于零的一项也就是一

所以我们就很容易得到

这个加和项恰好等于e的λ次方减一

我们把这个e的λ次方减一代入到上面那个方程当中去

我们就可以得到参数

C等于e的λ次方减一分之一

那这样一来

我们就求出来了

这个未知常数C

前面我们介绍了二项分布

今天又介绍了泊松分布

那么这两个分布之间有没有关系

下面的一个泊松定理就告诉我们

二项分布的极限分布恰好是泊松分布

我们来看这个定理

假设在伯努利试验当中

用Pn表示事件A在试验中发生的概率

它与试验的总数n有关

如果n乘Pn的极限等于λ

是一个正数

那么这个时候我们就可以看到

我们这个二项分布的分布律恰好

收敛到泊松分布的分布律下面

我们证明一下这个结论

在这里

我们令n乘Pn等于λn

根据条件

我们就可以得到n趋于无穷时

λn的极限就是λ

那么左端这个极限是

Cnk Pn的k次方一减Pn的n减k次方

我们把它展开

根据Cnk的定义

Cnk等于n乘以n减一

一直乘到

n减k加一除以k的阶层

Pn由于n乘以Pn等于λn

所以Pn等于n分之λn

我们把它带入就得到了

n分之λn的k次方再乘以一减去

n分之λn的n减k次方

那么

在这个式子当中

我们会发现第一项k的阶层分之λn的k次方

当n趋于无穷时

它的极限就是k的阶层分之λ的k次方

而中间的一些项

一减n分之一

一减n分之二一直到一减n分之k减一

由于k是固定的

所以n趋向于无穷时

中间的对象的极限是一

而最后一项一减去n分之λn的n减k次方

它刚好是我们两个重要极限中的其中一个

很容易计算

这个极限是

恰好等于e的负λ次方

所以我们这个二项分布的分布律的极限

就等于这样三个极限的乘积

它就等于k的阶层分之λ的k次方

乘以e的负λ次方

这个恰好是泊松分布的分布律

这样

我们就证明了这个定理

下面我们来看一下泊松定理的应用

那么在具体应用当中它有什么作用

我们知道

如果一个随机变量服从二项分布

那么这个时候

我们在算某些概率的时候

可能要算很多加和项

那么泊松定理就告诉我们不用算那么多加和项

可以简化我们的计算

那么具体应用当中

我们来看

如果随机变量X服从参数为np的二项分布

那么这个时候当n比较大p比较小的时候

我们可以假设这个λ等于n乘以p这个时候

X等于k的概率本来等于Cnk乘以P的k次方

再乘以一减p的n减k次方

它就近似的等于k的阶层分之λ的k次方

再乘以e的负λ次方这样一来

可以简化我们的计算

下面看一个具体例子

假设每次射击命中目标的概率是零点零二

现在

射击了四百次

求至少命中两次目标的概率

要求我们用泊松近似的方法去计算

那这个时候我们来看我们首先将随机变量设出来

假设X表示四百次射击中命中目标的次数

那么X服从的是参数为四百和零点零二的二项分布

那我们要求的是什么

我们要求的是至少命中两次目标的概率

也就是求X大于等于二的概率

注意到这个时候λ等于n乘p

也就是四百乘以零点零二等于八

所以X大于等于二的概率

我们先用二项分布来写再用泊松分布来近似

那么这个时候你要算X大于等于二的概率

需要算很多项加和这个时候

我们可以考虑它的对应事件

把X大于等于二的概率写成一减去X小于二的概率

也就是一减去X等于零的概率

再减去X等于一的概率

那么X等于零的概率

用泊松近似来算恰好等于e的负八次方

X等于一的概率

用泊松近似来算恰好等于八倍的e的负八次方

那么这个时候

经过简单计算

我们就可以算出来

这个概率等于0.9972

这是这个例子

下面看第四种分布几何分布

如果一个随机变量X的分布律是这种形式X等于k的概率

等于q的k减一次方乘以P

这里的k的取值是1 2

所有的非零自然数

注意这里的q等于一减p

p大于等于零

小于等于一

如果随机变量X的分布律满足这个形式

那么这个时候我们就

称随机变量X服从参数为p的几何分布

下面我们来验证一下这个分布律确确实实是一个分布律

同样需要验证两点第一点非负性

那么根据条件我们知道p大于等于零

q大于等于零

所以非负性

显然成立

第二条验证规范性

那么根据条件我们需要验证

k等于一到无穷q的k减一次方

乘以P这样一个加和等于一

那么这个时候我们会发现这个参数p与k无关

直接提到加和符号外边

里边是k从一到无穷

q的k减一次方加和

那这是一个等比级数

很容易计算这个等比级数的和

恰好是一减q分之一

那么根据我们条件

p加q等于一

所以一减q恰好等于p

因此这个乘积还是等于一的

这就验证了规范性

这就是说

几何分布的分布律确确实实是一个分布律

下面让我们来看一下几何分布的概率背景

在伯努利试验当中

如果我们假设事件A发生的概率是PA

不发生的概率是一减p

我们把它叫做q

现在我们考虑这样一个事情

也就是说

试验要进行到事件A首次发生为止

这个时候我们用X表示所需要的试验次数

那么X就服从参数为p的几何分布

那么几何分布

是我们离散型随机变量里面非常重要的一种分布

下面看一个例子

对一个目标进行射击

假设每次射击时命中率是零点六四

射击进行到击中目标时为止

X表示

所需的射击次数

让我们求第一个问题

随机变量X的分布律

第二个是X取偶数的概率

第三个是求至少进行两次射击才能击中目标的概率

我们首先求第一问随机变量X的分布律

要求分布律求两点

第一点先确定随机变量X的取值

然后确定取每个值的概率

那么这个时候很显然

随机变量X的取值是取所有的非零自然数

有1 2一直到n

一直到无穷下去

那么X取n的概率是多少

X取n表示

第n次击中

前n减一次没有击中

因此X等于n的概率就是

一减P的n减一次方乘以

这里的p等于零点六四

因此也就是零点三六的n减一次方乘以零点六四

第二点我们来算一下X取偶数的概率

那么X取偶数

也就是说

我们在分布律里面

这个n只能取偶数

我们假设n等于2k

那么这个时候

X取偶数的概率就等于

k从一到无穷零点三六的2k减一次方乘以零点六四

k从一到无穷零点三六的2k减一次方乘以零点六四

经过计算

它可以做一个化简

这里

我们就不去化简了

下面求

第三位至少射击两次才能击中目标

那么也就是算X大于等于二的概率

X大于等于二的概率

我们这个时候可以转化为一减去X小于二的概率

也就是一减去X等于一的概率

因此也就是一减去零点六四

等于零点三六

这样一来

我们就把这个问题解决了

第五个分布

我们来看一下超几何分布

如果随机变量X的分布律是这种形式

分子是CMk

CN-M n-k

分母是CNn

k从零一直到M和n的最小值

如果X的分布律是这个形式

那么我们就说X服从参数为

N M n的超几何分布

那么

超几何分布的概率背景也非常简单

是这样子的假设

一批产品中有N件产品

其中有M件次品

其余的N-M件为正品

现在从这到N件产品中任意取n件

我们令X表示取出的n件产品中次品数

那么这个时候X的分布律就恰好是超几何分布

这里超几何分布

有三个参数

N M n

好下面

我们对我们的第二节做一个小结

在这一节当中

我们要掌握

离散型随机变量的分布律以及性质

第二个问题

掌握一些具体的

也就是常用的离散型随机变量

包括两点分布二项分布

泊松分布还有几何分布

我们要求大家熟练掌握分布律的性质

会利用分布律的性质求一些未知参数

第二点熟练运用两点分布

二项分布 泊松分布

几何分布这几个分布模型解决实际问题

特别是重点掌握二项分布

好今天的课就讲到这里

下一节课

我们继续来介绍随机变量的分布函数